6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 教学设计 教学内容 本节课的核心内容包括平面向量的正交分解概念、平面向量的坐标表示方法，以及平面向量坐标与点坐标的内在联系，同时涵盖平面向量加、减运算的坐标表示及简单应用。具体涉及：正交分解的定义、以x轴和y轴方向单位向量为基底的坐标表示规则、向量坐标与终点坐标的转化关系，以及基于坐标的向量运算和实际问题求解。 内容解析 本节内容是平面向量基本定理的延伸与具体化，平面向量基本定理为向量的分解提供了理论基础，而正交分解作为其中最特殊、最实用的情况，通过引入互相垂直的单位向量作为基底，实现了向量从几何形态到代数形式的转化。 从知识关联来看，向量的坐标表示是连接向量几何运算与代数运算的桥梁，为后续向量的数乘运算、数量积运算，以及解析几何中直线方程、曲线方程的推导奠定了基础，是“数形结合”思想的重要体现。 从学习意义来看，通过本节课的学习，学生将掌握向量的第三种表示方法（坐标表示），实现向量运算的代数化，降低几何运算的复杂度，同时提升数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养，培养用代数方法解决几何问题的思维模式。 教学目标 1. 借助平面直角坐标系，理解平面向量正交分解的定义，能识别生活中正交分解的实例。 1. 掌握平面向量的坐标表示方法，明确向量坐标与基底分解系数的关系。 1. 理解平面向量坐标与点坐标的联系，能进行向量坐标与点坐标的相互转化。 1. 掌握平面向量加、减运算的坐标表示，能解决简单的向量坐标运算问题。 1. 体验向量从几何形态到代数形式的转化过程，感受数形结合的数学思想，提升数学核心素养。 目标解析 1. 能准确表述正交分解的定义，结合物理中力的分解等实例，说明正交分解的实用性和特殊性。 1. 给定平面直角坐标系和向量，能以x轴、y轴方向的单位向量i、j为基底，将向量分解为xi+yj的形式，并正确写出向量的坐标(x,y)。 1. 已知向量起点在原点时，能直接根据终点坐标写出向量坐标；已知向量坐标时，能确定其终点坐标（起点在原点）；已知向量起点和终点坐标时，能通过终点坐标减起点坐标求出向量坐标。 1. 给定两个向量的坐标，能熟练运用坐标运算法则计算它们的和向量、差向量，并验证结果的合理性。 1. 能通过具体问题的解决，体会向量坐标表示的优越性，理解数形结合思想在向量运算中的应用，提高运用代数方法解决几何问题的能力。 达成上述目标的标志是： 能独立完成向量的正交分解、坐标表示、坐标运算，能解决与向量坐标相关的基础题和简单应用题，能阐述向量坐标表示的本质。 本节课的授课对象为高一学生，学生已具备以下基础： 1. 掌握平面向量的基本概念（向量、单位向量、共线向量等）。 1. 理解平面向量基本定理，知道平面内任意向量可由两个不共线向量唯一分解。 1. 熟悉平面直角坐标系的相关知识，能进行点的坐标表示和简单的坐标运算。 1. 在物理学科中已接触过力的分解，对正交分解有初步的感性认识。 学生可能存在的难点： 1. 对向量坐标表示的生成过程理解不透彻，容易混淆向量坐标与点坐标的区别与联系。 1. 运用向量坐标解决实际问题时，难以快速建立向量模型，实现几何问题向代数问题的转化。 1. 对正交分解的必要性和优越性认识不足，在解题中不能主动运用正交分解思想。 基于以上分析，确定本节课的 教学重点:平面向量正交分解的定义及理解。平面向量的坐标表示方法。平面向量加、减运算的坐标表示。向量坐标与点坐标的联系。教学难点：平面向量坐标表示的生成过程理解。向量坐标与点坐标的区别与联系。运用向量坐标运算解决实际问题时的模型建立。 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 产生过程 建系选底 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底 线性表示 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj 定义坐标 有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y) 特殊向量的坐标 i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0) 导入新知1：校园导航中的向量定位 师：“同学们，咱们学校的教学楼、图书馆和食堂构成了一个三角形区域。假设你现在在教学楼（记为点O），想去图书馆（点A），再从图书馆去食堂（点B）。如果以教学楼为原点，建立平面直角坐标系，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，1个单位长度代表10米。已知图书馆在教学楼东30米、北20米处，食堂在图书馆东10米、北15米处。” 师：“大家思考两个问题：第一，从教学楼到图书馆的‘位移’，能不能用两个互相垂直的方向（东、北）的位移来描述？第二，如何用简洁的数来表示这两个位移，以及从教学楼直接到食堂的总位移？如果从食堂返回教学楼，位移又该怎么表示？” 设计意图 1. 贴近生活实际：以校园导航为场景，学生熟悉且易感知，将抽象的向量与实际位移结合，降低理解门槛。 2. 统领核心内容：问题一直接指向“正交分解”（东、北方向互相垂直，位移分解为两个垂直分位移）；问题二关联“向量坐标表示”（用有序数对描述垂直方向的位移）和“坐标加减运算”（总位移为两次位移的和，返回位移为反向减法），自然串联本节课核心知识点。 3. 激发求知欲：通过“用数表示位移”的需求，让学生感受到几何问题代数化的必要性，进而好奇“如何建立位移与数的对应关系”，主动探索正交分解和坐标表示的方法。 4. 铺垫难点突破：提前渗透“向量坐标与位置关系”，为后续区分向量坐标与点坐标、理解“终点减起点”法则埋下伏笔。 导入新知2：购物车推行的力的分解与计算 师：“周末大家去超市购物时，推购物车是不是很常见？假设超市地面是水平的，你用10N的力推购物车，推力方向与水平地面成30°角。大家有没有想过，这个斜着的推力，其实可以‘拆分’成两个力？一个是水平方向的力，让购物车向前走；一个是竖直方向的力，要么压着地面，要么稍微抬着购物车。’’ 师：“再比如，你朋友在另一边用8N的力沿水平方向拉购物车（与你推力的水平方向相同）。现在请大家思考：第一，为什么能把斜向的推力拆成水平和竖直两个垂直的力？这种拆分有什么好处？第二，如何用具体的数表示这两个垂直的分力，以及购物车受到的水平方向的总作用力？如果朋友反向拉车，总作用力又该怎么算？” 设计意图 1. 生活关联性强：超市推购物车是学生高频参与的日常活动，力的分解现象直观可感，且与物理学科中“力的正交分解”知识呼应，实现跨学科联动。 2. 覆盖核心知识点：问题一聚焦“正交分解的定义与优越性”（垂直分解便于计算实际作用效果）；问题二衔接“向量坐标表示”（用数对描述垂直分力）和“坐标加减运算”（水平方向力的合成与反向运算），精准统领本节课主线。 3. 激发探索欲：通过“拆分力能更方便计算”的现实需求，让学生体会正交分解的实用价值，进而好奇“如何用代数方法表示分力和总力”，主动投入向量坐标表示的学习。 4. 突破认知难点：以“力的方向”对应“向量方向”，“力的大小”对应“向量模长”，将抽象向量与具体的力结合，帮助学生理解向量坐标的本质是“垂直方向上的量化描述”，为区分向量坐标与点坐标奠定基础。 1.复习引入 问题1：什么是平面向量基本定理？ 【答案预设】如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 【设计意图】引导学生从本质上认识平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和.特殊地，互相垂直时一种特殊分解，会为我们带来方便.例如，在物理中，重力能分解成两个方向的力，互相垂直，这就是力的正交分解. 引出正交分解的概念，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解． 给定平面内两个不共线的向量，，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，，即，其中向量与共线，向量与共线． 2.问题探究，形成概念 问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢? 【预设答案】 （1）建立直角坐标系，选x,y轴方向上的单位向量 作为基底； （2）作平面内的任意一个向量，以为基底，根据平面向量基本定理，分解向量； （3）这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对 (x，y) 叫做向量的坐标，记作. 其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，叫做向量的坐标表示. 【设计意图】借助平面直角坐标系，引导学生理解平面向量的正交分解及坐标表示. 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．如图6.3-7，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形． 重力可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力． 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便 3. 概念深化 思考1：在平面直角坐标系中，向量的坐标是什么含义？？ 思考2：你能写出向量的坐标表示吗？ 思考3：实数对“（0，1）”表示什么意思？ 【活动预设】 （1）以x、y轴方向上的单位向量为基底，分解后的系数所对应的实数对(x,y) （2）. （3）点A（0，1），区间（0，1），向量＝（0，1），如果不作说明则指向不明. 思考 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 如图6.3-8，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底，对于平面内的任意一个向量， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得 ． 这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作 ． ① 其中，叫做在轴上的坐标， 叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示． 显然，，，． 【设计意图】引导学生对向量坐标表示概念进行深入理解. 4. 平面向量坐标与点得坐标的联系 问题3： 如图，以O为起点作向量 ，则的坐标与点A的坐标有何联系？ 如图6.3-9，在直角坐标平面中，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定． 【活动预设】 设，则向量的坐标 (x，y) 就是终点A的坐标； 反过来，终点A的坐标 (x，y) 也就是向量的坐标. 因为，所以终点A的坐标 (x，y) 就是向量的坐标. 所以，如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标.这就建立了点的坐标与向量坐标之间的联系. 【设计意图】理解平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间的联系. 例3 如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标． 解：由图6.3-10可知，， 所以． 同理， 【变式】如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（    ）    A． ， B．， B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标. 【详解】根据平面直角坐标系，可知，， ∴，. 故选：C. 点评：平面向量的坐标表示注意点 1.，是根据平面向量基本定理得出来的，因此x,y的值是唯一确定的. 2.向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一表示方法，向量的坐标表示实际上是向量的代数表示. 3.注意书写格式，在向量的坐标表示中含有等号，即 4.几个特殊向量的坐标： 5.由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，即 1.（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 2.（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 3.（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 4.（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、基底的概念及辨析 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 5.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 6.（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 7. （25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为点，， 所以， 故选：B 8.（2025·广东江门·模拟预测）已知向量分别表示位移“向北偏东方向”“向东偏南方向”，则向量表示位移（　　） A．向正北方向 B．向正南方向 C．向西北方向 D．向东南方向 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量、向量坐标的线性运算解决几何问题 【分析】建立平面直角坐标系，得进行求解即可． 【详解】建立平面直角坐标系： 则，得， 则向量表示位移：向正北方向． 故选：A 9.（24-25高一下·河南·期中）已知向量，，则与（   ） A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．相互垂直 D．均为零向量 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、相反向量 【分析】由坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，即互为相反向量． 故选：B． 10.（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 1.（2026·河北沧州·一模）在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量的混合运算 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】如图，   ， ，则. 故选：B. 2.（25-26高三上·江苏南京·月考）在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用梯形相似比，可得，再用向量的减法运算，可得，再化简代换即可得解. 【详解】 由梯形ABCD中，，可得， 即，则， 因为，，所以， 故选：B. 3.（25-26高三上·安徽·开学考试）设是两个不共线的向量，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】根据题意设，再将代入，根据向量相等的条件列出方程组解出即可得解. 【详解】设，代入并整理得， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 4.（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得， ． 故选：A． 1. 知识清单 · （1）正交分解：将向量分解为两个互相垂直的向量。 · （2）单位正交基底：平面直角坐标系中，{i,j}（i=(1,0)，j=(0,1)）。 · （3）向量坐标表示：a=xi+yj ⇔ a=(x,y)。 · （4）向量坐标与点坐标：起点在原点时，向量坐标=终点坐标；任意向量AB=(x_B - x_A,y_B - y_A)。 · （5）坐标运算：a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂)，a - b=(x₁ - x₂,y₁ - y₂)。 1. 方法归纳 · （1）向量坐标求解：“平移法”（起点移到原点，看终点坐标）、“终点减起点法”。 · （2）问题解决思路：几何问题→向量问题→坐标问题→代数运算→几何结论（数形结合）。 1. 常见误区 · （1）混淆向量坐标与点坐标：向量坐标是“相对量”（与起点和终点有关），点坐标是“绝对量”（与原点有关）。 · （2）向量坐标运算时，误将起点坐标相加/减，忽略“终点减起点”的法则。 · （3）书写向量坐标时，遗漏括号或等号，如将a=(x,y)写成a=x,y。 教材第 30 页练习第 题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。练习（第30页） 1．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求，的坐标： （1），； （2），； （3），； （4），． 1．解析：（1） ，． （2），． （3），． （4），． 【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；． 【解析】（1）； ． （2）；． （3）；． （4）；． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题． 2. 在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；． 【解析】（1）, ；． （2）， ；． （3）， ；． （4）， ；． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 3. 若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想． 【答案】平行，证明见解析 【解析】． 证明如下：因为，，所以． 又因为与不共线， 所以． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题. 1. 学生对正交分解和坐标表示的概念理解是否到位？是否能准确区分向量坐标与点坐标？ 1. 向量坐标运算的法则掌握情况如何？是否能熟练运用法则解决简单问题？ 1. 课堂探究环节的设计是否合理？学生的参与度和互动效果如何？ 1. 教学难点的突破方法是否有效？学生在哪些知识点上存在困惑？ 1. 作业完成情况反映出哪些问题？后续教学中如何调整和改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $