6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示（题型专练）数学人教A版必修第二册

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 题型一：基底的概念及辨析 1.（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【知识点】基底的概念及辨析、平行向量（共线向量） 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 2.（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 3.（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 4.（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【详解】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 题型二：用坐标表示平面向量 1.（25-26高一·全国·假期作业）已知数轴上两点的坐标分别是0，，则的坐标是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量的坐标公式即可求出结果. 【详解】因为数轴上两点的坐标分别是， 所以向量的坐标是. 故选：A. 2.（2025高三·全国·专题练习）如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，． 故选：A． 3.（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 4.（2025高二上·云南·学业考试）已知点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解. 【详解】点，点，则. 故选：B 题型三：用基底表示向量 1.（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 2.（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 3.（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算表示相关向量进行求解即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又因为为的中点， 所以. 故选： 4.（2026·河北沧州·一模）在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 【答案】B 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】如图，   ， ，则. 故选：B. 题型一：由向量共线（平行）求参数 1.（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知向量，.若与是共线向量，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】因与共线，且，. 则. 故选：C 2.（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量，满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因，，，则. 故答案为：B 3.（23-24高一下·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析、由向量共线（平行）求参数 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 4.（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量共线定理的推论 【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 题型二：平面向量有关概念的坐标表示 1.（24-25高一下·天津·期末）已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 2.（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 3.（2023·广西·模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（    ） A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4 【答案】B 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示、已知数量积求模 【分析】根据题意得到，，求得，集合向量模的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为和是正交单位向量，，， 可得，所以，解得或. 故选：B． 4.（2024高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（　　） A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 【答案】ABD 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量的定义和坐标的定义，即可判断选项. 【详解】A.相等向量的坐标相同，故A正确； B.根据向量坐标的定义，可知平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标，故B正确； C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误； D. 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应，故D正确. 故选：ABD 1.（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量的坐标表示直接得解. 【详解】由已知，， 则， 故选：C. 2.（24-25高一下·陕西·期中）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以， 则． 故选：A 3.（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】由平面向量的坐标表示即可得出点的坐标. 【详解】设点，由向量的坐标表示可知，， 所以，解得，即点的坐标为. 故选：A. 4.（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量的坐标表示可得答案. 【详解】设,则， 解得. 故选:B 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 题型一：基底的概念及辨析 基础达标题 题型二：用坐标表示平面向 量 6.3.2平面 题型三：用基底表示向量 向量的正交 题型一：由向量共线（平 行)求参数 分解及坐标 能力提升题 题型二：平面向量有关概念 表示 的坐标表示 拓展培优题 基础达标题 题型一：基底的概念及辨析 1.(24-25高一上·上海课后作业)设点O是口ABCD两条对角线的交点，下列组 合中：O0与：②D1与C:⑧与DC:④0而与0，其中可作为表示 平行四边形ABCD所在平面所有向量的基的是() A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 2.(24-25高一上·上海随堂练习)若已知%、6是平面上的一组基，则下列各 组向量中不能作为基的一组是() A.6与8 B.36与28 C.8+8,与8-8 D.8与2 3.(2026高三·全国专题练习)设9，%是平面内所有向量的一组基底，则下面四 组向量中，不能作为基底的是() A.9与9-6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.8+8与8-30 C.6-26与3g+6g D.2g+36与8-2g 4.(24-25高一下·贵州贵阳·月考)已知9，是平面上两个不共线的向量，以 下可以作为平面向量一组基底的是() A.a=0’i=g-e B.a-25+6,万-时+6 C.a=8-2e,6=2g+4e D.a=3g+38,.i=-g-6 题型二：用坐标表示平面向量 A.B 1.(25-26高一·全国假期作业)已知数轴上两点“的坐标分别是0，，则 AB 的坐标是() A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.(2025高三·全国·专题练习)如图，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 分别为，7，取，引作为基底，若同=V5,0-石，则向量的坐标为() A层9停周c.〔9.引 3.(2425高一下山东聊城期末)已知点4-3)，1,2)，则B=（) 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(-2- B.2,1 C.(-12 D.(2- 4.(2025高二上云南学业考试)已知点4L2),点B2,3,则丽=（) A.(3,5) B.1 C.( D.(43) 题型三：用基底表示向量 1.(25-26高三上·新疆·月考)在△ABC中，D是线段BC的中点，点E满足 AE=2D,则BE=（) 1 3 B.B+C 2 c.+}c 4 D.44 4 2.(25-26高一上辽宁辽阳·期末)如图，在平行四边形ABCD中，F为CD的中 点，BC=3BE D A.玩cB.名c0c.名凤时花D.d+r 3.(25-26高三上·湖南长沙·月考)在△ABC中，D为边AC的中点，E为BD的中 点，设☑=6，元=6，则D丽=（) A.-a-6 B.a-i C.-a+6 D.a+6 4.(2026河北沧州一模)在△ABC中，点D在边AB上，BD=3DA,记 CB=xCA+cD,则y分别是（） A.4,-3 B.-3,4 C.4,3 D.3,4 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：由向量共线（平行）求参数 1.(24-25高三上山东菏泽期中)己知向量4=1，-2)，万=(2，个.若a与乃是共线 向量，则实数k的值为() A.-6 B.-5 C.-4 D.-3 2.(2025安徽马鞍山二模)已知平面向量a,方满足a=-5,6=(2,y,若 6,则=() al/ A.-V3 B.-2V3 C.3 D.25 3.(23-24高一下山东菏泽·月考)已知9,9是不共线的非零向量，则以下向 量可以作为基底的是() A.a=0.6=g-g B. a=3e-3e,b=e-e, C.a=6-28.万=g+2e D.a=6-28,6=2g-4e 4.(24-25高一下河南期中)若a,6是平面内一组不共线的非零向量，则下列也 可以作为一组基底向量的为() ①a-b和2025i-2025a ②a+b和a-b ③3a-2五和2a-36 ④4-36和6-2a A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 题型二：平面向量有关概念的坐标表示 1.(24-25高一下·天津·期末)已知 2,-,B3,D,记丽的相反向量为，则 () 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A. ā=(-1，-2) a=(1,2) a=(-1,2) a=(1,-2) C. D. 2.(2425高一下全国课后作业)已知，月为一组标准正交基，石=i+7, 6--,则ā-5在基，下的坐标为() A.(-1,2 B.(1,-2 C.（-4-2 D.12 3.(2023广西模拟预测)已知和/是两个正交单位向量，日=2i+37,6-i+ 且-d=5,则=() A.2或3 B.2或4 C.3或5 D.3或4 4.(2024高一下·全国·专题练习)下面几种说法中正确的有() A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 拓展培优题 1.(24-25高一下-陕西商洛期中)已知41,2，B-0 ,则AB=() A.(0,2 B.（-2,2 C.（-2,-2 D.(0,-2 2.(2425高一下陕西期中)已知点4-2小，B14到，C0,-3引，则0+4C=（) A.(5- B.(-3,3) C.(包7) D.(4,7 3.(2425高一下江苏常州月考)已知向量B=(3,4,点4-2,1， 则点B的坐 标为() A.(1,5) B.（-5,-3 C.5,3) D.(5,5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2425高一下全国课后作业)已知B=(6,5),42,3引，则点B的坐标为 () A.32) B. (7,8) C.3-2) D.人7-8) 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 （答案版） 题型一：基底的概念及辨析 1.B 2．D 3．C 4.C 题型二：用坐标表示平面向量 1.A 2．A 3.D 4.B 题型三：用基底表示向量 1.A 2．B 3.A 4.B 题型一：由向量共线（平行）求参数 1.C 2．B 3．C 4.B 题型二：平面向量有关概念的坐标表示 1.A 2．A 3．B 4.ABD 1.C 2．A 3．A 4.B 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $