专题9.4 向量基本定理及坐标表示（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心知识点，系统梳理基底概念、向量分解、坐标运算及位置关系（共线、垂直），构建从抽象定理到坐标化应用的学习支架，衔接向量线性运算与几何问题解决。 资料通过13类题型分类（如基底辨析、坐标运算、综合应用）及即学即练、变式训练，以问题驱动培养数学思维，坐标法解决几何问题（如最值、夹角）发展直观想象与数学运算素养，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

专题9.4 向量基本定理及坐标表示 教学目标 1.了解平面向量基本定理及其意义，理解基底的概念和作用，会用基底表示平面内任一向量，能运用平面向量基本定理解决一些平面几何的证明问题； 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算； 3.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本概念． 4.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生感受数学定理的产生、形成过程，体会定理所蕴含的转化思想，在推导、理解向量及其线性运算的坐标表示的过程中，发展直观想象素养，在进行向量坐标形式下的线性运算的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 平面向量基本定理的理解与应用；平面向量的坐标运算法则． 2.难点 对平面向量基本定理的发现和形成过程；理解平面向量坐标化的意义. 知识点01 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质： 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 注：(1) 基底e1, e2必须不共线； (2) λ1，λ2是被e1, e2, a唯一确定的实数对. (3) 平面向量基本定理是向量共线定理的推广 【即学即练】 1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D. 【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底； 对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底； 对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底； 故选：C. 2．如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【解析】由题意知， 故 , 故选：A 知识点02 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)向量的分解： 一个平面向量用一组基底e1, e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解． (2)正交分解： 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (3)向量的坐标表示： 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 注：一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 设a＝(x1, y1), b＝(x2, y2)， 那么a＋b＝(x1, y1)＋(x2, y2)＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＝(x1＋x2, y1＋y2)． 同理得a－b＝(x1－x2, y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 已知向量a＝(x1, y1), b＝(x2, y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2, y1＋y2), a－b＝(x1－x2, y1－y2)，λa＝(λx1，λy1). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 【即学即练】 1．已知，，,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【解析】由，，，得， 所以. 故选：B. 2．如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ）    A． ， B．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标. 【解析】根据平面直角坐标系，可知，， ∴，. 故选：C. 知识点03 平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 注：两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【即学即练】 1．已知平面内的三点，若，，三点共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三点共线的坐标表示即可求得答案. 【解析】由题意得， 因为，，三点共线，所以，得 故选：A 2．已知=（1，2）， =（-2，4）， (1)//（+），求 (2)⊥，求与夹角的余弦值 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出+和的坐标，根据//（+）可得方程，求出m,继而求出，即可求得答案； （2）根据⊥，求得，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【解析】（1）由=（1，2），=（-2，4），可得+， , 故由//（+），可得 ，解得 ； 故，则； （2）由⊥可得： ， 则 ， 故， ， ，， 故 . 题型01 基底的概念及辨析 【典例1】若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【解析】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ， ，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 两个向量是否能构成基底： 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 【变式1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【解析】对于A：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故A错误； 对于B：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故B错误； 对于C：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故C错误； 对于D：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故D正确. 故选：D. 【变式2】（多选）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可. 【解析】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线， 故选：BC 【变式3】设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，若向量不共线，则可作为该平面内一组基底，由此对各选项加以判断即可. 【解析】对于A，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以共线，所以不可作为该平面内一组基底，所以B正确， 对于C，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以C错误， 对于D，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以D错误， 故选：B. 题型02 用基底表示向量 【典例1】如图，在中，，，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用条件，将 作为基底表示即可求解作答 . 【解析】由题意， ， ； 故选：A. 用基底表示向量的依据和两个“模型”： (1)依据 ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义． (2)模型 用基底表示向量的一般方法： (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 【变式1】在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的平行线交于，得到，再根据，得到，再利用向量的线性运算求解. 【解析】解：如图， 过点作的平行线交于， 则是的中点，且， ， 又， 所以，即， 所以， 又， 故选：B 【变式2】如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先设出水平向右的单位向量和水平向上的单位向量，用单位向量表示题中的，结合代入化简后联立方程组求解得到的值相减即可. 【解析】设为水平向右的单位向量，为水平向上的单位向量. 则，，. 因为， 所以， 即. 所以，解得. 所以. 故选:A 【变式3】如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【解析】由图知， . 故选：D. 【变式4】如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【解析】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 题型03 利用平面向量基本定理求参数 【典例1】在中，点D在边AB的延长线上，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解析】解：因为点在边的延长线上且， 所以，即， 所以，所以. 故选：B 在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【变式1】如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【解析】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，所以． 故选：A． 【变式2】如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（ ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】由得，进而，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【解析】由四边形为平行四边形，为的中点，知，且， 所以，则． 因为， 所以，，所以． 故选：C． 【变式3】（多选）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 【解析】因为，，所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以，. 可知：AD错误，BC正确. 故选：BC. 题型04 平面向量基本定理的综合应用 【典例1】已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算求得，具体为利用平行四边形定则结合图形关系令，，解得，再令，，解得，确定点是线段的中点，最后由面积关系得出结果. 【解析】如图，令，， 于是， 而，并且不共线，因此，解得， 令，， 则， 从而，解得，因此点是线段的中点， 所以，所以. 故答案为： 应用平面向量基本定理一般思路： （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　 【变式1】如图，在中，与CE的交点为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【解析】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 【变式2】在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果 【解析】   因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以 ，当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值是. 故选：D 【变式3】如图，在中，点A是的中点，点D是靠近点B将分成的一个分点，和交于点E，设， （1）用，表示向量 ； （2）若，则 【答案】 【分析】（1）由，，再结合，即可得出答案； （2）由C，E，D三点共线，可知存在实数，使得，进而由 又，，可建立等式关系，从而得，求解即可. 【解析】（1）因为点A是的中点，所以， 所以， 又点D是靠近点B将分成的一个分点，所以， 所以. （2）因为C，E，D三点共线，所以存在实数，使得， 又，， 所以， 又，不共线，则，解得. 故答案为：（1）；（2）. 题型05 平面向量线性运算的坐标表示 【典例1】已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【解析】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 求点和向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向． (3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标． 【变式1】已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【解析】因为，所以， 故选：C. 【变式2】已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为（ ） A．(－7，0) B．(7，6) C．(6，7) D．(7，－6) 【答案】D 【分析】设出点坐标，求出坐标，利用，即可求解. 【解析】因为四边形ABCD为平行四边形， 所以. 设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)， 即解得， 因此D点坐标为(7，－6)． 故选:D. 【变式3】已知点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量的坐标运算得解. 【解析】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 【变式4】如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【解析】建立平面直角坐标系，如图，    则, 所以， 由可得， 即，解得，所以. 故选：C 【变式5】已知点，，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算得解. 【解析】设点的坐标分别为． 由题意得，． 因为， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以，解得， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式6】如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【答案】． 【分析】根据平行四边形法则，结合直角三角形的性质进行求解即可. 【解析】如图，    作平行四边形OBAC，则． 因为，， 所以，在中，，． 所以，即． 因此在基下的坐标为． 题型06 平面向量数量积的坐标表示 【典例1】在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【解析】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系. 已知，则；因为，，，所以， 又因为，可得，即， 解得（舍去，因为在直角梯形中），所以，. 因为点为的中点，所以；点为的中点，可得，即.  所以，.  可得：.  故选：C. 平面向量数量积坐标运算的两条途径： 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． 【变式1】若向量，，则（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积坐标表示计算即可求解. 【解析】因为，，所以， 所以， 故选：A. 【变式2】已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】根据向量的垂直，利用数量积为0，根据坐标计算即可求解. 【解析】因为向量， 所以，，， 因为 所以， 即，解得． 故选：A 【变式3】如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【解析】在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 题型07 向量共线、垂直的坐标表示 【典例1】（1）已知向量，，则与共线的单位向量为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据向量共线、垂直的坐标表示计算即可求解. 【解析】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案．因为，，则， 所以， 设与共线的单位向量为， 则， 解得 或 所以与共线的单位向量为或． 故选：D． (2)已知平面向量，，且，则实数（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积和向量垂直的坐标运算求出参数值. 【解析】， ， 则 故选：D. （1）两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. （2）垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【变式1】已知向量，，若与方向相同，则（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行可得的值，利用与方向相同验证可得结果. 【解析】由与方向相同得，， ∴，解得， 当时，，，，与方向相同， 当时，，，，与方向相反，不合题意. 综上得，. 故选：C. 【变式2】已知向量，且与互相垂直，则k的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与互相垂直，由求解. 【解析】解：因为， 所以，， 因为与互相垂直， 所以， 所以， 解得， 故选：D 【变式3】已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】求与，使之共线并求出的值，即可得解． 【解析】因为， ． 假设三点共线，则，即． 所以只要，则三点即可构成三角形. 故选：C 题型08 利用坐标解决平面向量的模长问题 【典例1】已知，且，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算，设，由可得，可得，利用函数求最值即可得解. 【解析】设，则， 则，所以， 所以当时，取得最小值，为． 故选：C． 求向量的模的两种基本策略： (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　 此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【变式1】已知向量，若，则 ． 【答案】． 【分析】根据向量平行可得参数，进而求得. 【解析】因为向量， 若，则，解得， 即，所以． 故答案为：． 【变式2】已知向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据向量平行可得参数，进而求得. 【解析】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式3】在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，利用坐标运算表示及，根据二次函数的性质可得结果. 【解析】 如图，过点作于点，过点作于点， ∵，∴， ∴，故， 以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则， 设，其中，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值． 故答案为： 题型09 利用坐标解决向量夹角问题 【典例1】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解析】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 解决向量夹角问题的方法及注意事项： (1)求解方法：由cosθ＝＝直接求出cosθ. (2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 【变式1】已知，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再求出夹角即得. 【解析】由，得，而，则， 于是，则，而， 所以与的夹角为. 故选：A 【变式2】已知向量，，若，，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据可得，再由可求出，即可根据向量夹角公式计算得出. 【解析】，，解得，， 设，则， 则，解得，故， ，， . 故选：D. 【变式3】正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【解析】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 【变式4】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型10 向量夹角为锐角或钝角问题 【典例1】已知平面直角坐标系中，向量，，若与的夹角为锐角.则实数的取值范围为___________． 【答案】且 【分析】根据题意得，且与不同向共线，再利用平面向量数量积的坐标公式以及向量共线列式即可得解. 【解析】因为，， 所以， 因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线， 由，得，则； 由与共线，得，则， 此时与同向共线，故； 综上，且. 故答案为：且 利用cosθ＝判断θ的值时，要注意当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【变式1】若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【解析】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2】已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 【变式3】已知点和向量 (1)若向量与向量同向，且，求点的坐标； (2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先设，得，接着利用坐标形式的向量共线定理和模长公式结合已知条件列式求出，再根据向量与向量同向进行检验即可得解. （2）先求出，再由且与不共线即可计算检验得解. 【解析】（1）设，则， 因为向量与向量同向，且， 所以且， 或，所以或， 当时，，此时向量与向量反向，不符合； 当时，，此时向量与向量同向，符合， 故，所以. （2）若向量，则， 因为向量与的夹角是锐角， 所以， 又即， 所以实数的取值范围为. 题型11 利用坐标法解决投影向量问题 【典例1】若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【解析】向量在方向上的投影向量为， 所以，解得或， 故选：C. 根据投影向量计算公式即可求解： 在方向上的投影向量为 【变式1】已知平面向量，若在方向上的投影向量为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据投影向量计算公式即可求解. 【解析】在方向上的投影向量为, ∴，∴，解得. 故选：A. 【变式2】已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【解析】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 【变式3】已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________ 【答案】 【分析】根据投影向量的定义运算求解. 【解析】，又， 所以在向量上的投影向量为. 故答案为： 题型12 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题 【典例1】已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C.    用向量坐标法解决平面几何问题的方法： 建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题． 2.用向量坐标法解决平面几何问题的步骤 【变式1】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【解析】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B. 【变式2】如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【解析】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C. 【变式3】如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解析】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 题型13 向量坐标运算的几何应用 【典例1】如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1)；；；(2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【解析】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 用向量坐标运算解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量坐标表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量坐标运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 【变式1】在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点、所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，求出所需各点坐标，利用向量数量积的坐标表示即可求解. 【解析】     以为原点、所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，设与轴交于点， 因为，，，，，分别为，的中点， 可得，， ，， 所以，，，，，， 所以，， ， 故选：D. 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（ ） A．－ B．0 C．4 D．－1 【答案】A 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果. 【解析】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2， 因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)， 所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)， 所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－， 当t＝时，·取得最小值－， 故选：A. 【变式3】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 1．若，则，那么下列对，的判断正确的是（ ） A．与一定共线 B．与一定不共线 C．与一定垂直 D．与中至少一个为 【答案】B 【分析】由平面向量基本定理分析判断 【解析】由平面向量基本定理知，当，不共线时，若，则， 而且当，不共线时，不一定有与垂直，所以C错误， 当与共线时，只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误， 当与中至少一个为时，中至少有一个可以不为零，所以D错误， 故选：B. 2．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【解析】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意到，后利用表示，即可得答案. 【解析】注意到. 又为DC中点，则； F为AD中点，则. 则； . 则. 故选：D 4．已知向量，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算得解. 【解析】因为， 所以. 故选：B 5．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【解析】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C. 6．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的知识列式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【解析】依题意，， 向量在向量上的投影向量： ， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A 7．（多选）已知平面向量， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【解析】由题设，，故，A错误，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD 8．（多选）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 【答案】AD 【分析】AB选项，根据向量基本定理和共线定理得到，从而利用基本不等式求出的最大值为；CD选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案. 【解析】AB选项，因为，所以， 故， 因为三点共线，设，即， 故， 令，故， 为正实数，由基本不等式得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，A正确,B错误； CD选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确. 故选：AD 9.（多选）武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 的最大值是 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，建立以为坐标原点的平面直角坐标系，求出相关点的坐标由点坐标写出向量坐标，利用向量运算的坐标运算即可求解. 【解析】依题意，以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，如图所示 因为， 所以， 设， 对于A， ，故A错误； 对于B，由，得， 即，解得，所以，故B正确； 对于C，，所以在方向上的投影向量为 ，故C正确； 对于D， ， 因，所以， 当，即时，取得最大值, 所以的最大值是.故D正确. 故选：BCD. 10．在平面直角坐标系中，已知为原点，，．若点在延长线上，且，则的坐标为 . 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算得解. 【解析】因为点在延长线上，且，所以， 所以 . 11．如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【解析】以，交点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图所示：则，，， 因为，所以，， 故答案为： 12．如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可． 【解析】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故答案为：6. 13．如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用向量基本定理得到； （2），利用向量数量积运算法则得到，并得到，，利用向量余弦夹角公式得到； （3）由向量基本定理得到，由向量共线定理的推论得到，得到答案. 【解析】（1） （2）， ， 其中 ， ， ； （3）， 三点共线，∴设，即， 故， ∴，， ， . 14．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【解析】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4 向量基本定理及坐标表示 教学目标 1.了解平面向量基本定理及其意义，理解基底的概念和作用，会用基底表示平面内任一向量，能运用平面向量基本定理解决一些平面几何的证明问题； 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算； 3.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本概念． 4.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生感受数学定理的产生、形成过程，体会定理所蕴含的转化思想，在推导、理解向量及其线性运算的坐标表示的过程中，发展直观想象素养，在进行向量坐标形式下的线性运算的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 平面向量基本定理的理解与应用；平面向量的坐标运算法则． 2.难点 对平面向量基本定理的发现和形成过程；理解平面向量坐标化的意义. 知识点01 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质： 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 注：(1) 基底e1, e2必须不共线； (2) λ1，λ2是被e1, e2, a唯一确定的实数对. (3) 平面向量基本定理是向量共线定理的推广 【即学即练】 1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（ ） A． B． C． D． 知识点02 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)向量的分解： 一个平面向量用一组基底e1, e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解． (2)正交分解： 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (3)向量的坐标表示： 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 注：一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 设a＝(x1, y1), b＝(x2, y2)， 那么a＋b＝(x1, y1)＋(x2, y2)＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＝(x1＋x2, y1＋y2)． 同理得a－b＝(x1－x2, y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 已知向量a＝(x1, y1), b＝(x2, y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2, y1＋y2), a－b＝(x1－x2, y1－y2)，λa＝(λx1，λy1). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 【即学即练】 1．已知，，,则（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ）    A． ， B．， B． C．， D．， 知识点03 平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 注：两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【即学即练】 1．已知平面内的三点，若，，三点共线，则（ ） A． B． C． D． 2．已知=（1，2）， =（-2，4）， (1)//（+），求 (2)⊥，求与夹角的余弦值 题型01 基底的概念及辨析 【典例1】若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 两个向量是否能构成基底： 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 【变式1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是（ ） A． B． C． D． 题型02 用基底表示向量 【典例1】如图，在中，，，则（ ） A． B． C． D．1 用基底表示向量的依据和两个“模型”： (1)依据 ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义． (2)模型 用基底表示向量的一般方法： (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 【变式1】在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么（ ） A．0 B． C．1 D．2 【变式3】如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（ ） A． B． C． D． 题型03 利用平面向量基本定理求参数 【典例1】在中，点D在边AB的延长线上，，，则（ ） A． B． C． D． 在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【变式1】如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（ ） A． B．0 C． D．1 【变式3】（多选）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）    A． B． C． D． 题型04 平面向量基本定理的综合应用 【典例1】已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为 . 应用平面向量基本定理一般思路： （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．　 【变式1】如图，在中，与CE的交点为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ） A．3 B．1 C．2 D．4 【变式3】如图，在中，点A是的中点，点D是靠近点B将分成的一个分点，和交于点E，设， （1）用，表示向量 ； （2）若，则 题型05 平面向量线性运算的坐标表示 【典例1】已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 求点和向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向． (3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标． 【变式1】已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为（ ） A．(－7，0) B．(7，6) C．(6，7) D．(7，－6) 【变式3】已知点，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（ ）    A． B． C． D． 【变式5】已知点，，则的坐标为 ． 【变式6】如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    题型06 平面向量数量积的坐标表示 【典例1】在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 平面向量数量积坐标运算的两条途径： 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． 【变式1】若向量，，则（ ） A．3 B．2 C． D． 【变式2】已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D．7 【变式3】如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 题型07 向量共线、垂直的坐标表示 【典例1】（1）已知向量，，则与共线的单位向量为（ ） A． B． C．或 D．或 (2)已知平面向量，，且，则实数（ ） A． B． C．2 D． （1）两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. （2）垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【变式1】已知向量，，若与方向相同，则（ ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】已知向量，且与互相垂直，则k的值为（ ） A．1 B． C． D． 【变式3】已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（ ） A． B． C．1 D． 题型08 利用坐标解决平面向量的模长问题 【典例1】已知，且，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．5 求向量的模的两种基本策略： (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　 此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【变式1】已知向量，若，则 ． 【变式2】已知向量，且，则 ． 【变式3】在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 题型09 利用坐标解决向量夹角问题 【典例1】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ） A． B． C． D． 解决向量夹角问题的方法及注意事项： (1)求解方法：由cosθ＝＝直接求出cosθ. (2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 【变式1】已知，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，，若，，则（ ） A．1 B． C． D． 【变式3】正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【变式4】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型10 向量夹角为锐角或钝角问题 【典例1】已知平面直角坐标系中，向量，，若与的夹角为锐角.则实数的取值范围为___________． 利用cosθ＝判断θ的值时，要注意当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【变式1】若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知点和向量 (1)若向量与向量同向，且，求点的坐标； (2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 题型11 利用坐标法解决投影向量问题 【典例1】若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 根据投影向量计算公式即可求解： 在方向上的投影向量为 【变式1】已知平面向量，若在方向上的投影向量为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________ 题型12 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题 【典例1】已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 用向量坐标法解决平面几何问题的方法： 建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题． 2.用向量坐标法解决平面几何问题的步骤 【变式1】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 题型13 向量坐标运算的几何应用 【典例1】如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 用向量坐标运算解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量坐标表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量坐标运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 【变式1】在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（ ） A．－ B．0 C．4 D．－1 【变式3】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 1．若，则，那么下列对，的判断正确的是（ ） A．与一定共线 B．与一定不共线 C．与一定垂直 D．与中至少一个为 2．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，则等于（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A．2 B．8 C．9 D．18 6．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 7．（多选）已知平面向量， 则（ ） A． B． C． D． 8．（多选）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（  ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 9.（多选）武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 的最大值是 10．在平面直角坐标系中，已知为原点，，．若点在延长线上，且，则的坐标为 . 11．如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．    12．如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 13．如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 14．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $