6.3.1 平面向量基本定理 （导学案）数学人教A版必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 导学案 1. 体验平面向量基本定理的生成过程，理解定理的核心内涵，明确基底的定义与选取条件。 1. 能熟练运用平面向量基本定理，将平面内任意向量用给定基底线性表示，掌握分解的基本方法。 1. 会应用定理解决三点共线判断、几何命题证明（如垂直、中点关系）等综合问题，掌握向量法解决几何问题的基本步骤。 1. 感受数学知识的逻辑连贯性与实用性，培养发现问题、分析问题和解决问题的能力，体会转化与数形结合的数学思想。 教学重点：平面向量基本定理的理解与意义；用基底表示向量；定理在几何问题中的应用。 教学难点： 平面向量基本定理的探究过程；基底选取的灵活性；向量法证明几何命题的思路转化。 知识点　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 基底 若e1，e2不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 导入新知1：校园路线规划中的向量分解 展示校园平面简化图，标注关键地点：教学楼A、图书馆B、操场C，三点构成三角形（A到B距离100米，B到C距离80米，A到C距离120米）。 提出问题1：小明从教学楼A出发，要直接走到操场C，他的行走方向和路程可以用向量表示。如果小明中途必须先去图书馆B取一本书，再前往操场C，那么可以分解成哪两个向量的和？这两个向量与是什么关系？ 追问1：如果小明中途不经过图书馆，而是先向东北方向走到花坛D，再从D走到操场C，还能分解成和吗？这两组分解后的向量有什么不同？ 追问2：如果不限定中途停靠点，可以分解成多少组不同的两个向量的和？分解时需要遵循什么规则？ 过渡提问：在校园路线中，我们能将一个向量分解成两个不同向量的和。那平面内的任意一个向量，是否都能分解成两个特定向量的线性组合？这两个特定向量需要满足什么条件才能让所有向量都能这样分解？ 导入新知2：购物付款中的向量组合 展示超市购物场景：一瓶饮料售价6元，小明有1元硬币（记为向量，价值1元，方向设定为水平向右）和5元纸币（记为向量，价值5元，方向设定为竖直向上）两种货币。 提出问题1：小明要支付6元，有几种付款方式？请用“几个加几个”的形式表示出来。（预设答案：1个+1个，6个+0个） 追问1：如果小明只有1元硬币和2元纸币（向量，价值2元），支付6元有多少种付款方式？每种方式对应的“系数”（硬币/纸币数量）是唯一确定的吗？ 追问2：如果超市商品价格是任意正整数（对应平面内任意向量），用“1元硬币+5元纸币”能支付所有价格吗？用“2元纸币+4元纸币”呢？为什么？ 过渡提问：购物付款中，我们用“不同面值货币的组合”表示任意价格，其中“1元+5元” “1元+2元”就像“货币基底”。类比到向量世界，是否存在这样的“向量基底”（两个向量），能让平面内任意向量都表示成这两个向量的“系数组合”？“向量基底”需要满足什么条件才能实现这种“万能表示”？ 探究点1：向量分解的可行性 1.平面向量基本定理的概念形成过程 1.1创设情境，引发思考 【实际情境】物理学中的基本方法：受力分析与力的分解 在物理学中，受力分析是最基本最重要的研究方式，而力的分解是受力分析的重中之重.力的分解随着问题场景的变化而有所不同.考虑如图所示的两个物体，图1中的物体放在光滑水平地面上，图2中的物体放在光滑斜面上，两个物体都受到同样的拉力F（假设拉力方向与斜面不平行）. 问题1：试运用物理学知识将力进行适合的分解. 追问：你在分解的时候使用了怎样的向量运算法则？ 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．如图6.3-1，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力． 探究点2：表示的唯一性 1.2探究典例，形成概念 【数学情境】平面向量的分解 问题2：选取平面内的任意两个两个不共线的向量，假设向量与都不共线，试将按的方向进行分解. 以向量为对角线，根据所在直线作平行四边形，则根据平行四边形法则可找到向量在方向上的分向量.容易看出这两个分向量分别与共线，根据共线向量定理，他们分别可以写成的形式，其中都是确定且唯一的实数.于是，向量可以写成如下的分解式：. 同理将的分解方式也进行板书.题目中向量的方向如此设计，可能会使一部分初学的学生有困难，故合作交流时会提示“直线的无限延展性”. （3）展示信息技术作图，用大量实例直观展示同一平面内任意向量关于的分解过程. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢? 探究 如图6.3-2 (1)， 设，是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与，都不共线的向量．如图6.3-2 (2)，在平面内任取一点，作，，，将按，的方向分解，你有什么发现? 如图6.3-3，过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点，，由与共线，与共线可得，存在实数，，使得，，所以，也就是说，与，都不共线的向量都可以表示成的形式． 问题2：对比力的分解的过程和向量分解的过程，你发现了什么共同特点？ 当是与，共线的非零向量时， 也可以表示成的形式；当是零向量时， 同样可以表示成的形式． (为什么?) 利用信息技术工具，可以动态地展示． 上述讨论表明，平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的．事实上，如果还可以表示成的形式，那么可得．由此式可以推出，全为0 (假设，不全为0，不妨假设，．由此可得，共线．这与已知，不共线矛盾)，即，．也就是说，有且只有一对实数，，使． 综上，我们得到如下定理: 平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 ． 若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(base)． 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示， 这为我们研究问题带来了极大的方便． 例1 如图，，不共线，且，用，表示． 观察，你有什么发现？ 平面向量的等和线，“爪”字型图及性质： （1）已知，为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，，使得． 则，，三点共线 ． 当，则点与位于同侧，且位于与之间． 当，则与位于两侧． 时，当， 则在线段上；当 ，则在线段的延长线上 （2）已知在线段上，且，则． 【变式】如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D．1 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据 ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义． (2)模型 　　 例2 如图6.3-5，是的中线， ，用向量方法证明是直角三角形． 【变式】已知正方形的边长为，向量，满足，，则（    ） A． B． C． D．    1.（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·河北沧州·月考）已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 4.（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A． ， B．， C．， D．， 5.（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 7.（25-26高三上·江西·期中）在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高二上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 10.（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 1.（2025·湖北·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，点在上且，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 2.（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 3.（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一·全国·假期作业）在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 1. 知识清单： （1）平面向量基本定理：核心是“不共线基底”与“唯一线性表示”； （2）基底特征：不共线、任意性（同一平面内任意两个不共线向量均可作为基底）； （3）应用场景：向量分解、几何证明（垂直、共线）、三点共线判断。 1. 方法归纳： （1）用基底表示向量：“图形分析—运算转化—化简结果”； （2）向量法解决几何问题：“选取基底—向量表示—向量运算—几何转化”； （3）数学思想：转化思想（几何问题→向量问题）、数形结合思想。 1. 常见误区： （1）将共线向量作为基底； （2）忽略向量表示的唯一性条件； （3）几何问题转化为向量问题时，向量关系梳理错误。 习题6.3 1,11（1）题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1 平面向量基本定理 导学案 1. 体验平面向量基本定理的生成过程，理解定理的核心内涵，明确基底的定义与选取条件。 1. 能熟练运用平面向量基本定理，将平面内任意向量用给定基底线性表示，掌握分解的基本方法。 1. 会应用定理解决三点共线判断、几何命题证明（如垂直、中点关系）等综合问题，掌握向量法解决几何问题的基本步骤。 1. 感受数学知识的逻辑连贯性与实用性，培养发现问题、分析问题和解决问题的能力，体会转化与数形结合的数学思想。 教学重点：平面向量基本定理的理解与意义；用基底表示向量；定理在几何问题中的应用。 教学难点： 平面向量基本定理的探究过程；基底选取的灵活性；向量法证明几何命题的思路转化。 知识点　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 [注意]　(1)基底不唯一．当基底确定时，分解形式唯一． (2)设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 (3)设{e1，e2}是平面内一个基底，若a＝λ1e1＋λ2e2，当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝0时，a与e2共线；当λ1＝λ2＝0时，a＝0. (4)对于平面内任意一点O，使P，A，B三点共线的充要条件是：存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 导入新知1：校园路线规划中的向量分解 展示校园平面简化图，标注关键地点：教学楼A、图书馆B、操场C，三点构成三角形（A到B距离100米，B到C距离80米，A到C距离120米）。 提出问题1：小明从教学楼A出发，要直接走到操场C，他的行走方向和路程可以用向量表示。如果小明中途必须先去图书馆B取一本书，再前往操场C，那么可以分解成哪两个向量的和？这两个向量与是什么关系？ 追问1：如果小明中途不经过图书馆，而是先向东北方向走到花坛D，再从D走到操场C，还能分解成和吗？这两组分解后的向量有什么不同？ 追问2：如果不限定中途停靠点，可以分解成多少组不同的两个向量的和？分解时需要遵循什么规则？ 过渡提问：在校园路线中，我们能将一个向量分解成两个不同向量的和。那平面内的任意一个向量，是否都能分解成两个特定向量的线性组合？这两个特定向量需要满足什么条件才能让所有向量都能这样分解？ 设计意图 1. 贴近生活实际：校园路线是学生每日接触的场景，能快速唤醒学生的生活经验，降低抽象概念的理解门槛，让学生感受到向量分解的实用性。 2. 串联核心内容：通过“固定停靠点分解→任意停靠点分解→分解的普遍性与条件”的问题链，自然引出平面向量基本定理的核心探究方向——“任意向量的分解可行性” “基底的选取条件”，为定理生成铺垫逻辑。 3. 激发求知欲：通过“无数组分解”与“特定条件下的唯一表示”的矛盾预设，引发学生对“分解的规律性” “基底的特殊性”的好奇，促使学生主动参与后续探究。 4. 渗透数学思想：在路线分解中隐含“三角形法则” “向量线性运算”，为后续定理推导中的“分向量与基底共线” “线性表示式”埋下伏笔，实现知识的自然衔接。 导入新知2：购物付款中的向量组合 展示超市购物场景：一瓶饮料售价6元，小明有1元硬币（记为向量，价值1元，方向设定为水平向右）和5元纸币（记为向量，价值5元，方向设定为竖直向上）两种货币。 提出问题1：小明要支付6元，有几种付款方式？请用“几个加几个”的形式表示出来。（预设答案：1个+1个，6个+0个） 追问1：如果小明只有1元硬币和2元纸币（向量，价值2元），支付6元有多少种付款方式？每种方式对应的“系数”（硬币/纸币数量）是唯一确定的吗？ 追问2：如果超市商品价格是任意正整数（对应平面内任意向量），用“1元硬币+5元纸币”能支付所有价格吗？用“2元纸币+4元纸币”呢？为什么？ 过渡提问：购物付款中，我们用“不同面值货币的组合”表示任意价格，其中“1元+5元” “1元+2元”就像“货币基底”。类比到向量世界，是否存在这样的“向量基底”（两个向量），能让平面内任意向量都表示成这两个向量的“系数组合”？“向量基底”需要满足什么条件才能实现这种“万能表示”？ 设计意图 1. 生活关联性强：购物付款是学生熟悉的日常行为，用“货币面值组合”类比“向量线性表示”，将抽象的数学概念转化为具体可感知的生活现象，降低理解难度。 2. 紧扣定理核心：通过“能否表示任意价格”对应“能否表示任意向量”，“货币面值是否共线（如2元与4元为倍数关系，可视为‘共线货币’）”对应“基底是否共线”，“付款方式的系数唯一性”对应“线性表示的唯一性”，精准串联定理的三大核心要素（基底不共线、任意向量可表示、表示唯一）。 3. 激发探究兴趣：通过“不同货币组合的付款能力差异”引发学生思考“基底的选取标准”，让学生带着“为什么有的组合能表示任意价格，有的不能”的疑问进入新课，主动探究“不共线”这一基底关键特征。 4. 强化方法迁移：在付款方式的“系数计算”中隐含“线性方程求解”，为后续定理证明中“表示唯一性”的代数推导（，）提供直观类比，帮助学生理解“系数唯一确定”的逻辑。 探究点1：向量分解的可行性 1.平面向量基本定理的概念形成过程 1.1创设情境，引发思考 【实际情境】物理学中的基本方法：受力分析与力的分解 在物理学中，受力分析是最基本最重要的研究方式，而力的分解是受力分析的重中之重.力的分解随着问题场景的变化而有所不同.考虑如图所示的两个物体，图1中的物体放在光滑水平地面上，图2中的物体放在光滑斜面上，两个物体都受到同样的拉力F（假设拉力方向与斜面不平行）. 问题1：试运用物理学知识将力进行适合的分解. 追问：你在分解的时候使用了怎样的向量运算法则？ 【预设的答案】如图所示，预设为大部分学生的分解结果. 【设计意图】对于高一学生而言，力是最常接触、最常处理的向量（矢量），采用之前已经学过的力的分解作为引入，能够让学生从熟悉的情境着手，引起学生的兴趣. 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．如图6.3-1，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力． 探究点2：表示的唯一性 1.2探究典例，形成概念 【数学情境】平面向量的分解 问题2：选取平面内的任意两个两个不共线的向量，假设向量与都不共线，试将按的方向进行分解. 【活动预设】 （1）分组活动，首先让学生尝试将向量进行分解，然后交流成果. （2）教师讲解，将本题的分解过程完整板书. 以向量为对角线，根据所在直线作平行四边形，则根据平行四边形法则可找到向量在方向上的分向量.容易看出这两个分向量分别与共线，根据共线向量定理，他们分别可以写成的形式，其中都是确定且唯一的实数.于是，向量可以写成如下的分解式：. 同理将的分解方式也进行板书.题目中向量的方向如此设计，可能会使一部分初学的学生有困难，故合作交流时会提示“直线的无限延展性”. （3）展示信息技术作图，用大量实例直观展示同一平面内任意向量关于的分解过程. 【设计意图】创设数学情境，通过平面向量分解的实例，让学生感受在数学学习中，平面向量的分解是规律性的一般问题，值得我们深入探究. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢? 探究 如图6.3-2 (1)， 设，是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与，都不共线的向量．如图6.3-2 (2)，在平面内任取一点，作，，，将按，的方向分解，你有什么发现? 如图6.3-3，过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点，，由与共线，与共线可得，存在实数，，使得，，所以，也就是说，与，都不共线的向量都可以表示成的形式． 问题2：对比力的分解的过程和向量分解的过程，你发现了什么共同特点？ 【活动预设】 （1）引导学生归纳概括出问题的共同特征：给定两个“方向”（教师适当明确为两个“不共线的向量”，就能够对向量进行分解，并且这种分解方式是唯一的） （2）展示并板书平面向量基本定理的内容.教师解释定理中的要点：不共线、存在性、唯一性. 当是与，共线的非零向量时， 也可以表示成的形式；当是零向量时， 同样可以表示成的形式． (为什么?) 利用信息技术工具，可以动态地展示． 上述讨论表明，平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的．事实上，如果还可以表示成的形式，那么可得．由此式可以推出，全为0 (假设，不全为0，不妨假设，．由此可得，共线．这与已知，不共线矛盾)，即，．也就是说，有且只有一对实数，，使． 综上，我们得到如下定理: 平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 ． 若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(base)． 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示， 这为我们研究问题带来了极大的方便． 【设计意图】前面创设的实际情境与数学情境是为本节的重要定理：平面向量基本定理而服务的，需要通过清晰准确的叙述和解释来抓住学生的思维，带领学生更深刻的思考. 例1 如图，，不共线，且，用，表示． 解：因为， 所以 ． 观察，你有什么发现？ 平面向量的等和线，“爪”字型图及性质： （1）已知，为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，，使得． 则，，三点共线 ． 当，则点与位于同侧，且位于与之间． 当，则与位于两侧． 时，当， 则在线段上；当 ，则在线段的延长线上 （2）已知在线段上，且，则． 【变式】如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用条件，将 作为基底表示即可求解作答 . 【详解】由题意， ， ； 故选：A. 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据 ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义． (2)模型 　　 例2 如图6.3-5，是的中线， ，用向量方法证明是直角三角形． 分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形． 证明：如图6.3-6，设，，则， ，于是． ． 因为， 所以． 因为，， 所以 ． 因此． 于是是直角三角形． 向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一． 【变式】已知正方形的边长为，向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】把，作为基底结合正方形性质即可. 【详解】由条件可，所以，A正确； ，与不垂直，B错误； ，C错误； ，根据正方形的性质有，所以，D正确. 故选: AD 【点睛】选择恰当的基底是解决问题的关键，注意特定图形的性质运用. 反思感悟　用基底表示向量的一般过程： 1. 选定基底，分析图形 2. 结合图形，向量运算 3. 保留结果，未完继续 【设计意图】 （1）初步熟悉用基底表示向量的一般过程，回顾向量运算法则. （2）借助阶梯式的设问，一步步深入探究关于三点共线的结论，培养学生的提问意识与问题解决意识.    1.（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 2.（24-25高三上·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】因为点，分别为，边上的中点，所以， 又，则， 所以. 故选：B 3.（25-26高三上·河北沧州·月考）已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】由向量的平行四边形定则结合相等向量计算可得. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以，解得， 故选：B. 4.（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 5.（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算表示相关向量进行求解即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又因为为的中点， 所以. 故选： 6.（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用向量的线性运算，结合三角形重心的向量表示可求解. 【详解】因为点G为的重心，所以， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 7.（25-26高三上·江西·期中）在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用向量的线性运算可得，可求的值. 【详解】因为D是BC的中点，所以， 所以，又， 所以， 所以， 又，所以，. 所以. 故选：B. 8.（25-26高二上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】利用，可得，结合已知和三点共线，即可求出的值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 9.（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 10.（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、三角形的心的向量表示 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 1.（2025·湖北·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，点在上且，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用定义求向量的数量积 【分析】利用平面向量的线性定理将求出来，然后利用向量的数量积公式求出的值. 【详解】∵，∴，∴三点共线， ∴，  ∴，∴．∴， ∴， 故选：C． 2.（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、向量的线性运算的几何应用 【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【详解】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，所以． 故选：A． 3.（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【详解】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以. 故选：D. 4.（25-26高一·全国·假期作业）在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案. 【详解】因为，所以为中点， 三点共线，故可设，即， 整理得， 因为，所以，即， 又三点共线， 则， 所以，解得， 可得，则，. 故选：D. 1. 知识清单： （1）平面向量基本定理：核心是“不共线基底”与“唯一线性表示”； （2）基底特征：不共线、任意性（同一平面内任意两个不共线向量均可作为基底）； （3）应用场景：向量分解、几何证明（垂直、共线）、三点共线判断。 1. 方法归纳： （1）用基底表示向量：“图形分析—运算转化—化简结果”； （2）向量法解决几何问题：“选取基底—向量表示—向量运算—几何转化”； （3）数学思想：转化思想（几何问题→向量问题）、数形结合思想。 1. 常见误区： （1）将共线向量作为基底； （2）忽略向量表示的唯一性条件； （3）几何问题转化为向量问题时，向量关系梳理错误。 【设计意图】通过结构化梳理，帮助学生构建知识网络，明确核心内容与方法；通过误区警示，规避常见错误，提升解题准确性；培养学生的归纳概括能力，形成良好的学习习惯。 习题6.3 1,11（1）题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $