6.3.1 平面向量基本定理 （题型专练）数学人教A版必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 （答案版） 题型一：基底的概念及辨析 1.C 2．D 3．C 4.C 题型二：平面向量基本定理的应用 1.CD 2．BC 3．B 4.C 题型三：基底的概念及辨析、平面向量共线定理的推论 1.B 2．C 3.D 4.C 题型一：平面向量的混合运算、用基底表示向量 1.D 2．D 3．A 4.C 题型二：平面向量的混合运算、平面向量基本定理的应用 1.C 2．C 3．C 4.C 1.A 2．C 3．D 4.A 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.3.1平面向量基本定理 题型一：基底的概念及辨析 题型二：平面向量基本定理 基础达标题 的应用 题型三：基底的概念及辨 析、平面向量共线定理的推 论 6.3.1平面向 题型一：平面向量的混合运 量基本定理 算、用基底表示向量 能力提升题 题型二：平面向量的混合运 算、平面向量基本定理的应 用 拓展培优题 基础达标题 题型一：基底的概念及辨析 1.(2025山西·二模) 若{,6} 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作 为平面向量的基底的是() A. e-ez,e2-e -6+ C.ete,e +4e D.{3e-2e,-6e+4e 2.(24-25高一下湖北黄冈·期中)若，已是平面内一组不共线的向量，则下 列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是() A.e与e-e2 B.e,+2e2与2e1+e2 c.e-2e2与e+2e, D.6e,-3e2与e2-2e 3.(24-25高一下·贵州贵阳月考)己知e,已是平面上两个不共线的向量，以 下可以作为平面向量一组基底的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a=0,b=e-e2 B.日=2+6,-=)+ e2 2 4 c.a=e-2e,b=2e+4eD.a=3e,+3e2,b=-e-e, 4.(2026高三·全国.专题练习)设e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则下面 四组向量中，不能作为基底的是() A.e与e-e2 B.e+e2与e,-3e2 c.e,-2e2与-3e,+6e2 D.2e+3e与e-2e2 题型二：平面向量基本定理的应用 1.(23-24高一下·广东深圳·月考)在ABC中，D在AB边上， AD=2DB,E是CD的中点，则() CD-2C4+1CB 2 A.BC=AB-AC B. 3 C.AE=-4B+-AC D.AC =2CB-3CD 3 2.2425高一下-浙江期中)已知ABC的内角A=元，AB=5, AC=3,O为ABC所在平面上一点，设AO=mAB+nAC,则下列 说法正确的是(） 2 A.若OA+OB+OC=0,则m= 3 B.若0A+O8+0C=0,则m+n= 3 c.若oA=oB=|oC,则m+3n=5D.若 4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04-08 -oc. 2-5 则m+2n 3.(26-27高三上·全国月考)己知点G为ABC的重心，若 BG=元BC+HAG,则2-u=() 3 A.0 B.1 D.3 2 4.(25-26高三上四川巴中·月考)如图，在ABC中，CN=2NA, N☑M=2MB,则下列说法正确的是(） M A.CM=24B-3 AC 2 3 3 0 B.CM-18-2 5 AC 9 C. CM=2AB-8 AC P D.CM=AB- 2- AC 9 9 3 题型三：基底的概念及辨析、平面向量共线定理的推论 1.(24-25高一下·河南·期中)若4，b是平面内一组不共线的非零向量，则下列 也可以作为一组基底向量的为() ①a-b和2025b-2025a ②a+b和a-b ③3a-2b和2a-3b ④a-3b和6b-2a A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.(24-25高一下·贵州遵义·月考)在ABC中，2B0=0C，过点O的直 线分别交直线AB,AC于点M,N,设AB=mAM,AC=nAN, 则2m+n的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高一上辽宁大连·期末)己知ABC中，O是BC边上靠近B的三 等分点，Q为AO的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点 M,N,设AB=mAM,AC=nAN,其中m>0,n>0,则下列结 论不正确的是() A.40-24B+1AC 3 3 n0=号+若4C 6 11 C.2m+n=3 D.二+二的最小值为3+2√2 m n 4.(2025·黑龙江牡丹江·模拟预测)已知ABC中，O是BC边上靠近B的 三等分点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设 11 AB=mAM,AC=nAN,其中m>0,n>0,则+-的最小值是() m n 3 A.4 B. +V2 c.1+22 D.3+2V2 3 B 能力提升题 题型一：平面向量的混合运算、用基底表示向量 1.(24-25高二上·贵州遵义·期末)已知ABC中，AM=2MB,则 CM=() 2、 5 A.-2CA+二CB B.-2CB+5CA 2 5 3 3 3 3 e.1C8+2C4 1 D. CB+C 3 3 2.(2025湖南长沙.二模)设D为△ABC所在平面内一点，若BC=2CD, 则下列关系中正确的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AD-34B-1AC 3 B.AD=14B- 3 AC 2 2 2 C.AD=34B+AC 3 D.4D--1 AB+ 2 3.(25-26高三上·安徽·月考)在ABC中，点G为重心，点P在线段AG上， 且满足AP=2PG,若AB=a,AC=b,则BP=() A.-7a+26 B. 7a-26 99 99 c.-2a+6 2 2a-6 2 D. 33 3 4.(25-26高三上·河南·月考)在ABC中，若 BD=BC,AD=2AC+元AB,则元+4=（) 5 4 6 19 A. B. C.1 D 5 5 15 题型二：平面向量的混合运算、平面向量基本定理的应用 1.(25-26高三上江苏无锡·月考)在梯形ABCD中，AB=2DC,E为CD 的中点，AC,BE交于点F,若AF=入AD+IAB,则2+H=() 4 3 A. B. C. 6 D. 5 3 4 5 6 2.(2025高三·全国·专题练习)2025年是中国人民抗战胜利80周年暨世界反法 西斯战争胜利80周年.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”.如 图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形 ABCDEFGH,如图乙所示，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且 AC=xAB+yAH(x,y∈R),则X+y=() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲 A.1+2W2B.1+2 C.2+√2 D.3 3.(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考)在△ABC中，D是BC边上一点且 2BD=3CD,则AD=() A. B+44C 1 B.1、 3 AB+二AC 5 5 4 4 2 3 3 2 C.二AB+二AC AB+二AC 5 D. 5 5 4.(25-26高三上辽宁.期中)在ABC中，D为边BC上一点，且满足 BD=2DC,设AP=入AD,元∈(0,1，若存在实数m,n,使 BP=mBA+nBC,则m+n的取值范围是() C 拓展培优题 1.(24-25高一下·上海·月考)下列命题中，正确的命题个数是() ①若a∥b,则一定存在唯一的实数2，使得a=入b: ②若ab=cb,则a=c; ab)c-a-b.c: 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④若a,b可以组成平面向量的一个基，则a+b,a-b可以组成平面向量 的一个基. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2324高一下山东菏泽·月考)已知？，已是不共线的非零向量，则以下向 量可以作为基底的是() A.a=0,b=e-ez B.a=3e-3e,,b=e-e, C.a=e-2e,,b=e+2e,D.a=e-2e,,b=2e-4e, 3.(25-26高三上河北邢台·月考)在平行四边形ABCD中，E为AC的中点， F为CD上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G,则BG=() A.-14B+4AD B.14B+44D 12 3 12 3 c. 1AB+号AD 3 D.-14B+34D 62 6 2 4.(2023高三·全国专题练习)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于 点O,点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F,若 AC=a,BD=b,且AF=a+ub,则入+u=() D a A.1 B. 3 C. D. 4 2 6.3.1 平面向量基本定理 题型一：基底的概念及辨析 1.（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 故选：C. 2.（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析、已知向量共线（平行）求参数 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【详解】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 3.（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【详解】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 4.（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、基底的概念及辨析 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 题型二：平面向量基本定理的应用 1.（23-24高一下·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 2.（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，，为所在平面上一点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量基本定理的应用、向量减法的法则 【分析】对A，B，对变形可得，结合已知条件即可求解；对C，D，结合已知条件，首先利用数量积公式求出和的值，再利用得到关于和的两个关系式，进而即可求解； 【详解】对于A，B，因为，则， 所以， 若，则， 由题易知点不在上，即不共线， ，解得，故A错误，B正确； 对于C，D，若，则是的外心， 故， 同理，可得， 由，知， ，即， 又，可得， 联立，解得，， 所以，，故C正确，D错误. 故选：BC. 3.（26-27高三上·全国·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 4.（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 题型三：基底的概念及辨析、平面向量共线定理的推论 1.（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量共线定理的推论 【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 2.（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理的推论、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 3.（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 4.（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 题型一：平面向量的混合运算、用基底表示向量 1.（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 2.（2025·湖南长沙·二模）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】以为基底，根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】如图 则. 故选：D 3.（25-26高三上·安徽·月考）在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用向量的线性运算结合重心的几何性质即可求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 4.（25-26高三上·河南·月考）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】先将用和表示，再结合已知条件将用表示，最后根据向量的线性运算将用和表示，从而求出和的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又,又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 题型二：平面向量的混合运算、平面向量基本定理的应用 1.（25-26高三上·江苏无锡·月考）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、平面向量的混合运算、平面向量基本定理的应用 【分析】连接，交AC于点.由两直线平行的性质，求得的关系.由三点共线，可用表示，即可得到，从而求得的值，相加可得的值. 【详解】如图所示，连接，交AC于点. 在梯形中，由，得，且. 所以，所以，且. 因为为的中点，所以，且. 所以，所以. 所以，. 所以，.所以 . 故选：C. 2.（2025高三·全国·专题练习）2025年是中国人民抗战胜利80周年暨世界反法西斯战争胜利80周年．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”．如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】设正八边形的边长为，作平行四边形，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解. 【详解】因为为正八边形，所以其一个外角，一个内角为 如图作平行四边形，则， 设正八边形的边长为，则， 又， 所以，所以． 故选：C 3.（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 4.（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 1.（24-25高一下·上海·月考）下列命题中，正确的命题个数是（   ） ①若，则一定存在唯一的实数λ，使得； ②若，则； ③； ④若，可以组成平面向量的一个基，则，可以组成平面向量的一个基． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、基底的概念及辨析 【分析】取分析说明①②，利用向量数量积及向量模的性质判断③，利用向量共线基本定理验证向量是否共线即可判断④. 【详解】①当时，若，则， 但此时对任意实数都成立， 此时不唯一，所以①错误； ②当时，，此时与不一定相等，故②错误； ③， 其中不一定为1，所以③错误； ④若向量，可以组成平面向量的一个基底，则向量，不共线， 设向量，共线， 则存在实数，使得 因为向量，不共线， 所以，方程组无解， 所以不存在实数，所以，亦不共线， 所以，可以组成平面向量的一个基，所以④正确； 故选：A． 2.（23-24高一下·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 3.（25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以． 故选：D. 4.（2023高三·全国·专题练习）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理的推论、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】作出辅助线，由向量共线定理可得答案. 【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $