6.3.1 平面向量基本定理 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 人教A版·必修第二册· 学习目标 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 目录 CATALOG 01.平面向量基本定理 03.题型强化训练 02.用基底表示向量的一般方法 04.小结及随堂练习 6.3.1 平面向量基本定理 01 平面向量基本定理 导入新知1：校园路线规划中的向量分解 教学楼A、图书馆B、操场C，三点构成三角形（A到B距离100米，B到C距离80米，A到C距离120米）。小明从教学楼A出发，要直接走到操场C，他的行走方向和路程可以用向量AC表示。如果小明中途必须先去图书馆B取一本书，再前往操场C，那么AC可以分解成哪两个向量的和？这两个向量与AC是什么关系？ 追问1：如果小明中途不经过图书馆，而是先向东北方向走到花坛D，再从D走到操场C，AC还能分解成AD和DC吗？这两组分解后的向量有什么不同？ 追问2：如果不限定中途停靠点，AC可以分解成多少组不同的两个向量的和？分解时需要遵循什么规则？ 导入新知2：购物付款中的向量组合 一瓶饮料售价6元，小明有1元硬币（记为向量e1，价值1元，方向设定为水平向右）和5元纸币（记为向量e2，价值5元，方向设定为竖直向上）两种货币。 小明要支付6元，有几种付款方式？请用“几个e1加几个e2”的形式表示出来。（预设答案：1个e2+1个e1，6个e1+0个e2） 追问1：如果小明只有1元硬币和2元纸币（向量e3，价值2元），支付6元有多少种付款方式？每种方式对应的“系数”（硬币/纸币数量）是唯一确定的吗？ 追问2：如果超市商品价格是任意正整数（对应平面内任意向量a），用“1元硬币+5元纸币”能支付所有价格吗？用“2元纸币+4元纸币”呢？为什么？ 学习新知 上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 学习新知 向量的加法 三角形法则中强调“首尾相连”；平行四边形法则中强调的是“共起点，不共线”. O A B A C B 向量的减法(三角形法则) (1)起点相同； (2)减向量的终点指向被减向量的终点. 学习新知 一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下∶ 设λ、μ为实数，那么: (1) λ(μa ) = (λμ)a (2) (λ+μ)a = λa +μa (3) λ(a +b) = λa +λb (1)|λa|=|λ||a|； (2) λ>0时，λa 与a 方向相同； λ<0时，λa与a方向相反； 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是向量. 学习新知 我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 学习新知 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的合力. 类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？ 学习新知 探究 如图(1)，设 是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与 都不共线的向量. 如图(2)，在平面内任取一点O，作 ， . 将 按 的方向分解，你有什么发现？ 图(1) 图(2) 学习新知 如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，根据向量的平行四边形法则，有 由共线可知,存在实数 ，使得： 所以 即 也就是说，与 都不共线的向量 都可以表示成 的形式. 当 与 或 共线的非零向量时， 也可以表示成 的形式； 当 是零向量时， 同样可以表示成 的形式.（为什么？） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用基底表示向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 学习新知 当 是与 或 共线的非零向量时， 也可以表示成 的形式. 当 是零向量时， 同样可以表示成 的形式. 综上所述：平面内任一向量 都可以按 的方向分解,表示成 的形式，而且这种表示形式是唯一的. （为什么是唯一的？） 学习新知 综上所述：平面内任一向量 都可以按 的方向分解,表示成 的形式，而且这种表示形式是唯一的. （为什么是唯一的？） 如果 还可以表示成 的形式，那么 可得： 所以 如果 不全为0， 不妨设 ，那么 由此可得 共线，这与已知 不共线相矛盾. 所以 即有且只有一对实数 ，使 学习新知 平面向量基本定理 　　如果e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便 　　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a = λ1e1+λ2e2． 学习新知 【练习】判断正误 (1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．(　　) (2)基底中的向量可以是零向量．(　　) (3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也 是唯一确定的．(　　) (4)已知e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2 ＝0，则λ＝μ＝0.(　　) √ ⅹ √ √ 学习新知 平面向量相等的充要条件 如果e1，e2不共线,且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2,那么 【练习】已知e1，e2不共线，且a= e1+ 2e2，b=ke1-e2，若a//b ,则实数 k的值为： . 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量基本定理的应用 02 用基底表示向量 的一般方法 6.3.1 平面向量基本定理 学习新知 例1： O A B P 图6.3-4 解： 学习新知 平面向量的等和线，“爪”字型图及性质： A B C D 学习新知 A B C D 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用平面向量基本定理求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用平面向量基本定理求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用平面向量基本定理求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 学习新知 例2： C A B D 图6.3-5 学习新知 C A B D 向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一． 例2： 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用平面向量基本定理求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用平面向量基本定理求参数、三角形的心的向量表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 03 题型强化训练 6.3.1 平面向量基本定理 能力提升 题型一：平面向量基本定理 能力提升 题型一：平面向量基本定理 能力提升 题型二：用基底表示向量 能力提升 题型二：用基底表示向量 能力提升 题型三：平面向量基本定理的应用 能力提升 题型三：平面向量基本定理的应用 能力提升 题型三：平面向量基本定理的应用 04 小结及随堂练习 6.3.1 平面向量基本定理 课堂总结1 平面向量基本定理 　　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a = λ1e1+λ2e2． 平面向量相等的充要条件 如果e1，e2不共线,且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2,那么 课堂总结2 用基底表示向量 平面向量基本定理的应用 课堂总结3 作业 习题6.3 1,11(1)题 6.3.1 平面向量基本定理 练习(第27页) A B C D E F 练习(第27页) A B C D E G F O 练习(第27页) A B C D E G F O 练习(第27页) A B C D E F 练习(第27页) A B C D E F 练习(第27页) A B C D E F 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 在 中， 是线段 的中点，点E满足 ，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为，所以， 则. 故选：A 2. 在 中， 为边 的中点， 为 的中点，设 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为为边的中点，所以， 又因为为的中点， 所以. 故选： 3. 在 中，点 ， 分别为 ， 边上的中点，点 满足 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为点，分别为，边上的中点，所以， 又，则， 所以. 故选：B 4. 如图，在 中， 为线段 上的一点， （ ， ）且 ，则（   ） A. ， B． ， C． ， D． ， 【详解】因为，所以， 则， 故，. 故选：B. 已知 为坐标原点， ，若四边形 为平行四边形，则 （    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以，解得， 故选：B. 【变式】如图,在 中, , ,则 （    ） A． B． C． D．1 【详解】由题意， ， ；故选：A. 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据 ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义． (2)模型 6. 已知点G为 的重心，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C． D．3 【详解】因为点G为的重心，所以， 所以，所以， 所以，又， 所以，所以. 故选：B. 7. 在 中， 是 的中点， .若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为D是BC的中点，所以， 所以，又， 所以， 所以， 又，所以，. 所以. 故选：B. 8. 如图，在△ABC中， ， ，P为CD上一点，且 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 【变式】已知正方形 的边长为 ,向量 , 满足 , ,则（    ） A． B． C． D． 【详解】由条件可 ，所以 ，A正确； ，与 不垂直，B错误； ，C错误； ，根据正方形的性质有 ， 所以 ，D正确. 故选: AD 【反思感悟】用基底表示向量的一般过程： 选定基底，分析图形 结合图形，向量运算 保留结果，未完继续 在 中， ，若 ， 则实数 的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 10. 若 是 的重心，且 （ 为实数），则 （   ） A． B． C．1 D． 【详解】如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点，则，代入整理得，因点在上，故得，则. 故选：B 设函数 的导函数为 ，且 ， 则 （   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，位移与时间的关系是 ，可得， 可得. 故选：C. 设函数 的导函数为 ，且 ， 则 （   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，位移与时间的关系是 ，可得， 可得. 故选：C. 【练习1】在平行四边形 中, , , ,则 A． B． C． D． 【详解】解：因为 ， ， 所以 ， ， 故选：C. 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 【提醒】 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．　　　　 【练习2】若点D,E,F分别为 的边 , , 的中点,且 , , 则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：因为点 , , 分别为 的边 , , 的中点, 且 , ,所以 ,故A错误； ,故B正确； ,故C正确； ,故D错误．故选： ． 用基底表示向量的两种基本方法 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 【练习3】如图，在 中，点A是 的中点，点D是靠近点B将 分成 的一个分点， 和 交于点E，设 ， (1)用 ， 表示向量 ； (2)若 ，则 . 【详解】(1)因为点A是 的中点，所以 ， 所以 ，又点D是靠近点B 将 分成 的一个分点，所以 ， 所以 . 【练习3】如图，在 中，点A是 的中点，点D是靠近点B将 分成 的一个分点， 和 交于点E，设 ， (1)用 ， 表示向量 ； (2)若 ，则 . 【详解】(2)因为C，E，D三点共线，所以存在实数 ,使得 , 又 , , 所以 ,又 ， 不共线，则 , 解得 . 故答案为：(1) ；(2) . 【反思感悟】用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底； (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．　 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． 三点共线的重要性质 用向量方法证明简单的几何命题 $