6.2.4 向量的数量积 第2课时 （导学案）数学人教A版必修第二册

6.2.4平面向量的数量积 第2课时 导学案 1. 掌握平面向量数量积的运算律（交换律、数乘结合律、分配律），理解运算律的推导过程。 1. 能熟练运用数量积运算律进行向量的化简、求值、求模及夹角计算。 1. 会利用数量积运算律解决向量垂直的判定与应用问题，体会向量运算的工具性。 1. 经历类比猜想、推理论证、应用拓展的过程，提升类比推理和逻辑思维能力，感受数形结合的数学思想。 教学重点：平面向量数量积运算律的掌握与应用；利用运算律进行向量的化简、求值及垂直问题解决。 教学难点：数量积运算律的推导（尤其是分配律）；理解数量积不满足结合律的原因；灵活运用运算律解决综合问题。 知识点　向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1) (交换律)． (2)(λa)·b＝ ＝ (结合律)． (3) (分配律)． [拓展]　(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d. 导入新知1：校园定向越野中的“能量消耗”问题 同学们，校园定向越野活动中，假设你需要完成两个任务：①从起点A出发，沿着向量a的方向（正东方向，长度80米）跑到打卡点B；②从B点再沿着向量b的方向（北偏东30°，长度60米）跑到终点C。在跑步过程中，“能量消耗”不仅和路线长度有关，还和路线与“主力发力方向”（比如身体前进的默认方向，设为向量c，正东方向）的夹角有关——夹角越小，发力越高效，相同长度下消耗的能量越少。 我们可以用一种“特殊运算”来量化能量消耗：若向量的长度为m，与向量c的夹角为θ，消耗能量可表示为“m与c的特殊运算”，即mccosθ（类比数量积定义）。现在问题来了： 从A到B再到C的总能量消耗，和直接从A到C（向量a+b）的能量消耗是否相等？ 如果先跑2倍长度的向量a（160米正东），再跑向量b，总消耗和先算“2倍向量a与c的特殊运算”，再加“b与c的特殊运算”是否一致？ 若改变路线顺序，先跑b再跑a，总能量消耗会变吗？ 这些问题的核心，就是向量的“特殊运算”（数量积）是否满足类似实数乘法的交换律、结合律、分配律。今天我们就来探究平面向量数量积的运算律，解开这些实际问题的谜团！ 导入新知2：购物推车的“推力做功”问题 周末和家长逛超市时，推购物车的过程藏着有趣的数学知识！假设购物车在水平地面上运动，我们来分析两种常见情况： 情况1：你先用水平推力F1（向量F1，长度15N，方向水平向前）推了5米（向量s1，长度5m，水平向前），再用斜向上的推力F2（向量F2，长度20N，与水平方向夹角30°）推了4米（向量s2，长度4m，水平向前）。 情况2：你直接用一个“等效推力”（向量F1+F2）推了“总路程对应的向量”（s1+s2）。 物理中“推力做功”的计算公式是W=Fscosθ（θ为推力与位移的夹角），这正是我们上节课学的向量数量积！ 现在请大家思考： 情况1中两次做功的总和，和情况2中“等效推力”做的功是否相等？（对应分配律） 若你用2倍的F1（30N水平向前）推s1，做功W1=2F1s1cos0°，和“2倍的（F1与s1的数量积）”（2(F1·s1)）是否相等？（对应数乘结合律） 若先推F2再推F1，总做功和先推F1再推F2是否一样？（对应交换律） 生活中我们总希望“高效做功”，而搞清楚这些“做功是否相等”的问题，本质就是要掌握向量数量积的运算规律。今天我们就来系统探究这些规律，看看它们和实数乘法的运算律有哪些相同点和不同点！ 【复习引入】 回顾：向量a，b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？ 1.呈现背景，提出问题 探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？ 2.分析联想，寻求方法 活动：尝试说明上述猜想正确与否，并给出证明： 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 （1）； （2）； （3）． 思考： a(b·c)＝(a·b)c成立吗？ 由于 a(b·c)表示与a共线的向量，(a·b)c表示与c共线的向量，所以这个式子不成立. （3）分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 教师讲授： 利用a＋b的投影向量等于a与b的投影向量之和可以证明. 3.猜想验证，得出结论 向量数量积的运算律： （1） a·b＝b·a；（交换律） （2）(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)；（数乘结合律） （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.（分配律） 下面我们利用向量投影证明分配律(3). 思考 设，，是向量，一定成立吗？为什么？ 例11 我们知道，对任意，恒有 ，． 对任意向量，，是否也有下面类似的结论？ (1)； (2)． 【变式】已知，与的夹角求： (1)； (2)的值； (3). 例12 已知，，与的夹角为，求． 【变式】已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角． 例13 已知，，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直？ 【变式】已知平面向量，且，，且与的夹角为. （1）求； （2）若与垂直，求的值.    1.（多选题）（25-26高三上·全国·期中）若单位向量满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）（24-25高一下·海南·期末）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，，都有 B．对任意非零向量，，都有 C．若向量，满足，则 D．若非零向量，满足，则 3.（多选题）（2026高三·全国·专题练习）已知非零向量，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 4.（多选题）（2025高二·全国·专题练习）向量，满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模等于 D． 5.（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 6.（多选题）（24-25高一下·山东威海·期末）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 7.（多选题）（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 8.（多选题）（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．命题“”的否定是真命题 9.（多选题）（23-24高一下·四川泸州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．或 B． C．已知，为非零向量，且，则与方向相同 D．若，则与的夹角是钝角 10.（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．的最大值为 1.（多选题）（24-25高一下·山东潍坊·期末）若，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 2.（多选题）（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设是任意的非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（多选题）（24-25高二下·浙江台州·期末）设平面向量满足，，记，，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得向量与向量垂直 B．的最小值为3 C．若，则向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为4 4.（多选题）（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）在中，，，，点D，M分别满足，，与相交于点F，则（    ） A． B． C． D． 1. 知识清单： (1) 平面向量数量积的三条运算律（交换律、数乘结合律、分配律）； (2) 运算律的应用：化简、求值、求模、求夹角、判定垂直； (3) 关键区别：数量积不满足结合律，运算结果为数量。 1. 方法归纳： (1) 类比推理：借鉴实数运算律探索向量运算规律； (2) 数形结合：利用数量积的几何意义（投影）理解运算律； (3) 转化思想：将向量的模、夹角问题转化为数量积运算。 1. 常见误区： (1) 混淆向量数量积与实数乘法，误用结合律； (2) 计算向量模时忘记开方（a=√a²）； (3) 忽略向量夹角的范围（0≤θ≤π）。 习题6.2 11（1），18题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4平面向量的数量积 第2课时 导学案 1. 掌握平面向量数量积的运算律（交换律、数乘结合律、分配律），理解运算律的推导过程。 1. 能熟练运用数量积运算律进行向量的化简、求值、求模及夹角计算。 1. 会利用数量积运算律解决向量垂直的判定与应用问题，体会向量运算的工具性。 1. 经历类比猜想、推理论证、应用拓展的过程，提升类比推理和逻辑思维能力，感受数形结合的数学思想。 教学重点：平面向量数量积运算律的掌握与应用；利用运算律进行向量的化简、求值及垂直问题解决。 教学难点：数量积运算律的推导（尤其是分配律）；理解数量积不满足结合律的原因；灵活运用运算律解决综合问题。 知识点　向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [拓展]　(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d. 导入新知1：校园定向越野中的“能量消耗”问题 同学们，校园定向越野活动中，假设你需要完成两个任务：①从起点A出发，沿着向量a的方向（正东方向，长度80米）跑到打卡点B；②从B点再沿着向量b的方向（北偏东30°，长度60米）跑到终点C。在跑步过程中，“能量消耗”不仅和路线长度有关，还和路线与“主力发力方向”（比如身体前进的默认方向，设为向量c，正东方向）的夹角有关——夹角越小，发力越高效，相同长度下消耗的能量越少。 我们可以用一种“特殊运算”来量化能量消耗：若向量的长度为m，与向量c的夹角为θ，消耗能量可表示为“m与c的特殊运算”，即mccosθ（类比数量积定义）。现在问题来了： 从A到B再到C的总能量消耗，和直接从A到C（向量a+b）的能量消耗是否相等？ 如果先跑2倍长度的向量a（160米正东），再跑向量b，总消耗和先算“2倍向量a与c的特殊运算”，再加“b与c的特殊运算”是否一致？ 若改变路线顺序，先跑b再跑a，总能量消耗会变吗？ 这些问题的核心，就是向量的“特殊运算”（数量积）是否满足类似实数乘法的交换律、结合律、分配律。今天我们就来探究平面向量数量积的运算律，解开这些实际问题的谜团！ 【设计意图】 贴近生活：以校园定向越野为场景，学生熟悉且有参与感，避免抽象概念的生硬引入。 紧扣核心：情境中“能量消耗”的量化方式直接对应数量积定义，三个问题分别指向交换律、数乘结合律、分配律，精准统领整节课的运算律探究主线。 激发求知欲：通过“总消耗是否相等”的疑问，引发学生对“运算规律”的思考，让学生感受到探究运算律的实际意义，而非单纯的数学推导。 铺垫应用：为后续运用运算律解决“化简、求值”问题埋下伏笔，让学生明白运算律是解决实际问题的工具。 导入新知2：购物推车的“推力做功”问题 周末和家长逛超市时，推购物车的过程藏着有趣的数学知识！假设购物车在水平地面上运动，我们来分析两种常见情况： 情况1：你先用水平推力F1（向量F1，长度15N，方向水平向前）推了5米（向量s1，长度5m，水平向前），再用斜向上的推力F2（向量F2，长度20N，与水平方向夹角30°）推了4米（向量s2，长度4m，水平向前）。 情况2：你直接用一个“等效推力”（向量F1+F2）推了“总路程对应的向量”（s1+s2）。 物理中“推力做功”的计算公式是W=Fscosθ（θ为推力与位移的夹角），这正是我们上节课学的向量数量积！ 现在请大家思考： 情况1中两次做功的总和，和情况2中“等效推力”做的功是否相等？（对应分配律） 若你用2倍的F1（30N水平向前）推s1，做功W1=2F1s1cos0°，和“2倍的（F1与s1的数量积）”（2(F1·s1)）是否相等？（对应数乘结合律） 若先推F2再推F1，总做功和先推F1再推F2是否一样？（对应交换律） 生活中我们总希望“高效做功”，而搞清楚这些“做功是否相等”的问题，本质就是要掌握向量数量积的运算规律。今天我们就来系统探究这些规律，看看它们和实数乘法的运算律有哪些相同点和不同点！ 【设计意图】 生活化迁移：从超市购物推车的做功问题切入，将物理知识与数学向量结合，体现“数学源于生活、服务生活”的理念，降低学生对抽象运算的抵触感。 统领全篇：三个问题分别对应数量积的分配律、数乘结合律、交换律，同时隐含“运算结果为数量”（做功是标量）的关键特征，为后续区分向量运算与实数运算、理解“不满足结合律”铺垫。 激发兴趣：通过“等效推力做功是否相等”的实际疑问，让学生产生“为什么会相等/不相等”的探究欲，主动参与到“猜想—验证—证明”的过程中。 落实素养：情境设计融合物理学科知识，培养学生的跨学科思维，同时让学生体会数形结合思想——用向量运算量化物理过程，用运算律简化实际问题的计算。 【复习引入】 回顾：向量a，b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？ 【预设的答案】 a·b＝|a||b|cosθ，其中θ为向量a，b的夹角. 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　. (4)|a·b|≤|a|·|b|. 【设计意图】复习回顾向量数量积第一课时的主要内容，为第二课时的学习做好准备. 1.呈现背景，提出问题 探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？ 【活动预设】展示数学乘法运算的运算律，及前两节所学的向量的线性运算律，学生类比出数量积的一些运算律. 【预设的答案】 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确 结合律 (ab)c＝a(bc) (λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb) a(b·c)＝(a·b)c 正确 错误 分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确 【设计意图】引导学生类比已学内容，做出猜想，为引入本节的数量积运算律做铺垫. 2.分析联想，寻求方法 活动：尝试说明上述猜想正确与否，并给出证明： 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 （1）； （2）； （3）． 【活动预设】教师带领学生讨论，学生尝试说明以上猜想正确与否. 【预设的答案】（1）交换律显然成立. （2）数乘结合律：(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb) (λa)·b=|λa||b|cos θ1 λ(a·b)=λ|a||b|cos θ2 a·(λb)=|a||λb|cos θ3 对λ分类讨论可以说明数乘结合律是成立的. 数量积结合律： 思考： a(b·c)＝(a·b)c成立吗？ 由于 a(b·c)表示与a共线的向量，(a·b)c表示与c共线的向量，所以这个式子不成立. （3）分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 教师讲授： 利用a＋b的投影向量等于a与b的投影向量之和可以证明. 3.猜想验证，得出结论 向量数量积的运算律： （1） a·b＝b·a；（交换律） （2）(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)；（数乘结合律） （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.（分配律） 下面我们利用向量投影证明分配律(3). 证明：如图6.2-22，任取一点，作，，，． 设向量，，与的夹角分别为，，，它们在向量上的投影向量分别为，，，与方向相同的单位向量为，则，，． 因为，所以．于是， 即，整理，得， 所以，即． 所以．因此． 【设计意图】培养学生的归纳总结能力；鼓励学生大胆猜想，小心求证；紧扣向量的数量积定义进行运算律的验证，便于理解向量数量积的运算律. 思考 设，，是向量，一定成立吗？为什么？ 例11 我们知道，对任意，恒有 ，． 对任意向量，，是否也有下面类似的结论？ (1)； (2)． 解：(1)； (2)． 因此，上述结论是成立的． 【活动预设】学生可利用分配律和交换律自行推导，加深对数量积运算律的理解. 【设计意图】通过数量积运算律的探索过程，学生已感受到类比推理的魅力.进一步类比实数范围内常用的结论，可以得到向量范围内的常用结论. 【变式】已知，与的夹角求： (1)； (2)的值； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）直接代入向量的数量积公式计算即可； （2）根据向量的运算律计算即可； （3）根据向量模的公式计算即可. 【详解】（1）===； （2）； （3）， 所以，. 例12 已知，，与的夹角为，求． 解： 【活动预设】学生动手操作，尝试初步运用. 【设计意图】应用向量运算律解决计算问题，对初学者来说是有些难度的，教师根据运算律详细展示计算过程，加深巩固学生对新知识的把握. 【变式】已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）由条件推理求得利用向量数量积的运算律即可求得； （2）利用计算向量夹角的公式，先求和，再代入公式计算即得. 【详解】（1）因，, 由可得， ，即 于是，； （2）设向量与的夹角为， 则， 因， ，， 即与的夹角为． 例13 已知，，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直？ 解：与互相垂直的充要条件是，即． 因为，，所以． 解得．也就是说，当时，与互相垂直． 【活动预设】引导学生开动脑筋，考虑将几何问题与向量联系起来. 【设计意图】通过此题让学生感受向量处理问题的优势. 通过向量运算将几何问题转化为代数问题，这为解决几何问题提供了新的思路. 【变式】已知平面向量，且，，且与的夹角为. （1）求； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1）；（2）2. 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义求出，再结合平面向量数量积的运算律求出，进而可以求出结果. （2）根据平面向量垂直则数量积为0，可得，进而结合平面向量数量积的定义以及运算律解方程即可求出结果. 【详解】解：（1）因为与的夹角为， 所以 所以所以 （2）因为，所以， 所以，所以，即， 故.    1.（多选题）（25-26高三上·全国·期中）若单位向量满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求得，即可判断CD；根据数量积的夹角公式得，结合模长相等判断B；根据零向量的性质判断A. 【详解】由为单位向量，且，得， 即，所以，则，故D正确； 又，所以不成立，故C错误； 由，得， 又，所以即，故B正确， 因为零向量与任何向量共线可知：，故A正确. 故选：ABD 2.（多选题）（24-25高一下·海南·期末）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，，都有 B．对任意非零向量，，都有 C．若向量，满足，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】AC 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据数量积定义和三角函数有界性可判断A；由向量三角不等式等号成立条件可判断B；根据向量垂直的充要条件推导可判断C；根据已知比较可判断D. 【详解】设， 因为，所以，A正确； 当向量，同向时，，B错误； 若，则，即，所以，C正确； 若非零向量，满足，则，所以， 又，所以，即，D错误. 故选：AC 3.（多选题）（2026高三·全国·专题练习）已知非零向量，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】A数乘向量为零向量可得；B根据数量积的运算律判断；C根据数量积的运算律可得或；D求证. 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，因，则， 故，故B正确； 对于C，若，则，则或，故C错误； 对于D，， 则，故D正确． 答案：ABD 4.（多选题）（2025高二·全国·专题练习）向量，满足，，，下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模等于 D． 【答案】BCD 【知识点】求投影向量、向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据向量数量积的运算律结合题干条件即可判断选项A；由平面向量的数量积定义即可判断选项B；根据投影向量的计算公式即可判断选项C；根据向量数量积的运算律计算即可判断选项D. 【详解】∵，，， ∴，∴，故选项A错误； 设的夹角为， 则，∴，∵，∴，故选项B正确； ∵在上的投影向量为，∴在上的投影向量的模等于，故选项C正确； ∵，∴，故选项D正确. 故选：BCD. 5.（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C. 【详解】由题意可知，，且， 则， ， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误； 因， 则， 因，则，故D正确. 故选：ABD 6.（多选题）（24-25高一下·山东威海·期末）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 【答案】BD 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】对于A利用向量数量积的运算律即可判断，对于B根据共线向量定理即可判断，对于C当时，即可判断，对于D利用夹角公式即可判断. 【详解】对于A：由得 ，所以，故A错误； 对于B：由于为非零向量，由可知不等于1，故，所以，故B正确； 对于C：当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D：因为，所以，所以或，所以，故D正确. 故选：BD. 7.（多选题）（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】BD 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】对A，若，则与不一定平行；对B，由向量相等的定义判断；对C，利用向量数量积的运算性质判断；对D，根据数量积的运算律及垂直的向量表示判断. 【详解】对于A，若，满足，，但与不一定平行，故A错误； 对于B，由向量相等的定义可知B正确； 对于C，若，即，但不一定成立，故C错误； 对于D，由，则，即， 整理得，又是非零向量，所以，故D正确. 故选：BD. 8.（多选题）（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．命题“”的否定是真命题 【答案】BCD 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、二倍角的余弦公式、全称命题的否定及其真假判断 【分析】由得与的值，可判断A与B选项；当时，计算的值，可判断C选项；根据存在量词命题的否定可判断D选项. 【详解】对于A，B：当时，，得， 则，又，故A错误，B正确； 对于C：当时，，故C正确； 对于D：假设，则有，则， 这显然不成立，所以假设不成立，所以命题“”是假命题， 从而命题“”的否定是真命题，故D正确. 故选：BCD 9.（多选题）（23-24高一下·四川泸州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．或 B． C．已知，为非零向量，且，则与方向相同 D．若，则与的夹角是钝角 【答案】ABD 【知识点】向量夹角的计算、平面向量数量积的定义及辨析、平行向量（共线向量） 【分析】借助向量的数量积定义与性质可得A、B、D；借助向量共线性质可得C. 【详解】对A：由可得，故A错误； 对B：向量为矢量，故向量的数量积不满足结合律，故B错误； 对C：由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确； 对D：当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误. 故选：ABD. 10.（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确； 【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误； 选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确； 选项C：，所以，所以C正确； 选项D：设，则， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确． 故选：BCD 1.（多选题）（24-25高一下·山东潍坊·期末）若，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】首先根据数量积公式判断A，再根据数量积，代入模，垂直，向量夹角公式，即可判断BCD. 【详解】对于选项A，，所以正确； 对于选项B，，则，所以B正确； 对于选项C，，所以，C正确； 对于选项D，因为， . 所以， 因为两向量夹角范围是，所以，所以D错误. 故选：ABC 2.（多选题）（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设是任意的非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据数量积的定义与数量积的运算律逐一判断即可. 【详解】对于A选项，时，或，故A错误； 对于B选项，若，则，所以， ，所以，故B正确； 对于C选项，，则，即， 所以，故C正确； 对于D选项，，则与共线同向，故D错误． 故选：BC. 3.（多选题）（24-25高二下·浙江台州·期末）设平面向量满足，，记，，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得向量与向量垂直 B．的最小值为3 C．若，则向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为4 【答案】ACD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】对于选项A，根据向量垂直可得出向量的数量积为0，从而可求出的值；对于选项B，首先写出的表达式，然后化简得到关于的一元二次函数，然后求出最小值即可；对于选项C，利用向量在另一向量的投影公式求解即可；对于选项D，首先将表示出来，得到一个关于的一元二次函数，然后求出最小值即可. 【详解】对于选项A： 若向量与向量垂直，那么. 所以. 化简得， 因为，所以，解得. 所以存在使得向量与向量垂直，选项A正确； 对于选项B： . 所以当时，取最小值为，所以B错误； 对于选项C： 若，则，它在向量上的投影为： ，所以C正确； 对于选项D： ， 当时，取最小值4，所以选项D正确. 故选：ACD. 4.（多选题）（24-25高二下·浙江嘉兴·月考）在中，，，，点D，M分别满足，，与相交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】对于A，由向量的线性运算可得，再利用模长公式计算即可；对于B，直接利用向量的线性运算可得；设，根据三点共线，可设，再利用向量相等可求得出结论；由题知，然后计算，再由可求解. 【详解】 ，， ，故A正确； ，故B正确； 设， 三点共线，可设， ，即，故C正确； 根据题意，，， ， ，故D错误； 故选：ABC. 1. 知识清单： (1) 平面向量数量积的三条运算律（交换律、数乘结合律、分配律）； (2) 运算律的应用：化简、求值、求模、求夹角、判定垂直； (3) 关键区别：数量积不满足结合律，运算结果为数量。 1. 方法归纳： (1) 类比推理：借鉴实数运算律探索向量运算规律； (2) 数形结合：利用数量积的几何意义（投影）理解运算律； (3) 转化思想：将向量的模、夹角问题转化为数量积运算。 1. 常见误区： (1) 混淆向量数量积与实数乘法，误用结合律； (2) 计算向量模时忘记开方（a=√a²）； (3) 忽略向量夹角的范围（0≤θ≤π）。 【设计意图】梳理本节课核心知识与方法，强化重点，规避误区，帮助学生构建完整的知识体系。 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 习题6.2 11（1），18题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $