第二单元 圆柱和圆锥（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第二单元 圆柱和圆锥 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本概念 1 二、圆柱的特征与计算 1 三、圆锥的特征与计算 2 四、圆柱与圆锥的关系（等底等高条件下） 3 五、易错点梳理 3 考点讲练 3 考点一：圆柱和圆锥的认识及特征 3 考点二：圆柱的展开图 6 考点三：圆柱的侧面积 8 考点四：圆柱的表面积 11 考点五：组合体的表面积（圆柱） 14 考点六：圆柱和圆锥的体积 16 考点七：圆柱和圆锥的容积 19 考点八：立体图形的切拼（圆柱） 23 考点九：圆柱和圆锥体积的关系 25 考点十：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 29 考点十一：立体图形的切拼（圆锥） 33 考点十二：组合体的体积（圆柱、圆锥） 36 考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 40 综合训练 42 知识梳理 一、基本概念 1.圆柱：以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转一周所形成的立体图形。由两个底面和一个侧面组成。 2.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周所形成的立体图形。由一个底面和一个侧面组成。 二、圆柱的特征与计算 （一）圆柱的特征 1.底面：两个完全相同的圆形，圆心分别为两个底面的中心，半径用(r)表示，直径用(d)表示（(d = 2r)）。 2.侧面：一个曲面，展开后通常是长方形（特殊情况为正方形，此时底面周长等于高）。长方形的长等于圆柱底面周长（(C = 2πr)或(πd)），宽等于圆柱的高（(h)，即两个底面之间的距离，有无数条且长度相等）。 3.高：两底面圆心之间的距离，用(h)表示。 （二）圆柱的表面积 1.定义：圆柱所有面的面积之和，包括侧面积和两个底面积。 2.公式推导： 侧面积（(S_{侧})）：展开后长方形面积 = 底面周长×高，即(S_{侧}=Ch=2πrh)（或(S_{侧}=πdh)）。 底面积（(S_{底})）：圆形面积 = (πr²)，两个底面积为(2S_{底}=2πr²)。 表面积（(S_{表})）：(S_{表}=S_{侧}+2S_{底}=2πrh + 2πr²)。 （三）圆柱的体积 1.定义：圆柱所占空间的大小。 2.公式推导：将圆柱沿底面半径和高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积（(S)），高等于圆柱的高（(h)），故体积(V = Sh = πr²h)。 解：(r = 4÷2 = 2dm)，(V = π×2²×6 = 24π ≈ 75.36dm³)。 三、圆锥的特征与计算 （一）圆锥的特征 1.底面：一个圆形，圆心为底面中心，半径用(r)表示。 2.侧面：一个曲面，展开后是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线（圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 3.高：从圆锥顶点到底面圆心的距离，用(h)表示，只有一条。 （二）圆锥的体积 1.定义：圆锥所占空间的大小。 2.公式推导：通过实验（等底等高的圆柱和圆锥容器装水/沙）可知，圆锥体积是等底等高圆柱体积的(\frac{1}{3})，故(V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}πr²h)（(S)为底面积，(h)为高）。 四、圆柱与圆锥的关系（等底等高条件下） 1.体积关系：圆锥体积 = (\frac{1}{3})圆柱体积，圆柱体积 = 3×圆锥体积。 2.拓展关系： 若体积相等、底面积相等，则圆锥的高 = 3×圆柱的高； 若体积相等、高相等，则圆锥的底面积 = 3×圆柱的底面积。 五、易错点梳理 1.圆柱表面积计算：需看清是否“有盖”（算两个底面积）或“无盖”（算一个底面积，如水桶），或“通风管”（只算侧面积）。 2.圆锥体积公式：易漏乘(\frac{1}{3})，需牢记“等底等高”是体积关系的前提。 3.单位换算：计算时注意单位统一（如(cm)与(dm)，(m³)与(L)等，(1L = 1dm³)，(1mL = 1cm³)）。 考点讲练 考点一：圆柱和圆锥的认识及特征 【典例精讲】一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放（    ）个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 A．46 B．40 C．32 D．31 【答案】C 【分析】先计算圆柱形油桶的底面直径，再分别确定仓库底面长，宽方向能摆放的油桶数量，以及高度方向能摆放的层数，最后计算总数量。 圆柱形油桶的底面是圆形，已知半径为1.5米，根据直径与半径的关系：直径＝半径×2，可求出底面直径，即米；仓库底面长为26米，油桶底面直径为3米，用仓库长度除以油桶底面直径，商即为长方向可摆放的数量（余数部分不够再放一个，舍去）即 （个）（米），取整数部分为8个； 仓库底面宽为8米，油桶底面直径为3米，用仓库宽度除以油桶底面直径，商即为宽方向可摆放的数量（余数部分不够再放一个，舍去）即（个）（米），取整数部分为2个； 油桶竖放，其高度为3米，仓库高度为6米，用仓库高度除以油桶高度，得到可摆放的层数，即（层）；再计算每层可摆放的油桶数量等于长方向摆放数量乘以宽方向摆放数量，即（个），最后计算总数量等于每层摆放数量乘以层数，即（个），据此解答。 【详解】由分析可知，一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放32个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 故答案为：C 【点睛】分别确定仓库底面长，宽方向能摆放的油桶数量，以及高度方向能摆放的层数，是解题的关键。 【变式训练】如下图，一个长方形的长是10cm，宽是4cm。分别绕着这个长方形的长和宽旋转，可以得到两个不同的圆柱。圆柱A的底面周长是( )cm，高是( )cm；圆柱B的底面积是( )cm2，高是( )cm。 【答案】25.12；10；314；4 【分析】圆柱A的高较长，底面半径较短，所以圆柱A是以长为轴旋转一周得到的圆柱，高和长方形的长相等，底面半径和长方形的宽相等。根据“圆的周长”，求出圆柱A的底面周长； 圆柱B的高较短，底面半径较长，所以圆柱B是以宽为轴旋转一周得到的圆柱，高和长方形的宽相等，底面半径和长方形的长相等。根据“圆的面积”，求出圆柱B的底面积。 【详解】 （厘米） 因此，圆柱A的底面周长是25.12厘米，高是10厘米； （平方厘米） 因此，圆柱B的底面积是314平方厘米，高是4厘米。 【变式训练】下图是等底等高的圆柱和圆锥，从不同方向看，会看到不同的形状。从上面看到的形状是（    ），从左面看到的形状是（    ）。 ①   ②  ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】单独观察圆柱时，从侧面看到是一个长方形或正方形，从上下面看到的是两个相同的圆形；单独观察圆锥时，从侧面看到是一个三角形，从上面看到一个有圆心的圆形，从下面看到一个圆形；题中，圆柱在左，圆锥在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个无圆心的圆形，右边是一个有圆心的圆形；从左面看，圆柱挡住了圆锥，所以只能看到一个长方形；据此解答。 【详解】题中，圆柱在左，圆锥在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个无圆心的圆形，右边是一个有圆心的圆形，选②符合；从左面看，圆柱挡住了圆锥，所以只能看到一个长方形，选③符合； 故答案为：B 【变式训练】一个底面直径为8cm的圆锥（如图），从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72cm2。这个圆锥的高是 cm。 【答案】9 【分析】将圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝1个三角形的面积，三角形的面积×2÷底面直径＝圆锥的高，据此列式计算。 【详解】72÷2×2÷8＝9（cm） 这个圆锥的高是9cm。 考点二：圆柱的展开图 【典例精讲】如图，把圆柱的侧面沿虚线展开，得到的平行四边形的底是（    ）厘米。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知，把圆柱的侧面沿虚线展开，得到的平行四边形的底等于圆柱的底面周长；根据圆的周长＝2πr，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】2×π×3＝6π（厘米） 因此得到的平行四边形的底是（6π）厘米。 故答案为：B 【变式训练】我们在计算圆柱表面积的时候，也可以把下面圆柱的表面积转化成下面的（    ）来计算。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，再根据圆面积公式的推导过程，把一个圆沿半径剪开，可以拼成一个近似的长方形，拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，近似长方形的宽等于圆的半径，由此可知，圆柱的两个底面拼成的近似长方形合并起来组成一个稍大的长方形，这个稍大的长方形的长等于圆柱的底面周长，再与圆柱侧面展开图的长方形拼成一个更大的长方形。据此解答即可。 【详解】 由分析得：圆柱的侧面展开是一个长方形，圆柱的两个底面剪拼成两个小长方形，这3个长方形拼在一起就可以得到，我们在计算圆柱表面积的时候，也可以把如图圆柱的表面积转化成进行计算。 故答案为：B 【变式训练】如图是两个圆柱模型表面展示图。（单位：厘米）则A圆柱的体积大。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱体积＝πr2h。A的底面周长是10厘米，高是4厘米。将底面周长除以3.14，再除以2，求出底面半径。再根据圆柱的体积公式，求出体积。B的底面周长是4厘米，高是10厘米。同理，先求出B的底面半径，再求出它的体积。对比A和B的体积，解题即可。 【详解】A的底面半径：10÷3.14÷2≈1.6（厘米） A的体积： 3.14×1.62×4 ＝3.14×2.56×4 ＝32.1536（立方厘米） B的底面半径：4÷3.14÷2≈0.6（厘米） B的体积： 3.14×0.62×10 ＝3.14×0.36×10 ＝11.304（立方厘米） 32.1536＞11.304，则A的体积大。 故答案为：√ 【变式训练】把一个圆柱的侧面剪开，可能得到一个正方形，也可能到一个( )形，还可能得到一个( )形。 【答案】 长方 平行四边 【分析】把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开是一个长方形，长方形的长相当于圆柱底面周长，宽相当于圆柱的高； 当圆柱的底面周长和高相等时，侧面展开图是一个正方形，圆柱的底面周长和高等于正方形的边长； 如果把一个圆柱的侧面斜着剪开，展开是一个平行四边形，平行四边形的底相当于圆柱底面周长，高相当于圆柱的高。 【详解】把一个圆柱的侧面剪开，可能得到一个正方形，也可能到一个长方形，还可能得到一个平行四边形。 考点三：圆柱的侧面积 【典例精讲】妈妈的水杯放在桌子上（如下图），水杯上的装饰带是园园怕烫伤妈妈的手而特意贴上的。这圈装饰带宽8cm，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】150.72平方厘米 【分析】由图可知，这圈装饰带的面积等于底面直径是6厘米，高是8厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积（d表示直径，h表示高），列式解答即可。 【详解】 （平方厘米） 答：它的面积是150.72平方厘米。 【变式训练】在“飞夺独木桥”勇士大通关游戏环节中，有一根长1m、横截面直径是20cm的木头浮在水面上，它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】 3454平方厘米 【分析】由题意知，木头与水接触的侧面积是整个圆柱侧面积的一半。根据圆柱的侧面积公式（圆柱的横截面即为圆柱的底面积），圆的周长公式（d为圆的直径），用圆柱的侧面积除以2即可求出圆柱侧面积的一半；已知横截面直径是20cm，用直径除以2得到半径，再根据圆的面积公式（r为圆的半径）求出圆柱横截面的面积；与水面接触的侧面积加上圆柱的一个底面积即为木头与水面接触的面积。据此解答。 【详解】1m＝100cm （cm） （平方厘米） 答：这根木头与水接触的面积是3454平方厘米。 【点睛】本题考查的是圆柱的表面积的计算及应用。 【变式训练】某大楼的大厅有6根圆柱形柱子，高是10m，柱子的底面周长是25.12dm。要全部刷上油漆，如果按每平方米的油漆费为8元计算，那么一共需要（    ）元油漆费。 A．150.72 B．1884 C．292 D．1205.76 【答案】D 【分析】根据题意可以知道，油漆的面积就是圆柱的侧面积，用底面周长乘高求出一个圆柱的侧面积，乘6求出6个圆柱的侧面积，然后再乘8得到答案，据此解答。 【详解】25.12dm＝2.512m （元） 某大楼的大厅有6根圆柱形柱子，高是10m，柱子的底面周长是25.12dm。要全部刷上油漆，如果按每平方米的油漆费为8元计算，那么一共需要1205.76元油漆费。 故答案为：D 【变式训练】某公司大厅内有6根圆柱形的柱子，底面周长都是3.14m，高是6m。现在要给这6根柱子的表面喷漆，每千克漆可喷涂2m2。一共需要多少千克油漆？ 【答案】56.52 kg 【分析】先计算一根柱子的侧面积，再计算6根柱子的总侧面积，最后用总侧面积除以每千克漆可喷涂的面积得到所需油漆的千克数。 【详解】一根柱子的侧面积：（m²） 6根柱子的侧面积：（m²） 油漆重量：（kg） 答：一共需要56.52千克油漆。 考点四：圆柱的表面积 【典例精讲】一个圆柱的底面直径是2厘米，高是9厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 62.8 28.26 9.42 【分析】圆柱的表面积由两个底面积和侧面积组成，公式是S＝2πr2＋2πrh（其中r是底面半径，h是高）。已知底面直径是2厘米，所以底面半径为2÷2＝1厘米，高h＝9厘米。先算底面积：3.14×12＝3.14平方厘米，两个底面积就是2×3.14＝6.28平方厘米。再算侧面积：侧面积公式是2πrh，代入数据得2×3.14×1×9＝56.52平方厘米。把侧面积和两个底面积相加即可得到表面积。 圆柱体积公式是V＝πr2h。r＝1厘米，h＝9厘米，把数据代入公式即可计算体积。圆锥体积公式是V＝πr2h，因为圆锥与圆柱等底等高，所以把圆柱体积代入公式即可计算。 【详解】2÷2＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 2×3.14＝6.28（平方厘米） 2×3.14×1×9＝56.52（平方厘米） 圆柱表面积：6.28＋56.52＝62.8（平方厘米） 圆柱体积：3.14×12×9 ＝3.14×1×9 ＝3.14×9 ＝28.26（立方厘米） 圆锥体积：×28.26＝9.42（立方厘米） 它的表面积是56.52平方厘米，体积是28.26立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是9.42立方厘米。 【变式训练】如图，一个底面直径和高都是4厘米的圆柱，把底面平均分成若干等份，切开后可以拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。拼成的这个长方体表面积比圆柱的表面积增加了( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 12.56 50.24 16 【分析】把圆柱切开拼成一个近似的长方体，长方体的底面积＝圆柱的底面积，已知底面直径4厘米，用直径除以2计算出半径，然后根据圆的面积公式计算出底面积；长方体的体积＝圆柱的体积，根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出长方体体积；长方体的表面积与圆柱的表面积相比，增加了左右两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，长方形的宽是圆柱的底面半径，根据“长方形面积＝长×宽”计算出1个长方形的面积，再乘2计算出长方体比圆柱增加的表面积。 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 12.56×4＝50.24（立方厘米） 4×2×2 ＝8×2 ＝16（平方厘米） 所以这个长方体的底面积是12.56平方厘米，体积是50.24立方厘米。拼成的这个长方体表面积比圆柱的表面积增加了16平方厘米。 【变式训练】把圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱体表面积增加了10平方厘米，原来圆柱体的侧面积是 平方厘米。（π取3.14） 【答案】31.4 【分析】根据题意，圆柱体切割后拼成近似的长方体，表面积增加了两个以圆柱的高为长，以圆柱的底面半径为宽的长方形的面积；先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，即rh＝5，圆柱的侧面积＝2πrh，则将rh代入计算即可。 【详解】10÷2＝5（平方厘米） 2×3.14×5＝31.4（平方厘米） 则原来圆柱体的侧面积是31.4平方厘米。 【变式训练】一种圆柱形状的铁皮油桶（有盖），量得底面直径为10分米，高为15分米。做一个这样的铁皮油桶，至少需要多少平方分米铁皮？（铁皮厚度不计） 【答案】628平方分米 【分析】求做一个圆柱形铁皮油桶至少需要铁皮的面积，就是求圆柱的表面积；根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】3.14×10×15＋3.14×（10÷2）2×2 ＝31.4×15＋3.14×52×2 ＝31.4×15＋3.14×25×2 ＝31.4×15＋78.5×2 ＝471＋157 ＝628（平方分米） 答：至少需要628平方分米铁皮。 考点五：组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是( )平方分米。 【答案】117.68 【分析】这个零件的表面积是直径为4分米的圆柱的表面积的一半与棱长为4分米的正方体的5个面的面积的和。圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，结合这两个公式求出题中零件的表面积。 【详解】[3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×4]÷2＋4×4×5 ＝[3.14×4×2＋50.24]÷2＋80 ＝[25.12＋50.24]÷2＋80 ＝75.36÷2＋80 ＝37.68＋80 ＝117.68（平方分米） 所以，这个零件的表面积是117.68平方分米。 【点睛】此题考查了圆柱和正方体的表面积公式的灵活应用，解题关键是熟记公式。 【变式训练】如下图的“博士帽”是用黑色卡纸做成，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径20厘米，高10厘米的无底无盖的圆柱。制作20顶这样的“博士帽”，至少需要多少平方分米的黑色卡纸？   【答案】305.6平方分米 【分析】观察图可知，先求出1顶这样的“博士帽”的表面积，正方形的面积＋圆柱的侧面积＝1顶“博士帽”的表面积，然后用1顶这样的“博士帽”的表面积×制作的数量＝一共需要的黑色卡纸表面积，然后把平方厘米化成平方分米，除以进率100，据此解答。 【详解】30×30＋3.14×20×10 ＝900＋628 ＝1528（平方厘米） 1528×20＝30560（平方厘米）＝305.6（平方分米） 答：制作20顶这样的“博士帽”，至少需要305.6平方分米的黑色卡纸。 【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积和表面积的应用解题方法，需要牢记侧面积和表面积公式。 【变式训练】如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 【答案】225.36 【分析】要求这个模型的表面积，实际上是用棱长为5分米的正方体的表面积加上6个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱的侧面积求和。 【详解】5×5×6＋3.14×2×2×6 ＝150＋75.36 ＝225.36（平方分米） 这个模型的表面积是225.36平方分米。 【点睛】此题考查长方体表面积和圆柱侧面积的综合应用，解答本题的关键是将表面积转化为学过的基本图形表面积。 【变式训练】下图是一顶帽子的示意图，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，两部分的表面都是用同样的花布做成的。已知帽顶的直径和高及帽檐宽都是2分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的花布？ 【答案】40.82平方分米 【分析】将圆柱的上底补到下底，则这顶帽子的面积为直径2＋2＋2＝6（分米）的圆的面积与底面直径2分米高2分米的圆柱侧面积的和，据此计算即可。 【详解】2＋2＋2＝6（分米） 3.14×（6÷2）2＋3.14×2×2 ＝28.26＋12.56 ＝40.82（平方分米） 答：做这顶帽子至少要用40.82平方分米的花布。 【点睛】本题考查了圆柱和圆的组合体的表面积计算的综合应用问题，适当进行移补和转化可简化计算。 考点六：圆柱和圆锥的体积 【典例精讲】下图是一块长16.56分米的长方形铁皮，按照图中的涂色部分裁剪，刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），这个油桶的体积是( )立方分米。 【答案】100.48 【分析】圆柱是由一个侧面和两个底面组成，由图可知长方形的长等于底面圆的周长加上底面圆的直径，长方形的宽等于圆柱的高。设圆的直径为d分米，根据周长公式：C＝πd，则周长为3.14d分米，则d＋3.14d＝16.56，解出方程即可求出圆的直径，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh＝π（d÷2）2h，代入数据计算，即可求出这个油桶的体积，据此解答。 【详解】解：设圆的直径为d分米。 d＋3.14d＝16.56 4.14d＝16.56 4.14d÷4.14＝16.56÷4.14 d＝4 即圆的直径为4分米。 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 即这个油桶的体积是100.48立方分米。 【变式训练】下面四个容器中均装有一定量的开水（图中涂色部分），如果把同样的15克糖分别溶解在四个容器的水中，那么最甜的是（    ）。（容器厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题要根据含糖率的计算公式：含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%来判断。因为糖的质量相同，所以只需要比较四个容器中水的体积，水的体积越小，糖水的质量就越小，含糖率就越高，水的体积可以通过长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积公式来计算。 【详解】A．长方体容器中水的体积为5×8×10＝400（立方厘米）。 B．正方体容器棱长1分米＝10厘米，水的体积为10×10×10＝1000（立方厘米）。 C．圆柱容器中水的体积为3.14×（1÷2）2×1＝3.14×0.25×1＝0.785（立方厘米）。 D．圆锥容器中水的体积×3.14×（1÷2）2＝×3.14×0.25×1≈0.26（立方厘米）。 比较可得0.26＜0.785＜400＜1000，D容器中水体积最小，含糖率最高。 故答案为：D 【变式训练】一个圆锥与一个圆柱的体积比是1∶1，圆柱底面积是圆锥的。如果圆柱高30厘米，那么圆锥高( )厘米；如果圆锥高30厘米，那么圆柱高( )厘米。 【答案】 60 15 【分析】一个圆锥与一个圆柱的体积比是1∶1，说明圆柱的体积与圆锥的体积相等，假设圆锥的底面积是3，则圆柱的底面积是3×，根据圆柱的体积＝底面积×高，求出圆柱的体积，也就是圆锥的体积，根据圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积求出圆锥的高；如果圆锥高30厘米，用×圆锥的底面积×30，再除以圆柱的底面积即可求出圆柱的高。 【详解】假设圆锥的底面积是3。 3××30×3÷3 ＝2×30×3÷3 ＝60（厘米） ×3×30÷（3×） ＝1×30÷2 ＝15（厘米） 所以如果圆柱高30厘米，圆锥的高是60厘米，如果圆锥高30厘米，那么圆柱高15厘米。 【变式训练】一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是12分米，把一个底面直径为3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面上升了1分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】12.56立方分米 【分析】分析题目，圆锥形铁块的体积等于圆柱形水桶的底面积乘水面上升的高度1分米，据此结合圆柱的底面积＝πr2列式计算即可。 【详解】3.14×22×1 ＝3.14×4×1 ＝12.56×1 ＝12.56（立方分米） 答：这个圆锥形铁块的体积是12.56立方分米。 考点七：圆柱和圆锥的容积 【典例精讲】一个圆柱形杯子，从里面测量底面直径8厘米，高6厘米。这个杯子能否装下一袋净含量300毫升的牛奶？ 【答案】能 【分析】根据圆柱体的容积＝底面积×高＝πr2h，求出这个杯子的容积，再和300毫升进行比较即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） ＝301.44毫升 301.44毫升＞300毫升 答：这个杯子能装下一袋300毫升的牛奶。 【点睛】此题属于圆柱体容积的实际应用，根据圆柱体的容积公式即可解答，注意体积单位和容积单位的换算。 【变式训练】一种食品罐头的包装如图。    （1）它的侧面包装纸的面积是80π平方厘米。制作这样一个罐头至少需要多少平方厘米的铁皮材料？（拼接处忽略不计） （2）这个圆柱形罐头的容积是多少？（厚度忽略不计） 【答案】（1）112π平方厘米 （2）160π毫升 【分析】（1）将侧面积除以高，求出罐头的底面周长，从而求出底面半径。底面积＝π×底面半径2，据此再求出底面积。将底面积乘2，再加上侧面积，即可求出制作这样一个罐头至少需要多少平方厘米的铁皮材料； （2）圆柱容积＝底面积×高，据此列式求出这个圆柱形罐头的容积是多少。 【详解】（1）底面周长：80π÷10＝8π（厘米） 底面半径：8π÷2÷π＝4（厘米） 底面积：π×42＝16π（平方厘米） 表面积：16π×2＋80π ＝32π＋80π ＝112π（平方厘米） 答：制作这样一个罐头至少需要112π平方厘米的铁皮材料。 （2）16π×10＝160π（立方厘米）＝160π（毫升） 答：这个圆柱形罐头的容积是160π毫升。 【点睛】本题考查了圆柱的表面积和容积，熟记公式是解题的关键。 【变式训练】刘师傅从一个圆柱形水桶里倒出3.14升的矿泉水，水面高度正好降低。已知水桶的底面直径是20厘米，水桶里原来的水有多深？ 【答案】50厘米 【分析】已知水桶的底面直径是20厘米，则底面半径是20÷2＝10（厘米），根据圆的面积＝πr2，即可求出圆柱的底面积。从圆柱形水桶里倒出3.14升的矿泉水，3.14升＝3140立方厘米，根据圆柱的容积＝底面积×高，用3140除以求出的底面积即可求出倒出的水的高度。已知倒出水后，水面高度正好降低，说明倒出的水的高度就是原来水深的，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用倒出的水的高度除以即可求出水桶里原来的水有多深。 【详解】3.14×（20÷2）2 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 3.14升＝3140立方厘米 3140÷314＝10（厘米） 10÷＝10×5＝50（厘米） 答：水桶里原来的水有50厘米深。 【点睛】本题考查了圆柱的容积和分数除法的综合应用。灵活运用圆柱的容积公式求出倒出的水的高度是解题的关键。 【变式训练】聪聪在爸爸茶杯的中部贴了一圈装饰带（如下图，茶杯是圆柱形），这条装饰带宽6厘米。 （1）这条装饰带的面积是多少平方厘米？ （2）这个茶杯的容积是多少立方厘米？（茶杯厚度忽略不计） 【答案】（1）188.4平方厘米 （2）942立方厘米 【分析】（1）由题意可得，装饰带是长方形的，装饰带的长为圆柱的底面周长，宽为6厘米，可用装饰带的长乘宽，列式解答即可得到答案； （2）求茶杯的容积，根据圆柱体的体积计算公式：V＝Sh解答即可。 【详解】（1）3.14×10×6 ＝31.4×6 ＝188.4（平方厘米） 答：这条装饰带的面积有188.4平方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） 答：这个茶杯的容积是942立方厘米。 【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、圆柱体的体积计算公式的运用情况。 考点八：立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 【答案】1177.5立方厘米 【分析】按图②的切法相当于增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积求出圆柱底面半径；按图①的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面半径的长方形，据此可求出圆柱的高，根据圆柱的体积求出这根木料的体积即可。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 因为，所以底面半径为5厘米。 （平方厘米） 圆柱的高：（厘米） （立方厘米） 答：这块木料的体积是1177.5立方厘米。 【变式训练】在实践活动课上，老师要求把完全一样的圆柱形橡皮泥平均切成两块，且切成的不是圆柱。下面是乐乐和园园按要求切完后的形状，原来圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48立方厘米 【分析】由题意可知：原来圆柱的底面直径为4厘米，高为厘米，据此利用圆柱的体积＝底面积×高，即可得解。 【详解】 （立方厘米） 答：原来圆柱形橡皮泥的体积是100.48立方厘米。 【点睛】本题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，得出原来圆柱的底面直径和高是解答本题的关键。 【变式训练】把一根长是3dm、底面直径是1dm的圆柱形木头，沿底面直径垂直于底面切成大小完全相同的两半，表面积比原来增加了多少？ 【答案】6平方分米 【分析】把一根长是3分米、底面直径是1分米的圆柱形木头，沿底面直径垂直于底面切成大小完全相同的两半，增加了两个长是3分米，宽是1分米的长方形，则增加部分的面积等于2个长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，据此解答即可。 【详解】（平方分米） 答：表面积比原来增加了6平方分米。 【变式训练】一根2米长的圆柱形木料，它的横截面的半径是10厘米，沿横截面的直径和圆柱的高锯开得到相等的两块，每块的表面积是多少平方分米？ 【答案】105.94平方分米 【分析】从题意可知，半圆柱的表面积＝一个底面（横截面）的面积＋侧面积的一半＋长方形的面积。根据圆的面积：S＝πr2，圆柱侧面积：S＝Ch＝2πrh，长方形的面积＝直径×长（高），先将单位换算成分米，再代入数据计算即可。 【详解】2米＝20分米    10厘米＝1分米 12×3.14＋1×2×3.14×20÷2＋1×2×20 ＝1×3.14＋1×2×3.14×20÷2＋1×2×20 ＝3.14＋62.8＋40 ＝105.94（平方分米） 答：每块的表面积是105.94平方分米。 考点九：圆柱和圆锥体积的关系 【典例精讲】一个圆柱和一个圆锥底面积相等，高也相等。圆柱的体积是9.42立方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】3.14立方厘米；28.26立方厘米 【分析】由题可知，圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等。等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，而圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据求一个数的几分之几或几倍是多少，用乘法计算，据此解答。 【详解】9.42×＝3.14（立方厘米） 答：圆锥的体积是3.14立方厘米。 9.42×3＝28.26（立方厘米） 答：圆柱的体积是28.26立方厘米。 【变式训练】一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米；如果圆锥的体积是12立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米；如果它们的体积和是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米；如果它们的体积差是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 4 36 3 6 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，已知圆柱的体积，求圆锥的体积，用圆柱的体积×解答； 已知圆锥的体积，求圆柱的体积，用圆锥的体积÷解答； 已知它们的体积和是12立方厘米，求圆锥的体积；设圆柱的体积为x立方厘米，则圆锥的体积是x立方厘米；列方程：x＋x＝12，先求出圆柱的体积，进而求出圆锥的体积； 已知它们的体积差是12立方厘米，求圆锥的体积，设圆柱的体积为y立方厘米，则圆锥的体积是y立方厘米，列方程：y－y＝12，解方程，求出圆柱的体积，进而求出圆锥的体积。 【详解】12×＝4（立方厘米） 12÷ ＝12×3 ＝36（立方厘米） 解：设圆柱的体积是x立方厘米，则圆锥的体积是x立方厘米。 x＋x＝12 x＝12 x＝12÷ x＝12× x＝9 圆锥的体积：9×＝3（立方厘米） 解：设圆柱的体积是y立方厘米，则圆锥的体积是y立方厘米。 y－y＝12 y＝12 y＝12÷ y＝12× y＝18 圆锥的体积：18×＝6（立方厘米） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是12立方厘米，那么圆锥的体积是4立方厘米；如果圆锥的体积是12立方厘米，那么圆柱的体积是36立方厘米；如果它们的体积和是12立方厘米，那么圆锥的体积是3立方厘米；如果它们的体积差是12立方厘米，那么圆锥的体积是6立方厘米。 【变式训练】把一个圆柱削成最大的圆锥，削去部分的体积是25.12立方厘米，削成的圆锥体积是( )立方厘米，如果这个圆柱的底面半径是1厘米，那么削成的圆锥的高是( )厘米。 【答案】 12.56 12 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍；用削去部分的体积÷2，即可求出圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：体积＝π×半径2×高×，高＝体积÷π÷半径2÷，据此解答。 【详解】25.12÷2＝12.56（立方厘米） 12.56÷3.14÷12÷ ＝4÷1÷ ＝4÷ ＝4×3 ＝12（厘米） 把一个圆柱削成最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍；削成的圆锥体积是12.56立方厘米，如果这个圆柱的底面半径是1厘米，那么削成的圆锥的高是12厘米。 【变式训练】如图，一个容器的高与地面垂直，用20升水刚好把这个容器装满。如果只把圆锥部分装满，则需要( )升水；如果水深2.5分米，则容器有( )升水。（容器的厚度忽略不计） 【答案】 5 15 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以整个容器的容积相当于圆锥容器容积的倍，把装满整个容器的容积看作单位“1”，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥容器的容积；如果水深2.5分米，也就是上面圆柱容器内水深是分米，也就是1分米。又因等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的容积看作1份，高1.5dm的圆柱体积就是3份，高1dm的圆柱体积就是2份。即上面圆柱容器的水深1分米时是下面圆锥容器的2倍，再加上下面圆锥容器容积，据此解答即可。 【详解】 （升） （分米） （升） （升） 则需要5升水，如果水深2.5分米，容器有15升水。 考点十：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】一个圆柱形容器里盛有10cm深的水，它的底面直径是20cm。园园把一块铁块完全浸没在水中，容器内水面上升了3cm（如下图），且水未溢出。这块铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】942立方厘米 【分析】首先应明白上升的水的体积就是这块铁块的体积，求出底面直径是20厘米，高为3厘米的水的体积即可。根据圆柱体体积公式，代入数据即可。 【详解】 （立方厘米） 答：这块铁块的体积是942立方厘米。 【变式训练】一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 【答案】2.4米 【分析】圆锥形谷堆的底面周长是18.84米，根据可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式可得，即可求出谷仓的高度。 【详解】 （米） （立方米） （米） 答：这个谷仓高2.4米。 【变式训练】一个圆锥形沙堆，底面半径是3米，高是2米，用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少米？ 【答案】0.942米 【分析】沙子从“圆锥形”变为“长方体”，形状改变但体积始终不变，即：圆锥形沙堆的体积＝长方体沙坑中沙子的体积。 已知圆锥形沙堆底面半径是3米，高是2米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（其中r是底面半径，h是高，π取3.14）；把数据代入公式计算即可得出圆锥形沙堆的体积。 用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高（此处“高”即沙坑中沙子的厚度）。那么高＝体积÷长÷宽，把求得的圆锥形沙堆的体积和长方体的长、宽代入公式计算即可解答。 【详解】×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝18.84（立方米） 18.84÷5÷4＝0.942（米） 答：沙坑里沙子的厚度是0.942米。 【变式训练】有一个高是12厘米，底面直径是6厘米的圆锥形钢块，如果把它熔铸成一个底面直径8厘米圆柱形钢块。熔铸成的圆柱形钢块的高是多少厘米？ 【答案】 2.25厘米 【分析】根据题意，圆锥形钢块熔铸成圆柱形钢块，体积不变。 先利用圆锥体积原钢块的体积，再利用圆柱体积公式求出熔铸后的高。 【详解】6÷2＝3（厘米） （立方厘米） 8÷2＝4（厘米） （厘米） 答：熔铸成的圆柱形钢块的高是2.25厘米。 考点十一：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方分米。 【答案】 188.4 376.8 【分析】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【详解】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 【变式训练】一个圆锥体底面直径10厘米，高12厘米。将它从顶点到底面直径垂直切开，截面的形状是( )形，一个截面的面积是( )平方厘米。 【答案】 等腰三角 60 【分析】从圆锥的顶点到底面直径垂直切开，截面的形状是一个底为底面直径、高为圆锥高的等腰三角形，根据三角的面积＝底×高÷2计算面积即可。 【详解】10×12÷2 ＝120÷2 ＝60（平方厘米） 所以从圆锥顶点到底面直径垂直切开，截面的形状是等腰三角形，一个截面的面积是60平方厘米。 【变式训练】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【答案】 188.4 376800 【分析】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【详解】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 【变式训练】如图，将圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，则表面积比原来多了90平方厘米。圆锥的底面积是( )平方厘米。 【答案】254.34 【分析】将圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，比原来多的表面积÷2，求出一个三角形的面积，看图可知，圆锥的高＝5厘米，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出底面直径，再根据圆锥的底面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】90÷2＝45（平方厘米） 45×2÷5＝18（厘米） 3.14×（18÷2）2 ＝3.14×92 ＝3.14×81 ＝254.34（平方厘米） 圆锥的底面积是254.34平方厘米。 考点十二：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】求下面立体图形的体积。 【答案】150.72dm3 【分析】该立体图形由圆柱和圆锥组成，且圆锥与圆柱等底。已知底面直径为4dm，半径为4÷2＝2dm。图形的总高度为16dm，圆柱的高为10dm，所以圆锥的高为16－10＝6dm。 根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），已知半径为2dm，高为6dm，把数据代入计算可得出圆锥的体积。 根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），已知半径为2dm，高为10dm，把数据代入计算可得出圆柱的体积。 把圆锥体积和圆锥体积相加即可得出该立体图形的体积。 【详解】4÷2＝2（dm） 16－10＝6（dm） ×3.14×22×6＝×3.14×4×6＝25.12（dm3） 3.14×22×10＝3.14×4×10＝125.6（dm3） 25.12＋125.6＝150.72（dm3） 该立体图形的体积为150.72dm3。 【变式训练】计算下面图形的体积。 【答案】251.2cm3 【分析】据图可知，图形是由一个底面直径是8厘米高是2厘米的圆柱和一个底面直径是8厘米高是9厘米的圆锥组成，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算。 【详解】3.14×（8÷2）2×2＋3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×2＋3.14×42×9× ＝3.14×16×2＋3.14×16×9× ＝50.24×2＋50.24×9× ＝100.48＋150.72 ＝251.2（cm3） 图形的体积是251.2cm3。 【变式训练】如图，陀螺上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测量，圆柱直径和高均为，当圆锥的高是圆柱高的时，旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是( )。 【答案】62.8 【分析】将圆柱的高看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。那么将圆柱的高乘，求出圆锥的高。看图可知，圆锥的底面直径和圆柱的底面直径相等。圆柱体积＝πr2h，圆锥体积＝πr2h，将数据代入公式，分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加求出这个陀螺的体积。 【详解】圆锥的高：4×＝3（cm） 圆柱和圆锥的底面半径：4÷2＝2（cm） 陀螺的体积： 3.14×22×4＋×3.14×22×3 ＝3.14×4×4＋×3.14×4×3 ＝50.24＋12.56 ＝62.8（cm3） 所以，这个陀螺的体积是62.8cm3。 【变式训练】如图是一个粮仓，它由一个圆柱和一个圆锥组合而成。如果每立方米粮食的质量是0.6吨，这个粮仓最多能装多少吨粮食？ 【答案】79.128吨 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，V＝πr2h，圆锥的面积＝底面积×高÷3，V＝πr2h，代入数据计算出粮仓的体积，粮仓的体积乘每立方米粮食的质量，就是这个粮仓所装的粮食质量。 【详解】3.14×（6÷2）2×4＋3.14×（6÷2）2×2× ＝3.14×32×4＋3.14×32×2× ＝3.14×9×4＋3.14×9×2× ＝113.04＋56.52× ＝113.04＋18.84 ＝131.88（立方米） 131.88×0.6＝79.128（吨） 答：这个粮仓最多能装79.128吨粮食。 【变式训练】一个橘子浸没在盛有200mL水的量杯中，这个橘子的体积是( )立方厘米。如果不让水溢出，这个量杯最多能放( )个这样的橘子。 【答案】 100 2 【分析】根据排水法，橘子浸没在量杯中，上升的水的体积就是橘子的体积。量杯原来盛的水的体积是200毫升，橘子浸没后，水面上升到300毫升处，说明一个橘子的体积是100毫升，也就是100立方厘米。这个量杯的容积最大是400毫升，原来的水体积是200毫升，最多还可以盛200毫升的水的体积，所以最多能放2个这样的橘子。 【详解】300－200＝100（毫升） 100毫升＝100立方厘米 （400－200）÷100 ＝200÷100 ＝2（个） 所以，这个橘子的体积是100立方厘米；最多能放2个这样的橘子。 考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】如图，我们在推导梯形的面积时，用两个完全相同的梯形拼成了平行四边形。运用这个推导思路，可以求出图中立体图形的体积是( )立方分米。（接头处忽略不计） 【答案】628 【分析】把两个完全一致的立体图形正反相接能够拼成一个圆柱，其底面直径是8分米，高是（10＋15）分米，根据圆柱的体积公式，求出拼成圆柱的体积，再除以2就是图中立体图形的体积，据此解答。 【详解】 （立方分米） 图中立体图形的体积是628立方分米。 【变式训练】如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】37.68平方厘米 【分析】因为圆锥浸没在水中，取出圆锥后水面下降，下降部分水的形状为圆柱体，根据等积变换原理，下降部分水的体积就等于圆锥的体积；已知圆柱底面半径是4厘米，水面下降高度是1.5厘米，根据圆柱的体积公式可求出下降水的体积，也就是圆锥体的体积；已知圆锥的高是6厘米，根据圆锥体积公式可计算出圆锥的底面积，“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，代入数值计算出铅锤的底面积。 【详解】3.14×42×1.5 ＝3.14×16×1.5 ＝50.24×1.5 ＝75.36（立方厘米） 75.36×3÷6 ＝226.08÷6 ＝37.68（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是37.68平方厘米。 【变式训练】小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行操作：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将一个鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度，此时水面的高度是6厘米。（水未溢出）如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】50.24立方厘米 【分析】水面上升的体积就是鸡蛋的体积，根据圆柱体积公式，圆柱形玻璃杯的底面积×水面上升的高度＝鸡蛋的体积，据此列式解答。 【详解】3.14×（8÷2）2×（6－5） ＝3.14×42×1 ＝3.14×16×1 ＝50.24（立方厘米） 答：这个鸡蛋的体积大约是50.24立方厘米。 综合训练 1．把一个底面半径6厘米、高8厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．32 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题可分析圆柱切拼成长方体后表面积增加的部分，增加的表面积是两个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形的面积。 【详解】圆柱切拼成长方体后，表面积增加了两个长方形的面积，长方形的长为圆柱的高8厘米，宽为圆柱的底面半径6厘米。则增加的表面积为2×8×6＝96（平方厘米）。 故答案为：C 2．如图，圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（    ）升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 【答案】D 【分析】本题涉及圆锥体积公式V＝πr2h，通过分析水的圆锥和整个圆锥容器的底面半径、高的关系，求出体积倍数关系，进而计算容器还能装的水量。设圆锥容器的底面半径为R，高为h，则水形成的小圆锥的底面半径为，高为。分别计算水的体积和容器的体积，求出体积倍数关系，再用容器体积减去水的体积得到还能装的水量。 【详解】（1）计算水的体积V水 设圆锥容器底面半径为R，高为h，水形成的小圆锥面积底面半径r＝，高h水＝。 根据圆锥体积公式V＝πr2h，水的体积： V水＝π（）2×＝π××＝πR2h （2）计算容器的体积V容 容器体积：V容＝πR2h （3）求体积倍数关系 V容÷V水＝πR2h÷πR2h＝8，即容器体积是水的体积的8倍。 （4）计算还能装的水量： 已知水有10升，容器体积为10×8＝80（升），所以这个容器还能装80－10＝70（升）。 故答案为：D 【点睛】解决本题的关键是利用圆锥体积公式，结合水的圆锥和容器圆锥的高、底面半径的比例关系，求出体积倍数，进而算出还能装的水量。要注意理解相似圆锥（水形成的圆锥和容器圆锥）的半径、高的比例对体积的影响。 3．用一块长12.56厘米、宽8厘米的长方形铁皮，配上半径为（    ）的圆形铁皮正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。（连接处忽略不计） A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【分析】长方形作为圆柱的侧面，若以12.56厘米为底，即底面圆的周长是12.56厘米，结合圆的周长公式，即可求出圆的直径，进而得出半径；当以宽8厘米作为底面时，结合圆的周长公式，得数必定是小数，明显没有符合的答案。故据此即可作答。 【详解】12.56÷3.14＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 配上半径为2厘米的圆形铁皮正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。 故答案选：B 4．下面图形的体积能用“底面积×高”计算的是（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】C 【分析】①是圆台不是圆柱，体积不能用底面积×高计算； ②是棱柱，棱柱的体积可以用底面积乘高计算，先根据梯形的面积公式求出底面积，再乘高即可； ③图形的体积等于大圆柱的体积减去小圆柱的体积，可以先用底面大圆的面积减去底面小圆的面积求出底面积，再乘高即可； ④是圆锥，圆锥的体积＝底面积×高×，据此解答。 【详解】根据分析可知：②③的体积能用“底面积×高”计算。 故答案为：C 5．从正面观察一个圆柱，看到的是一个边长为6厘米的正方形，则这个圆柱的高与底面周长的比是（    ）。 A．1∶1 B．π∶2 C．π∶1 D．1∶π 【答案】D 【分析】从正面观察一个圆柱，看到的是一个边长为6厘米的正方形，说明这个圆柱的高与底面直径都是6厘米。根据圆的周长公式：C＝πd，求出圆柱的底面周长，再求出圆柱的高与底面周长的比。注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。 【详解】6∶π×6 ＝6∶6π ＝（6÷6）∶（6π÷6） ＝1∶π 则这个圆柱的高与底面周长的比是1∶π。 故答案为：D 6．阿基米德是古希腊著名的数学家。他发现当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的，如图，这个球的表面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，求出圆柱表面积，圆柱表面积×＝球的表面积，列式计算即可。 【详解】（πr2×2＋2πr×2r）× ＝（2πr2＋4πr2）× ＝6πr2× ＝4πr2 这个球的表面积是4πr2。 故答案为：A 7．一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )dm3。 【答案】0.3 【分析】当从圆柱形木料中切出最大的圆锥时，这个圆锥与原来的圆柱是等底等高的。因为等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱体积比圆锥体积多的部分就是圆锥体积的2 倍。切掉的就是圆柱体积比圆锥体积多的部分，即这部分体积等于圆锥体积的2倍，由此即可求出圆锥的体积。 【详解】由分析可知， （） 这个圆锥的体积是。 8．乐乐有一个圆柱，它的底面半径是2dm，侧面积是226.08dm2，圆柱的高是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 18 226.08 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的周长＝（r为圆的半径），用圆柱的侧面积除以底面周长，求出高，再根据圆柱的体积公式（h为圆柱的高，r为底面圆的半径）求出圆柱的体积。据此解答。 【详解】 底面圆的周长： （dm） 圆柱的高：（dm） 圆柱的体积： （dm） 乐乐有一个圆柱，它的底面半径是2dm，侧面积是226.08dm2，圆柱的高是18dm，体积是226.08dm3。 9．如图，把底面直径为4厘米的圆柱切成若干等份，再拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了20平方厘米，圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 87.92 62.8 【分析】根据圆柱体积公式的推导方法可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，根据长方形的面积公式：，那么，把数据代入公式求出圆柱的高，再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。 【详解】求圆柱的高： 求圆柱表面积： 求圆柱体积： 所以，圆柱的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。 10．一个圆柱和圆锥的底面积相等，它们的体积比是6∶1，如果圆锥的高是1.2厘米，那么圆柱的高是( )厘米；如果圆柱的高是1.2厘米，那么圆锥的高是( )厘米。 【答案】 2.4// 0.6/ 【分析】假设圆柱和圆锥的底面积为1，根据圆柱和圆锥的体积公式的逆运算，推算圆柱和圆锥的高的比，再用1.2除以圆锥高对应的份数，得到每份是多少，再乘圆柱高的份数可得第一问；如果圆柱的高是1.2厘米，用1.2除以圆柱高对应的份数，得到每份是多少，再乘圆锥高的份数可得第二问。 【详解】假设圆柱和圆锥的底面积为1 圆柱和圆锥的高的比 （厘米）或（厘米）或（厘米） （厘米）或（厘米） 一个圆柱和圆锥的底面积相等，它们的体积比是6∶1，如果圆锥的高是1.2厘米，那么圆柱的高是2.4（或或）厘米；如果圆柱的高是1.2厘米，那么圆锥的高是0.6（或）厘米。 11．一个圆柱形钢锭的底面直径是10厘米，高是6厘米。它的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。把它熔铸成一个底面积和体积不变的圆锥，圆锥的高是( )厘米。 【答案】 188.4 345.4 471 18 【分析】已知圆柱形钢锭的底面直径是10厘米，高是6厘米，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh计算出圆柱的侧面积；用直径除以2计算出底面半径，根据圆的面积公式S＝2πr2计算出圆柱的底面积，乘2再加上侧面积计算出圆柱的表面积；根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积。把它熔铸成一个底面积和体积不变的圆锥，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 【详解】3.14×10×6 ＝31.4×6 ＝188.4（平方厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（平方厘米） 157＋188.4＝345.4（平方厘米） 3.14×52×6 ＝3.14×25×6 ＝78.5×6 ＝471（立方厘米） 6×3＝18（厘米） 所以该圆柱的侧面积是188.4平方厘米，表面积是345.4平方厘米，体积是471立方厘米。把它熔铸成一个底面积和体积不变的圆锥，圆锥的高是18厘米。 12．把一个圆柱钢坯削成一个最大的圆锥，要削去3.2立方厘米，原来圆柱钢坯的体积是( )立方厘米，如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，圆锥的高是( )厘米。 【答案】 4.8 1.2 【分析】把一个圆柱钢坯削成一个最大的圆锥，说明削成的圆锥与圆柱等底等高，圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱的体积的，设圆锥体积为1份，则圆柱体积为3份，削去部分的体积是3－1＝2份；已知削去部分的体积是3.2立方厘米，除以2计算出1份的体积；再乘3计算出原来圆柱钢坯的体积。 如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，则圆锥体积等于圆柱体积；根据“圆锥体积＝×底面积×高”可知用圆锥体积乘3除以底面积即可计算出圆锥的高。 【详解】3.2÷（3－1）×3 ＝3.2÷2×3 ＝1.6×3 ＝4.8（立方厘米） 所以原来圆柱钢坯的体积是4.8立方厘米。 4.8×3÷12 ＝14.4÷12 ＝1.2（厘米） 所以如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，圆锥的高是1.2厘米。 13．计算下列圆锥的体积。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1）60cm3 （2）200.96 cm3 （3）22.608 cm3 【分析】（1）已知圆锥的底面积为36cm2，高为5cm，根据圆锥体积解答即可。 （2）已知圆的底面半径为4cm，高为12cm，根据圆锥体积解答即可。 （3）已知圆的底面直径为4cm，根据半径＝直径÷2，求出圆的半径；根据圆锥的高为5.4cm，根据圆锥体积解答即可。 【详解】（1）（cm3） （2） （cm3） （3）半径：（cm） （cm3） 14．计算下列图形的体积。（单位：cm） （1）    （2）     （3） 【答案】（1）197.82立方厘米；（2）803.84 立方厘米；（3）43.96 立方厘米 【分析】（1）求圆柱的体积，题目中给出圆柱的半径和高，直接代入体积公式：，即可得出答案； （2）求圆锥的体积，题目中给出圆锥的直径和高，先求出圆锥的半径，再代入体积公式：，即可得出答案； （3）求组合图形的体积，组合图形由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱和圆锥的底相同，求出半径再分别计算圆柱和圆锥的体积，把两部分加起来。 【详解】（1） （立方厘米） （2） （立方厘米） （3） （立方厘米） 15．计算下面图形的表面积。 【答案】3113cm2 【分析】观察图形可知，该图形的表面积等于长方体的表面积加上圆柱的侧面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（20×30＋20×5＋30×5）×2＋3.14×15×30 ＝（600＋100＋150）×2＋3.14×15×30 ＝850×2＋3.14×15×30 ＝1700＋1413 ＝1700＋1413 ＝3113（cm2） 16．一个近似于圆锥形的黄沙堆，底面半径是2米，高1.5米，如果每立方米黄沙约重5.8吨，这堆黄沙大约重多少吨？（得数保留整吨数） 【答案】36吨 【分析】已知圆锥形黄沙堆的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出黄沙堆的体积，再乘每立方米黄沙的重量，即可求出这堆黄沙的总重量，得数依据“四舍五入”法取整数。 【详解】×3.14×22×1.5 ＝×3.14×4×1.5 ＝6.28（立方米） 5.8×6.28≈36（吨） 答：这堆黄沙大约重36吨。 17．把一个底面积是251.2平方厘米、高是20厘米的圆柱形钢锭，熔铸成一个底面半径是1分米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】48厘米 【分析】已知圆柱底面积是251.2平方厘米、高是20厘米，根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出圆柱体积，将该圆柱熔铸成一个底面半径是1分米的圆锥，因此圆锥和圆柱体积相等；先统一单位，1分米＝10厘米，根据圆的面积公式计算出圆锥的底面积，再根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可推导出“圆锥的高＝体积×3÷底面积”，进而计算出圆锥的高。 【详解】251.2×20＝5024（立方厘米） 1分米＝10厘米 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 5024×3÷314 ＝15072÷314 ＝48（厘米） 答：这个圆锥的高是48厘米。 18．一个立体组合图形从前面、右面和上面看到的图形及尺寸如图所示。它的体积是多少？（单位：厘米） 【答案】226.08立方厘米 【分析】根据从前面，右面和上面看到的图形可知，这个立体图形的上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，其中圆锥的底面直径和圆柱的底面直径相等是6厘米，圆锥的高和圆柱的高也相等是6厘米；根据圆锥的体积＝πr2h，圆柱的体积＝πr2h，且圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥体积的3倍，把相应数值代入圆锥体积的计算公式，计算出圆锥的体积，再把圆锥的体积乘3，计算出圆柱的体积，最后把圆锥的体积加上圆柱的体积，即为这个立体组合图形的体积。 【详解】 （立方厘米） 圆柱的体积：56.52×3＝169.56（立方厘米） 56.52＋169.56＝226.08（立方厘米） 答：它的体积是226.08立方厘米。 19．有一种容器，从前面和右面看都是大小相同的长方形，从上面看是圆形。 （1）这个容器的占地面积是多少平方厘米？ （2）这个容器的容积是多少立方厘米？（容器壁厚度不计） （3）将一个圆锥形的铁块投入盛有水的容器并没入水中，这时水面上升6厘米（水未溢出），铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）200.96平方厘米； （2）5024立方厘米； （3）1205.76立方厘米 【分析】（1）据图可知，这个容器是一个底面直径是16厘米高是25厘米的圆柱，求容器的占地面积就是求圆柱的底面积，根据圆柱的底面积＝π（d÷2）2代入数据列式计算； （2）圆柱的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算； （3）铁块的体积等于底面直径是16厘米高是6厘米的圆柱的体积，据此根据圆柱的体积＝π（d÷2）2h代入数据计算即可。 【详解】（1）3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 答：这个容器的占地面积是200.96平方厘米。 （2）3.14×（16÷2）2×25 ＝3.14×82×25 ＝3.14×64×25 ＝200.96×25 ＝5024（立方厘米） 答：这个容器的容积是5024立方厘米。 （3）3.14×（16÷2）2×6 ＝3.14×82×6 ＝3.14×64×6 ＝200.96×6 ＝1205.76（立方厘米） 答：铁块的体积是1205.76立方厘米。 20．为了方便、安全，许多学校校门口安装上了全自动不锈钢防撞升降柱。其中一款升降柱（地面以上部分）的底面直径是18厘米，高度是60厘米，为了保障夜间行车安全，升降柱上部装有两道反光条，每道反光条的宽度是8厘米。 （1）每一个升降柱（地面以上部分）的体积是多少立方厘米？ （2）每一个升降柱上反光条的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）15260.4立方厘米 （2）904.32平方厘米 【分析】（1）一个升降柱的底面直径是18厘米，则底面半径是18÷2＝9厘米，高是60厘米，根据圆柱的体积＝×半径的平方×高，代入数据解答即可； （2）反光条的宽度就是圆柱的高，反光条的面积等于底面直径是18厘米，高是8厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝×直径，代入数据计算即可求出一个反光条的面积，再乘2即可解答。 【详解】（1）18÷2＝9（厘米） 3.14××60 ＝3.14×81×60 ＝254.34×60 ＝15260.4（立方厘米） 答：每一个升降柱（地面以上部分）的体积是15260.4立方厘米。 （2）3.14×18×8×2 ＝56.52×8×2 ＝452.16×2 ＝904.32（平方厘米） 答：每一个升降柱上反光条的面积是904.32平方厘米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱和圆锥 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、基本概念 2 二、圆柱的特征与计算 2 三、圆锥的特征与计算 2 四、圆柱与圆锥的关系（等底等高条件下） 3 五、易错点梳理 3 考点讲练 3 考点一：圆柱和圆锥的认识及特征 3 考点二：圆柱的展开图 4 考点三：圆柱的侧面积 5 考点四：圆柱的表面积 6 考点五：组合体的表面积（圆柱） 7 考点六：圆柱和圆锥的体积 8 考点七：圆柱和圆锥的容积 9 考点八：立体图形的切拼（圆柱） 10 考点九：圆柱和圆锥体积的关系 12 考点十：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 13 考点十一：立体图形的切拼（圆锥） 14 考点十二：组合体的体积（圆柱、圆锥） 15 考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 16 综合训练 17 知识梳理 一、基本概念 1.圆柱：以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转一周所形成的立体图形。由两个底面和一个侧面组成。 2.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周所形成的立体图形。由一个底面和一个侧面组成。 二、圆柱的特征与计算 （一）圆柱的特征 1.底面：两个完全相同的圆形，圆心分别为两个底面的中心，半径用(r)表示，直径用(d)表示（(d = 2r)）。 2.侧面：一个曲面，展开后通常是长方形（特殊情况为正方形，此时底面周长等于高）。长方形的长等于圆柱底面周长（(C = 2πr)或(πd)），宽等于圆柱的高（(h)，即两个底面之间的距离，有无数条且长度相等）。 3.高：两底面圆心之间的距离，用(h)表示。 （二）圆柱的表面积 1.定义：圆柱所有面的面积之和，包括侧面积和两个底面积。 2.公式推导： 侧面积（(S_{侧})）：展开后长方形面积 = 底面周长×高，即(S_{侧}=Ch=2πrh)（或(S_{侧}=πdh)）。 底面积（(S_{底})）：圆形面积 = (πr²)，两个底面积为(2S_{底}=2πr²)。 表面积（(S_{表})）：(S_{表}=S_{侧}+2S_{底}=2πrh + 2πr²)。 （三）圆柱的体积 1.定义：圆柱所占空间的大小。 2.公式推导：将圆柱沿底面半径和高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积（(S)），高等于圆柱的高（(h)），故体积(V = Sh = πr²h)。 解：(r = 4÷2 = 2dm)，(V = π×2²×6 = 24π ≈ 75.36dm³)。 三、圆锥的特征与计算 （一）圆锥的特征 1.底面：一个圆形，圆心为底面中心，半径用(r)表示。 2.侧面：一个曲面，展开后是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线（圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 3.高：从圆锥顶点到底面圆心的距离，用(h)表示，只有一条。 （二）圆锥的体积 1.定义：圆锥所占空间的大小。 2.公式推导：通过实验（等底等高的圆柱和圆锥容器装水/沙）可知，圆锥体积是等底等高圆柱体积的(\frac{1}{3})，故(V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}πr²h)（(S)为底面积，(h)为高）。 四、圆柱与圆锥的关系（等底等高条件下） 1.体积关系：圆锥体积 = (\frac{1}{3})圆柱体积，圆柱体积 = 3×圆锥体积。 2.拓展关系： 若体积相等、底面积相等，则圆锥的高 = 3×圆柱的高； 若体积相等、高相等，则圆锥的底面积 = 3×圆柱的底面积。 五、易错点梳理 1.圆柱表面积计算：需看清是否“有盖”（算两个底面积）或“无盖”（算一个底面积，如水桶），或“通风管”（只算侧面积）。 2.圆锥体积公式：易漏乘(\frac{1}{3})，需牢记“等底等高”是体积关系的前提。 3.单位换算：计算时注意单位统一（如(cm)与(dm)，(m³)与(L)等，(1L = 1dm³)，(1mL = 1cm³)）。 考点讲练 考点一：圆柱和圆锥的认识及特征 【典例精讲】一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放（    ）个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 A．46 B．40 C．32 D．31 【变式训练】如下图，一个长方形的长是10cm，宽是4cm。分别绕着这个长方形的长和宽旋转，可以得到两个不同的圆柱。圆柱A的底面周长是( )cm，高是( )cm；圆柱B的底面积是( )cm2，高是( )cm。 【变式训练】下图是等底等高的圆柱和圆锥，从不同方向看，会看到不同的形状。从上面看到的形状是（    ），从左面看到的形状是（    ）。 ①   ②  ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练】一个底面直径为8cm的圆锥（如图），从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72cm2。这个圆锥的高是 cm。 考点二：圆柱的展开图 【典例精讲】如图，把圆柱的侧面沿虚线展开，得到的平行四边形的底是（    ）厘米。 A． B． C． D． 【变式训练】我们在计算圆柱表面积的时候，也可以把下面圆柱的表面积转化成下面的（    ）来计算。 A． B． C． D． 【变式训练】如图是两个圆柱模型表面展示图。（单位：厘米）则A圆柱的体积大。( ) 【变式训练】把一个圆柱的侧面剪开，可能得到一个正方形，也可能到一个( )形，还可能得到一个( )形。 考点三：圆柱的侧面积 【典例精讲】妈妈的水杯放在桌子上（如下图），水杯上的装饰带是园园怕烫伤妈妈的手而特意贴上的。这圈装饰带宽8cm，它的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】在“飞夺独木桥”勇士大通关游戏环节中，有一根长1m、横截面直径是20cm的木头浮在水面上，它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】某大楼的大厅有6根圆柱形柱子，高是10m，柱子的底面周长是25.12dm。要全部刷上油漆，如果按每平方米的油漆费为8元计算，那么一共需要（    ）元油漆费。 A．150.72 B．1884 C．292 D．1205.76 【变式训练】某公司大厅内有6根圆柱形的柱子，底面周长都是3.14m，高是6m。现在要给这6根柱子的表面喷漆，每千克漆可喷涂2m2。一共需要多少千克油漆？ 考点四：圆柱的表面积 【典例精讲】一个圆柱的底面直径是2厘米，高是9厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 【变式训练】如图，一个底面直径和高都是4厘米的圆柱，把底面平均分成若干等份，切开后可以拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。拼成的这个长方体表面积比圆柱的表面积增加了( )平方厘米。（π取3.14） 【变式训练】把圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱体表面积增加了10平方厘米，原来圆柱体的侧面积是 平方厘米。（π取3.14） 【变式训练】一种圆柱形状的铁皮油桶（有盖），量得底面直径为10分米，高为15分米。做一个这样的铁皮油桶，至少需要多少平方分米铁皮？（铁皮厚度不计） 考点五：组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是( )平方分米。 【变式训练】如下图的“博士帽”是用黑色卡纸做成，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径20厘米，高10厘米的无底无盖的圆柱。制作20顶这样的“博士帽”，至少需要多少平方分米的黑色卡纸？   【变式训练】如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 【变式训练】下图是一顶帽子的示意图，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，两部分的表面都是用同样的花布做成的。已知帽顶的直径和高及帽檐宽都是2分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的花布？ 考点六：圆柱和圆锥的体积 【典例精讲】下图是一块长16.56分米的长方形铁皮，按照图中的涂色部分裁剪，刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），这个油桶的体积是( )立方分米。 【变式训练】下面四个容器中均装有一定量的开水（图中涂色部分），如果把同样的15克糖分别溶解在四个容器的水中，那么最甜的是（    ）。（容器厚度忽略不计） A． B． C． D． 【变式训练】一个圆锥与一个圆柱的体积比是1∶1，圆柱底面积是圆锥的。如果圆柱高30厘米，那么圆锥高( )厘米；如果圆锥高30厘米，那么圆柱高( )厘米。 【变式训练】一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是12分米，把一个底面直径为3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面上升了1分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 考点七：圆柱和圆锥的容积 【典例精讲】一个圆柱形杯子，从里面测量底面直径8厘米，高6厘米。这个杯子能否装下一袋净含量300毫升的牛奶？ 【变式训练】一种食品罐头的包装如图。    （1）它的侧面包装纸的面积是80π平方厘米。制作这样一个罐头至少需要多少平方厘米的铁皮材料？（拼接处忽略不计） （2）这个圆柱形罐头的容积是多少？（厚度忽略不计） 【变式训练】刘师傅从一个圆柱形水桶里倒出3.14升的矿泉水，水面高度正好降低。已知水桶的底面直径是20厘米，水桶里原来的水有多深？ 【变式训练】聪聪在爸爸茶杯的中部贴了一圈装饰带（如下图，茶杯是圆柱形），这条装饰带宽6厘米。 （1）这条装饰带的面积是多少平方厘米？ （2）这个茶杯的容积是多少立方厘米？（茶杯厚度忽略不计） 考点八：立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 【变式训练】在实践活动课上，老师要求把完全一样的圆柱形橡皮泥平均切成两块，且切成的不是圆柱。下面是乐乐和园园按要求切完后的形状，原来圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【变式训练】把一根长是3dm、底面直径是1dm的圆柱形木头，沿底面直径垂直于底面切成大小完全相同的两半，表面积比原来增加了多少？ 【变式训练】一根2米长的圆柱形木料，它的横截面的半径是10厘米，沿横截面的直径和圆柱的高锯开得到相等的两块，每块的表面积是多少平方分米？ 考点九：圆柱和圆锥体积的关系 【典例精讲】一个圆柱和一个圆锥底面积相等，高也相等。圆柱的体积是9.42立方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？ 【变式训练】一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱的体积是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米；如果圆锥的体积是12立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米；如果它们的体积和是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米；如果它们的体积差是12立方厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 【变式训练】把一个圆柱削成最大的圆锥，削去部分的体积是25.12立方厘米，削成的圆锥体积是( )立方厘米，如果这个圆柱的底面半径是1厘米，那么削成的圆锥的高是( )厘米。 【变式训练】如图，一个容器的高与地面垂直，用20升水刚好把这个容器装满。如果只把圆锥部分装满，则需要( )升水；如果水深2.5分米，则容器有( )升水。（容器的厚度忽略不计） 考点十：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】一个圆柱形容器里盛有10cm深的水，它的底面直径是20cm。园园把一块铁块完全浸没在水中，容器内水面上升了3cm（如下图），且水未溢出。这块铁块的体积是多少立方厘米？ 【变式训练】一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 【变式训练】一个圆锥形沙堆，底面半径是3米，高是2米，用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少米？ 【变式训练】有一个高是12厘米，底面直径是6厘米的圆锥形钢块，如果把它熔铸成一个底面直径8厘米圆柱形钢块。熔铸成的圆柱形钢块的高是多少厘米？ 考点十一：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方分米。 【变式训练】一个圆锥体底面直径10厘米，高12厘米。将它从顶点到底面直径垂直切开，截面的形状是( )形，一个截面的面积是( )平方厘米。 【变式训练】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【变式训练】如图，将圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，则表面积比原来多了90平方厘米。圆锥的底面积是( )平方厘米。 考点十二：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】求下面立体图形的体积。 【变式训练】计算下面图形的体积。 【变式训练】如图，陀螺上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测量，圆柱直径和高均为，当圆锥的高是圆柱高的时，旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是( )。 【变式训练】如图是一个粮仓，它由一个圆柱和一个圆锥组合而成。如果每立方米粮食的质量是0.6吨，这个粮仓最多能装多少吨粮食？ 【变式训练】一个橘子浸没在盛有200mL水的量杯中，这个橘子的体积是( )立方厘米。如果不让水溢出，这个量杯最多能放( )个这样的橘子。 考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】如图，我们在推导梯形的面积时，用两个完全相同的梯形拼成了平行四边形。运用这个推导思路，可以求出图中立体图形的体积是( )立方分米。（接头处忽略不计） 【变式训练】如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【变式训练】小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行操作：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将一个鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度，此时水面的高度是6厘米。（水未溢出）如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 综合训练 1．把一个底面半径6厘米、高8厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．32 C．96 D．48 2．如图，圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（    ）升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 3．用一块长12.56厘米、宽8厘米的长方形铁皮，配上半径为（    ）的圆形铁皮正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。（连接处忽略不计） A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 D．5厘米 4．下面图形的体积能用“底面积×高”计算的是（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 5．从正面观察一个圆柱，看到的是一个边长为6厘米的正方形，则这个圆柱的高与底面周长的比是（    ）。 A．1∶1 B．π∶2 C．π∶1 D．1∶π 6．阿基米德是古希腊著名的数学家。他发现当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的，如图，这个球的表面积是（    ）。 A． B． C． D． 7．一根圆柱形木料切掉0.6dm3后，正好切成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )dm3。 8．乐乐有一个圆柱，它的底面半径是2dm，侧面积是226.08dm2，圆柱的高是( )dm，体积是( )dm3。 9．如图，把底面直径为4厘米的圆柱切成若干等份，再拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了20平方厘米，圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 10．一个圆柱和圆锥的底面积相等，它们的体积比是6∶1，如果圆锥的高是1.2厘米，那么圆柱的高是( )厘米；如果圆柱的高是1.2厘米，那么圆锥的高是( )厘米。 11．一个圆柱形钢锭的底面直径是10厘米，高是6厘米。它的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。把它熔铸成一个底面积和体积不变的圆锥，圆锥的高是( )厘米。 12．把一个圆柱钢坯削成一个最大的圆锥，要削去3.2立方厘米，原来圆柱钢坯的体积是( )立方厘米，如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，圆锥的高是( )厘米。 13．计算下列圆锥的体积。 （1）    （2）    （3） 14．计算下列图形的体积。（单位：cm） （1）    （2）     （3） 15．计算下面图形的表面积。 16．一个近似于圆锥形的黄沙堆，底面半径是2米，高1.5米，如果每立方米黄沙约重5.8吨，这堆黄沙大约重多少吨？（得数保留整吨数） 17．把一个底面积是251.2平方厘米、高是20厘米的圆柱形钢锭，熔铸成一个底面半径是1分米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 18．一个立体组合图形从前面、右面和上面看到的图形及尺寸如图所示。它的体积是多少？（单位：厘米） 19．有一种容器，从前面和右面看都是大小相同的长方形，从上面看是圆形。 （1）这个容器的占地面积是多少平方厘米？ （2）这个容器的容积是多少立方厘米？（容器壁厚度不计） （3）将一个圆锥形的铁块投入盛有水的容器并没入水中，这时水面上升6厘米（水未溢出），铁块的体积是多少立方厘米？ 20．为了方便、安全，许多学校校门口安装上了全自动不锈钢防撞升降柱。其中一款升降柱（地面以上部分）的底面直径是18厘米，高度是60厘米，为了保障夜间行车安全，升降柱上部装有两道反光条，每道反光条的宽度是8厘米。 （1）每一个升降柱（地面以上部分）的体积是多少立方厘米？ （2）每一个升降柱上反光条的面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $