第三单元 解决问题的策略（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第三单元 解决问题的策略 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、画图法与转换法解决分数问题（比的应用） 1 二、列表法解鸡兔同笼问题 2 三、假设法解鸡兔同笼问题 3 四、方程法解鸡兔同笼问题 3 考点讲练 3 考点一：用画图法和转换法解决分数问题（比的应用） 3 考点二：列表法解鸡兔同笼 7 考点三：假设法解鸡兔同笼 11 考点四：方程法解鸡兔同笼 14 综合训练 18 知识梳理 一、画图法与转换法解决分数问题（比的应用） （一）画图法 适用场景：分数应用题中数量关系较抽象，需通过图形直观呈现部分与整体、数量间的关系（如“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”“比一个数多/少几分之几”等问题）。 解题步骤： 1.读题分析：确定单位“1”，明确已知量、未知量及分数关系。 2.绘制图形：常用线段图（用一条线段表示单位“1”，根据分数关系分段）或示意图（如长方形、圆形等）。 3.标注信息：在图中标出已知量、分数及所求问题。 4.分析关系：通过图形直观找出已知量对应的分率，建立“已知量÷对应分率=单位‘1’的量”的关系。 例题：学校食堂运来一批大米，吃了总数还剩240千克，这批大米原有多少千克？ 画图解析： 画一条线段表示大米总量（单位“1”），平均分成5段，吃了3段。 每段重量：240÷2=120（千克），总量：120×5=600（千克）。 （二）转换法（分数与比的转换） 适用场景：已知分数关系，需转化为比的形式（甲:乙=a:b），通过按比分配解决问题。 解题步骤： 1.确定关系：根据分数“甲是乙的，转化为甲:乙=a:b（若“甲比乙多）。 2.计算总份数：a+b（或其他对应份数和）。 3.按比分配：用总量÷总份数=每份数，再分别乘各部分份数得具体数量。 例题：果园里桃树和梨树的棵数比是3:5，桃树比梨树少40棵，两种树各有多少棵？ 转换解析： 桃树:梨树=3:5，份数差5-3=2（份），对应40棵，每份：40÷2=20（棵）。 桃树：20×3=60（棵），梨树：20×5=100（棵）。 二、列表法解鸡兔同笼问题 适用场景：鸡兔同笼问题中头数和脚数较少，可通过列表尝试逐步逼近正确答案。 解题步骤： 1.明确条件：已知总头数（鸡和兔的总只数）和总脚数（鸡脚+兔脚总数）。 2.列表假设：从鸡（或兔）的数量为0开始，依次假设鸡的数量，计算兔的数量（总头数-鸡的数量），再算总脚数（鸡脚数×2+兔脚数×4）。 3.调整验证：对比计算的总脚数与已知总脚数，若脚数少则增加兔的数量（减少鸡的数量），若脚数多则减少兔的数量（增加鸡的数量），直至脚数符合条件。 例题：鸡兔同笼，共有8个头，26只脚，鸡和兔各有多少只？ 列表解析： 鸡的数量 兔的数量 总脚数（2×鸡+4×兔） 0 8 0×2+8×4=32（多6只） | 1 | 7 | 1×2+7×4=30（多4只） | | 2 | 6 | 2×2+6×4=28（多2只） | | 3 | 5 | 3×2+5×4=26（符合） | 结论：鸡3只，兔5只。 三、假设法解鸡兔同笼问题 适用场景：鸡兔同笼问题中头数和脚数较大，列表法效率低时使用，通过假设全是鸡或全是兔简化计算。 解题步骤（假设全是鸡）： 1.假设全是鸡：计算假设下的总脚数=总头数×2。 2.求脚数差：实际总脚数-假设总脚数=脚数差（因每只兔比鸡多2只脚，差量由兔造成）。 3.求兔的数量：兔的数量=脚数差÷（4-2）=脚数差÷2。 4.求鸡的数量：鸡的数量=总头数-兔的数量。 例题：同列表法例题（8头26脚）。 假设法解析： 假设全是鸡，总脚数=8×2=16（只），脚数差=26-16=10（只）。 兔的数量=10÷（4-2）=5（只），鸡的数量=8-5=3（只）。 四、方程法解鸡兔同笼问题 适用场景：适合用代数方法解决，通过设未知数建立方程，适用于各类鸡兔同笼问题。 解题步骤： 1.设未知数：设兔有x只，则鸡有（总头数-x）只（或设鸡为x，兔为总头数-x）。 2.列方程：根据“兔脚数+鸡脚数=总脚数”列方程：4x+2×(总头数-x)=总脚数。 3.解方程：求解x（兔的数量），再求鸡的数量。 例题：同列表法例题（8头26脚）。 方程法解析： 设兔有x只，则鸡有（8-x）只，方程：4x+2(8-x)=26。 化简：4x+16-2x=26→2x=10→x=5（兔），鸡=8-5=3（只）。 考点讲练 考点一：用画图法和转换法解决分数问题（比的应用） 【典例精讲】某电子厂现在生产一批电脑，按3∶2∶1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间。已知甲车间要生产270台，则乙、丙两个车间分别要生产多少台？（先画图表示题意，再解答） 【答案】 图见详解 乙：180台；丙：90台 【分析】一批电脑，按3：2：1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间，即甲车间3份、乙车间2份、丙车间1份，已知甲车间要生产270台，对应分配的3份，因此把甲车间平均分成3份，乙车间生产2份、丙车间生产1份，据此画图并解答。 【详解】 1份：（台） 乙：（台） 丙：（台） 答：乙车间生产180台，丙车间生产90台。 【变式训练】甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 【答案】180千米 【分析】货车的速度是客车的，即货车与客车的速度比是2∶3，由于时间一定，所以相遇时，货车与客车的路程比也是2∶3，即把总路程平均分成2＋3＝5份，货车行驶了这样的2份，客车行驶了这样的3份，已知甲、乙两地间的铁路长300千米，除以5计算出1份的长度，再乘3计算出3份的长度，即相遇时客车行驶的路程。 【详解】 2＋3＝5 300÷5×3 ＝60×3 ＝180（千米） 答：相遇时客车行驶了180千米。 【变式训练】一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答） 上衣： 裤子： 【答案】；350元；图见详解 【分析】（1）根据“裤子的价格是上衣的”可知，如果把上衣的价格看作7份，则裤子就是5份，据此补全线段图； （2）把上衣的价格看作7份，则裤子的价格是5份，总价就是7＋5＝12份，据此用裤子的份数除以总价的份数即可得到裤子的价格是总价的几分之几； （3）根据套装的价格是在830~850之间的整数，且总价是12的倍数，找出830~850之间是12的倍数的整数就是套装的价格，再用套装的价格乘裤子的价格占总价的分率即可得到裤子的价格。 【详解】补全线段图如下： 5÷（5＋7） ＝5÷12 ＝ 830~850之间，只有整数840是12的倍数，所以这款套装的价格是840元； 840×＝350（元） 答：裤子的价格是总价的，裤子是350元。 【变式训练】甲、乙、丙三个班共种树120棵，甲班种了乙班的。乙与丙种的棵数比是4∶3，甲比丙多种多少棵？ 【答案】20棵 【分析】由题可知，甲班种了乙班的，则甲种与乙种的棵树比是5∶4；又知乙与丙种的棵数比是4∶3，可得甲∶乙∶丙＝5∶4∶3，用甲、乙、丙三个班共种树的棵数除以（5＋4＋3），得出1份的棵数，再乘甲比丙多种的份数即可。 【详解】甲∶乙5∶4 乙∶丙＝4∶3 甲∶乙∶丙＝5∶4∶3 120÷（5＋4＋3） ＝120÷12 ＝10（棵） 10×（5－3） ＝10×2 ＝20（棵） 答：甲比丙多种20棵。 考点二：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】某县外国语学校六（1）班两位老师和40名学生去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船可以坐5人，每只小船可以坐3人。需要租大船、小船各多少只？（用画图的方法解答） 【答案】大船：6只；小船：4只 【分析】本题可以根据题目意思“两位老师和40名学生去公园划船，租10只船正好坐满”从两个方面来进行考虑： （1）可以在表格中将船的数量保持在10只，通过大船和小船计算人数，看哪一个人数是（2＋40），即可得知需要租大船、小船各多少只。 （2）可以将总人数一定，控制在（40＋2）人，看哪种租法总船数和为10即可。 【详解】40＋2＝42（人） 控制总人数不变，作图如下： 大船/台 3 6 小船/台 9 4 总人数/人 42 42 6＋4＝10（台） 答：需要租大船6只、小船4只。 【变式训练】2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱：6组；双人合唱：12组 【分析】分析题目，单人独唱组组数＋双人合唱组组数＝18，单人独唱组的组数×1＋双人合唱组的组数×2＝总人数，据此列出表格，找出总人数为30的方法即为所求。 【详解】 单人独唱组/组 9 8 7 6 双人合唱组/组 9 10 11 12 总人数/人 27 28 29 30 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 【变式训练】要把89个乒乓球放入大、小两种盒子里，每个大盒装11个，每个小盒装8个。要使每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（先假设，在下表中填一填，再找出答案） 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 【答案】表格见详解 大盒子3个，小盒子7个 【分析】先假设装了5个大盒、5个小盒，算出共装乒乓球的个数，再与89个比较，进而调整大小盒的个数，直到找出正确答案，据此解答。 【详解】大盒子5个，小盒子5个：（个） 大盒子4个，小盒子6个：（个） 大盒子3个，小盒子7个：（个） 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 5 5 95 多 4 6 92 多 3 7 89 一样多 故使每个盒子都恰好装满，需要大盒子3个，小盒子7个。 【变式训练】仪器架上有大、小两种药水瓶18个，共装药水3000毫升。每个大瓶装药水250毫升，每个小瓶装药水100毫升。大、小药水瓶各有多少个？（在表中填一填，想一想，找出答案） 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 【答案】大药水瓶：8个；小药水瓶：10个；填表见详解 【分析】根据题意，每个大药水瓶的容量×大药水瓶的个数＋每个小药水瓶的容量×小药水瓶的个数＝药水的毫升数，据此可以用分段举例的方法，可以先假设大药水瓶有2个，则小药水瓶有18－2＝16个，再根据等量关系算出此时药水的毫升数，再用减法求出与给出的药水总量3000毫升相差多少；据此用列表法求解，直到找出药水总量是3000毫升的药水瓶数即可。 【详解】①小药水瓶的个数：18－2＝16（个） 药水的毫升数：2×250＋16×100 ＝500＋1600 ＝2100（毫升） 2100＜3000 3000－2100＝900（毫升） ②小药水瓶的个数：18－4＝14（个） 药水的毫升数：4×250＋14×100 ＝1000＋1400 ＝2400（毫升） 2400＜3000 3000－2400＝600（毫升） ③小药水瓶的个数：18－6＝12（个） 药水的毫升数：6×250＋12×100 ＝1500＋1200 ＝2700（毫升） 2700＜3000 3000－2700＝300（毫升） ④小药水瓶的个数：18－8＝10（个） 药水的毫升数：8×250＋10×100 ＝2000＋1000 ＝3000（毫升） 3000＝3000 填表如下： 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 2 16 2100 少900毫升 4 14 2400 少600毫升 6 12 2700 少300毫升 8 10 3000 相等 答：大药水瓶有8个，小药水瓶有10个。 考点三：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】有A，B两种长方体积木共10块，按如下图所示的方式拼成了一个较大的长是36cm的长方体。A，B两种积木各有多少块？ 【答案】A积木：3块；B积木：7块 【分析】用假设法来完成题目：假设全部都是B积木，那长一共是（cm），较大的长方体的长度是36cm，长度差是（cm）。因为每个A积木比B积木长（cm），所以A积木有（块），则B积木有（块）。 【详解】A积木： （块） B积木：（块） 答：A积木有3块，B积木有7块。 【点睛】用假设法做题，把全部长方体看成同一种，再与较大长方体进行比较，用长度差÷两个积木差即可算出其中一种积木块数，用总块数-所求的积木块数＝另一种积木块数。 【变式训练】六（1）班师生50人去博物馆研学，共付门票1075元。已知每张成人票是35元，每张学生票是20元，师生各买了多少张门票？ 【答案】老师买了5张；学生买了45张 【分析】可以通过假设法，利用总人数和总门票费用的关系来求解师生分别购买门票的数量。 假设全是学生票已知师生共50人，如果全是学生，那么买门票需要花费50×20＝1000元。但实际共付门票1075元，比全是学生票的情况多了1075－1000＝75元。每张成人票比每张学生票贵35－20＝15元。多出来的75元就是因为有成人票，所以用75元除以15元即可得出成人票的数量。师生总人数是50人，然后按减法即可解答。 【详解】50×20＝1000（元） 1075－1000＝75（元） 35－20＝15（元） 75÷15＝5（张） 50－5＝45（人）（即学生买的门票数） 答：老师买了5张门票，学生买了45张门票。 【变式训练】张帅是校篮球队的得分高手，在一次跟兄弟学校的篮球联谊赛上张帅一个人就赢得了28分，队友帮他数了，他一共投进12个球，有2分球，也有3分球，你能算出张帅投进几个2分球，几个3分球吗？ 【答案】8个2分球，4个3分球。 【分析】假设张帅投进的12个球全是2分球，则共计24分，而实际得分是28分，少算了4分，这时因为张帅投进的12个球中，有些是3分球，而我们算成了2分球，投进1个3分球，就少算了1分，现在总共少算了4分，即可算出3分球的个数。 【详解】12×2＝24（分） 28－24＝4（分） 3－2＝1（分） 4÷1＝4（个） 12－4＝8（个） 答：张帅投进8个2分球，4个3分球。 【点睛】本题主要考查鸡兔同笼问题，我们可以用假设法解答，解答中假设的全是2分，也可以假设全是3分。或者本题也可以用方程作答。 【变式训练】蜘蛛有8条腿，没有翅膀，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有这三种动物共21只，一共有140条腿和23对翅膀。蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？ 【答案】蜘蛛7只；蝴蝶9只；蝉5只 【分析】假设全是蝴蝶和蝉，应该有（6×21）条腿，比实际少了（140－6×21）条腿，因为将蜘蛛看成蝴蝶或蝉，每只蜘蛛少算（8－6）条腿，少算的腿数÷每只蜘蛛少算的腿数＝蜘蛛只数；总只数－蜘蛛只数＝蝴蝶和蝉的只数，再根据假设法，通过翅膀的数量，计算出蝴蝶的只数，进而计算出蝉的只数即可。 【详解】蜘蛛：（140－6×21）÷（8－6） ＝（140－126）÷2 ＝14÷2 ＝7（只） 21－7＝14（只） 蝴蝶：（23－14×1）÷（2－1） ＝（23－14）÷1 ＝9÷1 ＝9（只） 蝉：14－9＝5（只） 答：蜘蛛有7只、蝴蝶有9只、蝉有5只。 考点四：方程法解鸡兔同笼 【典例精讲】张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【答案】50元/张的6张；80元/张的4张 【分析】设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。根据“总价＝单价×数量”分别计算出50元/张的门票的总价和80元/张的门票的总价；再根据等量关系式“50元/张的门票的总价＋80元/张的门票的总价＝620”代入数值列出方程并求解。 【详解】解：设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。 10－6＝4（张） 答：50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 【变式训练】某小学46名师生去滨湖生态公园野营，一共租了10顶帐篷，正好全部住满。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】大帐篷3顶；小帐篷7顶 【分析】大帐篷和小帐篷一共10顶，假设大帐篷有顶，则小帐篷有顶。大帐篷限住6人，小帐篷限住4人，可知大帐篷×6＋小帐篷×4＝总人数，据此列方程解答即可。 【详解】解：设大帐篷租了顶，则小帐篷租了顶。                                                                 小帐篷：（顶） 答：大帐篷租了3顶，小帐篷租了7顶。 【变式训练】春季运动会上，34位同学在12张球桌上同时进行乒乓球比赛（如下图）。进行单打和双打的乒乓球桌各有几张？ 【答案】单打7张；双打5张 【分析】根据题意，可以设双打的乒乓球桌有张，则单打的乒乓球桌有（12－）张；可得出等量关系：每张双打乒乓球桌的人数×双打乒乓球桌的张数＋每张单打乒乓球桌的人数×单打乒乓球桌的张数＝参加乒乓球比赛的总人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设双打的乒乓球桌有张，则单打的乒乓球桌有（12－）张。 4＋2（12－）＝34 4＋24－2＝34 2＋24＝34 2＝34－24 2＝10 ＝10÷2 ＝5 单打：12－5＝7（张） 答：进行单打的乒乓球桌有7张，双打的乒乓球桌有5张。 【变式训练】同学们在美术课上学习制作中国结，制作一个小中国结需要7分米红绳，制作一个大中国结需要11分米红绳，一共做了20个中国结，共用去184分米红绳。请问同学们制作了多少个大中国结？ 【答案】11个 【分析】分析题目，设同学们制作了x个大中国结，则制作了（20－x）个小中国结，根据等量关系式：制作一个大中国结需要的红绳长度×制作的大中国结的个数＋制作一个小中国结需要的红绳长度×制作的小中国结的个数＝184列出方程11x＋7（20－x）＝184，进一步解出方程即可。 【详解】解：设同学们制作了x个大中国结，则制作了（20－x）个小中国结。 11x＋7（20－x）＝184 11x＋140－7x＝184 4x＝184－140 4x＝44 4x÷4＝44÷4 x＝11 答：同学们制作了11个大中国结。 综合训练 1．鸡和兔一共有15只，它们的腿有38条。鸡有（    ）只。 A．4 B．6 C．9 D．11 【答案】D 【分析】假设全是兔，应该有（4×15）条腿，比实际多了（4×15－38）条腿，因为将鸡看成兔，每只鸡多算了（4－2）条腿，比实际多的腿数÷每只鸡多算的腿数＝鸡的只数，据此列式计算。 【详解】（4×15－38）÷（4－2） ＝（60－38）÷2 ＝22÷2 ＝11（只） 鸡有11只。 故答案为：D 2．钢笔和铅笔共27盒，共计300支。钢笔每盒10支，铅笔每盒12支，则钢笔有（    ）盒。 A．12 B．15 C．27 D．10 【答案】A 【分析】先设钢笔有x盒，则铅笔有（27－x）盒。根据题意，可以得出方程式为：10x＋12×（27－x）＝300，求解x即可。 【详解】解：设钢笔有x盒，则铅笔有（27－x）盒。 10x＋12×（27－x）＝300 10x＋324－12x＝300 324－300＝12x－10x 24＝2x 2x÷2＝24÷2 x＝12 钢笔有12盒。 故答案为：A 3．公鸡与母鸡只数的比是3∶7，公鸡的只数占总数的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】公鸡和母鸡只数的比是3∶7，把公鸡看作是3份，则母鸡有7份，那么总数就有（3＋7＝10）份，因此公鸡的只数占总数的。 【详解】 因此公鸡的只数占总数的。 故答案为：B 4．王老师徒步旅行，平路每天走38千米，山路每天走23千米，他15天共走了450千米，这期间他走了（    ）千米山路。 A．161 B．184 C．218 D．247 【答案】B 【分析】设这期间山路走了x天，则平路走了（15－x）天，根据平路每天走的距离×平路走的天数＋山路每天走的距离×山路走的天数＝450千米，列出方程求出x的值是山路走的天数，山路每天走的距离×山路走的天数＝这期间山路走的距离，据此分析。 【详解】解：设这期间山路走了x天。 （15－x）×38＋23x＝450 570－38x＋23x＝450 570－15x＝450 570－15x＋15x＝450＋15x 450＋15x＝570 450＋15x－450＝570－450 15x＝120 15x÷15＝120÷15 x＝8 23×8＝184（千米） 这期间他走了184千米山路。 故答案为：B 5．60个油瓶共装100千克油，其中大油瓶每瓶装4千克，小油瓶每2瓶装1千克，大油瓶有（    ）个。 A．10 B．20 C．40 D．60 【答案】B 【分析】设大油瓶有x个，则小油瓶有（60－x）个，根据每个大油瓶装的质量×大油瓶个数＋小油瓶个数÷2×1＝油的总质量，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设大油瓶有x个。 4x＋（60－x）÷2×1＝100 4x＋30－x＝100 x＋30－30＝100－30 x＝70 x÷＝70÷ x＝70× x＝20 大油瓶有20个。 故答案为：B 6．同学们一起去划船，但是公园的船不够多，如果每船坐4人，会多出10人，如果每船坐5人，则会多出1人，共有（    ）人去划船。 A．36 B．46 C．51 D．52 【答案】B 【分析】第二次比第一次少剩下10－1＝9（人），是因为每条船多做了5－4＝1（人），用多的总人数除以每条船多坐的人数，即可求出船的条数，再用船的条数乘4加上多出的10人，就是总人数。据此解答。 【详解】（10－1）÷（5－4） ＝9÷1 ＝9（条） 4×9＋10 ＝36＋10 ＝46（人），共有46人去划船。 故选择：B。 【点睛】此题属于盈亏问题之双盈，（大盈－小盈）÷分配差＝分配对象，即船的数量。 7．延时服务时，老师带来象棋、飞行棋共12副。恰好可供全班38名同学进行活动。象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。象棋有( )副，飞行棋有( )副。 【答案】 5 7 【分析】本题属于鸡兔同笼类问题，已知棋的总副数为12副，总人数为38人，象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。本题可设象棋有副，则玩象棋的有人；飞行棋有副，那么玩飞行棋的有人，由恰好可供全班38名同学进行活动，可列一元一次方程：，求解后即可得出象棋和飞行棋的副数。 【详解】根据分析： 设象棋有副，则飞行棋有副。 根据总人数可列方程： 解： 则飞行棋有（副），因此，象棋有5副，飞行棋有7副。 8．一个植树小组有12人，共植树29棵，男生平均每人植3棵，女生平均每人植2棵，植树小组有( )名男生和( )名女生。 【答案】 5 7 【分析】假设小组里全是男生，计算出这种情况下植树的数量，与实际数量对比得出差异，再根据男女生每人植树数量的差，即可求出女生人数，进而可计算出男生人数，据此解答即可。 【详解】假设12人全是男生，那么一共植树： 12×3＝36（棵） 36－29＝7（棵） 因为把女生当成男生，每人多算了3－2＝1（棵） 所以女生人数为7÷1＝7（人） 男生人数则是12－7＝5（人） 所以植树小组有5名男生和7名女生。 9．买6支笔花了52元。钢笔12元/支，圆珠笔7元/支，买了圆珠笔( )支，钢笔( )支。 【答案】 4 2 【分析】假设全部买的是钢笔，依此计算出全是钢笔时共花的钱，每支钢笔和每支圆珠笔的价钱差，全是钢笔时共花的钱与实际花的钱的差，然后用全是钢笔时共花的钱与实际花的钱的差除以每支钢笔和每支圆珠笔的价钱差，得到的数就是买圆珠笔的支数，然后用买钢笔和圆珠笔的总支数减去买圆珠笔的支数就是买钢笔的支数，依此计算。 【详解】6×12＝72（元） 12－7＝5（元） 72－52＝20（元） 圆珠笔：20÷5＝4（支） 钢笔：6－4＝2（支） 圆珠笔4支，钢笔2支。 10．课后延时服务是落实“双减”政策的一项重要举措。开学第一周，某班参加课后延时服务的人数与没有参加的人数比是，第二周又新增6人参加，此时参与率达到。这个班一共有( )人。 【答案】44 【分析】设开学第一周，某班参加课后延时服务的人数为人，没有参加的人数为人，全班有人，根据第二周又新增6人参加，此时参与率达到。列出方程即可。 【详解】解：设开学第一周，某班参加课后延时服务的人数为人，没有参加的人数为人。 （人） 这个班一共有44人。 11．一名篮球运动员在一场比赛中一共投中9个球，有2分球，也有3分球，已知这名运动员一共得了21分，他投中的3分球有( )个。 【答案】3 【分析】用假设法解答此题比较容易，假设该运动员投中的全部是3分球，则该名篮球运动员一共得了（分），但实际该运动动员只得了21分，少得了（分），又投中一个3分球比投中一个2分球少得（分），即该名运动员投中的2分球的个数是（个），据此可用投中的总数减去投中的2分球的个数可求出投中的3分球的个数。 【详解】（分） （分） （分） （个） （个） 他投中的3分球有（3）个。 12．集邮爱好者小李5月份共买了面值为1.2元和0.8元的邮票42枚，这些邮票的总价值是38.4元。其中面值1.2元的邮票( )枚，面值0.8元的邮票( )枚。 【答案】 12 30 【分析】假设买的全是1.2元的邮票，则面值（元），这比已知的38.4元多了（元，又因为一张1.2元的邮票比一张0.8元的邮票多0.4元，用除法计算可得出0.8元的邮票枚数，据此即可解答问题。 【详解】假设卖出的全是1.2元的邮票，则0.8元的邮票有： （张） （张） 面值1.2元的邮票12枚，面值0.8元的邮票30枚。 13．小明把720毫升果汁倒入5个小杯和2个大杯，正好都倒满。一个大杯的容量是一个小杯容量的2倍，一个小杯和一个大杯的容量各是多少毫升？ 【答案】80毫升；160毫升 【分析】设一个小杯的容量是x毫升，则一个大杯的容量是2x毫升，根据小杯容量×小杯个数＋大杯容量×大杯个数＝果汁体积，列出方程求出x的值是小杯容量，小杯容量×2＝大杯容量。 【详解】解：设一个小杯的容量是x毫升。 5x＋2x×2＝720 5x＋4x＝720 9x＝720 9x÷9＝720÷9 x＝80 80×2＝160（毫升） 答：一个小杯和一个大杯的容量各是80毫升、160毫升。 14．风筝制作非遗传承人杨师傅走进社区，和居民们一起参与“传播传统文化，传承风筝技艺”的活动。杨师傅带领大家用78根竹条制作了18个风筝，其中制作一个软翅风筝需要3根竹条，制作一个硬翅风筝需要5根竹条，那么本次活动一共做了多少个软翅风筝？ 【答案】6个 【分析】假设全是硬翅风筝，应该用（5×18）根竹条，比实际多了（5×18－78）根竹条，因为将软翅风筝看成硬翅风筝，每个软翅风筝多算了（5－3）根竹条，比实际多的竹条数量÷每个软翅风筝多算的数量＝软翅风筝的数量，据此列式解答。 【详解】（5×18－78）÷（5－3） ＝（90－78）÷2 ＝12÷2 ＝6（个） 答：本次活动一共做了6个软翅风筝。 15．学校购买4张办公桌和9把椅子，一共用去252元。已知一把椅子的价钱正好是一张办公桌的，一把椅子和一张办公桌各多少元？ 【答案】一把椅子12元；一张办公桌36元 【分析】根据“一把椅子的价钱正好是一张办公桌的”，可以设一张办公桌元，则一把椅子元； 根据“购买4张办公桌和9把椅子，一共用去252元”，可得出等量关系：一张办公桌的价钱×办公桌的数量＋一把椅子的价钱×椅子的数量＝买办公桌和椅子的总费用，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设一张办公桌元，则一把椅子元。 4＋×9＝252 4＋3＝252 7＝252 ＝252÷7 ＝36 一把椅子：36×＝12（元） 答：一把椅子12元，一张办公桌36元。 16．建筑工地用5辆大车和3辆小车一次运来黄沙60吨。1辆大车一次运的吨数是1辆小车的，1辆大车和1辆小车一次各运多少吨？ 【答案】1辆大车一次运9吨；1辆小车一次运5吨 【分析】根据“1辆大车一次运的吨数是1辆小车的”，可以设1辆小车一次运吨，则1辆大车一次运吨； 根据“用5辆大车和3辆小车一次运来黄沙60吨”可得出等量关系：1辆大车一次运的吨数×大车的辆数＋1辆小车一次运的吨数×小车的辆数＝黄沙的总吨数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设1辆小车一次运吨，则1辆大车一次运吨。 ×5＋3＝60 9＋3＝60 12＝60 ＝60÷12 ＝5 1辆大车一次运：5×＝9（吨） 答：1辆大车一次运9吨，1辆小车一次运5吨。 17．师徒两人加工零件，徒弟加工的零件个数是师傅的，两人一共加工的零件个数在280~290之间。师傅和徒弟各加工了多少个零件？ 【答案】师傅160个；徒弟128个 【分析】徒弟加工的零件个数是师傅的，表示徒弟加工的零件个数与师傅加工的零件个数比是4∶5， 两人一共加工的零件个数是4＋5＝9份，那么280~290之间是9的倍数的是288，说明两人一共加工的零件个数是288个，按照4∶5把288分成4份和5份，先算每份是288÷9＝32（个），4份是徒弟加工个数4×32＝128（个），5份是师傅加工个数5×32＝160（个）。 【详解】徒弟加工的零件个数与师傅加工的零件个数比是4∶5。 4＋5＝9（份），那么280~290之间是9的倍数的是288。 288÷9＝32（个） 4×32＝128（个） 5×32＝160（个） 答：师傅加工160个，徒弟加工128个。 18．张茜的爸爸买了两种茶叶，一种是绿茶，每千克180元；一种是红茶，每千克240元。这两种茶叶的总重量是10千克，一共用去2220元，张茜的爸爸两种茶叶各买了多少千克？各花去多少元？ 【答案】绿茶3千克；红茶7千克；绿茶花了540元；红茶花了1680元 【分析】先假设全部买的是其中一种茶叶，算出与实际花费的差值，再根据两种茶叶的单价差，求出另一种茶叶的重量，进而得出两种茶叶各自的重量和花费。 【详解】假设都是红茶，则绿茶有： （240×10－2220）÷（240－180） ＝（2400－2220）÷60 ＝180÷60 ＝3（千克） 红茶有：10－3＝7（千克） 3×180＝540（元） 7×240＝1680（元） 答：张茜的爸爸买了绿茶3千克，红茶7千克；绿茶花了540元，红茶花了1680元。 19．端午期间，妈妈花55元购买了一些豆沙粽和鲜肉粽，一共16个。豆沙粽售价2.5元/个，鲜肉粽售价4元/个。豆沙粽和鲜肉粽各买了多少个？ 【答案】6个；10个 【分析】假设全是鲜肉粽，应该花（4×16）元钱，比实际多了（4×16－55）元钱，因为每个豆沙粽多算了（4－2.5）元钱，多算的总钱数÷每个豆沙粽多算的钱数＝豆沙粽个数，总个数－豆沙粽个数＝鲜肉粽个数。 【详解】（4×16－55）÷（4－2.5） ＝（64－55）÷1.5 ＝9÷1.5 ＝6（个） 16－6＝10（个） 答：豆沙粽买了6个，鲜肉粽买了10个。 20．每年的3月12日是我国的植树节。为了绿化环境，淮安市高良涧小学师生100人去植树，老师每人植3棵，学生每人植1棵，共植了140棵，老师和学生各有多少人？ 【答案】20人；80人 【分析】将老师人数设为未知数，学生人数＝总人数－老师人数，根据等量关系式：老师植树总棵树＋学生植树总棵树＝植树总棵树，列方程解答即可。 【详解】解：设参加植树的老师有人，则参加植树的学生有（100－）人。 3＋（100－）×1＝140 3＋100－＝140 3－＝140－100 2＝40 ＝40÷2 ＝20 学生：100－20＝80（人） 答：老师有20人，学生有80人。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 解决问题的策略 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、画图法与转换法解决分数问题（比的应用） 1 二、列表法解鸡兔同笼问题 2 三、假设法解鸡兔同笼问题 3 四、方程法解鸡兔同笼问题 3 考点讲练 4 考点一：用画图法和转换法解决分数问题（比的应用） 4 考点二：列表法解鸡兔同笼 5 考点三：假设法解鸡兔同笼 7 考点四：方程法解鸡兔同笼 8 综合训练 9 知识梳理 一、画图法与转换法解决分数问题（比的应用） （一）画图法 适用场景：分数应用题中数量关系较抽象，需通过图形直观呈现部分与整体、数量间的关系（如“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”“比一个数多/少几分之几”等问题）。 解题步骤： 1.读题分析：确定单位“1”，明确已知量、未知量及分数关系。 2.绘制图形：常用线段图（用一条线段表示单位“1”，根据分数关系分段）或示意图（如长方形、圆形等）。 3.标注信息：在图中标出已知量、分数及所求问题。 4.分析关系：通过图形直观找出已知量对应的分率，建立“已知量÷对应分率=单位‘1’的量”的关系。 例题：学校食堂运来一批大米，吃了总数还剩240千克，这批大米原有多少千克？ 画图解析： 画一条线段表示大米总量（单位“1”），平均分成5段，吃了3段。 每段重量：240÷2=120（千克），总量：120×5=600（千克）。 （二）转换法（分数与比的转换） 适用场景：已知分数关系，需转化为比的形式（甲:乙=a:b），通过按比分配解决问题。 解题步骤： 1.确定关系：根据分数“甲是乙的，转化为甲:乙=a:b（若“甲比乙多）。 2.计算总份数：a+b（或其他对应份数和）。 3.按比分配：用总量÷总份数=每份数，再分别乘各部分份数得具体数量。 例题：果园里桃树和梨树的棵数比是3:5，桃树比梨树少40棵，两种树各有多少棵？ 转换解析： 桃树:梨树=3:5，份数差5-3=2（份），对应40棵，每份：40÷2=20（棵）。 桃树：20×3=60（棵），梨树：20×5=100（棵）。 二、列表法解鸡兔同笼问题 适用场景：鸡兔同笼问题中头数和脚数较少，可通过列表尝试逐步逼近正确答案。 解题步骤： 1.明确条件：已知总头数（鸡和兔的总只数）和总脚数（鸡脚+兔脚总数）。 2.列表假设：从鸡（或兔）的数量为0开始，依次假设鸡的数量，计算兔的数量（总头数-鸡的数量），再算总脚数（鸡脚数×2+兔脚数×4）。 3.调整验证：对比计算的总脚数与已知总脚数，若脚数少则增加兔的数量（减少鸡的数量），若脚数多则减少兔的数量（增加鸡的数量），直至脚数符合条件。 例题：鸡兔同笼，共有8个头，26只脚，鸡和兔各有多少只？ 列表解析： 鸡的数量 兔的数量 总脚数（2×鸡+4×兔） 0 8 0×2+8×4=32（多6只） | 1 | 7 | 1×2+7×4=30（多4只） | | 2 | 6 | 2×2+6×4=28（多2只） | | 3 | 5 | 3×2+5×4=26（符合） | 结论：鸡3只，兔5只。 三、假设法解鸡兔同笼问题 适用场景：鸡兔同笼问题中头数和脚数较大，列表法效率低时使用，通过假设全是鸡或全是兔简化计算。 解题步骤（假设全是鸡）： 1.假设全是鸡：计算假设下的总脚数=总头数×2。 2.求脚数差：实际总脚数-假设总脚数=脚数差（因每只兔比鸡多2只脚，差量由兔造成）。 3.求兔的数量：兔的数量=脚数差÷（4-2）=脚数差÷2。 4.求鸡的数量：鸡的数量=总头数-兔的数量。 例题：同列表法例题（8头26脚）。 假设法解析： 假设全是鸡，总脚数=8×2=16（只），脚数差=26-16=10（只）。 兔的数量=10÷（4-2）=5（只），鸡的数量=8-5=3（只）。 四、方程法解鸡兔同笼问题 适用场景：适合用代数方法解决，通过设未知数建立方程，适用于各类鸡兔同笼问题。 解题步骤： 1.设未知数：设兔有x只，则鸡有（总头数-x）只（或设鸡为x，兔为总头数-x）。 2.列方程：根据“兔脚数+鸡脚数=总脚数”列方程：4x+2×(总头数-x)=总脚数。 3.解方程：求解x（兔的数量），再求鸡的数量。 例题：同列表法例题（8头26脚）。 方程法解析： 设兔有x只，则鸡有（8-x）只，方程：4x+2(8-x)=26。 化简：4x+16-2x=26→2x=10→x=5（兔），鸡=8-5=3（只）。 考点讲练 考点一：用画图法和转换法解决分数问题（比的应用） 【典例精讲】某电子厂现在生产一批电脑，按3∶2∶1的数量比分配给甲、乙、丙三个车间。已知甲车间要生产270台，则乙、丙两个车间分别要生产多少台？（先画图表示题意，再解答） 【变式训练】甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 【变式训练】一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答） 上衣： 裤子： 【变式训练】甲、乙、丙三个班共种树120棵，甲班种了乙班的。乙与丙种的棵数比是4∶3，甲比丙多种多少棵？ 考点二：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】某县外国语学校六（1）班两位老师和40名学生去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船可以坐5人，每只小船可以坐3人。需要租大船、小船各多少只？（用画图的方法解答） 【变式训练】2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【变式训练】要把89个乒乓球放入大、小两种盒子里，每个大盒装11个，每个小盒装8个。要使每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（先假设，在下表中填一填，再找出答案） 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 【变式训练】仪器架上有大、小两种药水瓶18个，共装药水3000毫升。每个大瓶装药水250毫升，每个小瓶装药水100毫升。大、小药水瓶各有多少个？（在表中填一填，想一想，找出答案） 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 考点三：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】有A，B两种长方体积木共10块，按如下图所示的方式拼成了一个较大的长是36cm的长方体。A，B两种积木各有多少块？ 【变式训练】六（1）班师生50人去博物馆研学，共付门票1075元。已知每张成人票是35元，每张学生票是20元，师生各买了多少张门票？ 【变式训练】张帅是校篮球队的得分高手，在一次跟兄弟学校的篮球联谊赛上张帅一个人就赢得了28分，队友帮他数了，他一共投进12个球，有2分球，也有3分球，你能算出张帅投进几个2分球，几个3分球吗？ 【变式训练】蜘蛛有8条腿，没有翅膀，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有这三种动物共21只，一共有140条腿和23对翅膀。蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？ 考点四：方程法解鸡兔同笼 【典例精讲】张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【变式训练】某小学46名师生去滨湖生态公园野营，一共租了10顶帐篷，正好全部住满。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【变式训练】春季运动会上，34位同学在12张球桌上同时进行乒乓球比赛（如下图）。进行单打和双打的乒乓球桌各有几张？ 【变式训练】同学们在美术课上学习制作中国结，制作一个小中国结需要7分米红绳，制作一个大中国结需要11分米红绳，一共做了20个中国结，共用去184分米红绳。请问同学们制作了多少个大中国结？ 综合训练 1．鸡和兔一共有15只，它们的腿有38条。鸡有（    ）只。 A．4 B．6 C．9 D．11 2．钢笔和铅笔共27盒，共计300支。钢笔每盒10支，铅笔每盒12支，则钢笔有（    ）盒。 A．12 B．15 C．27 D．10 3．公鸡与母鸡只数的比是3∶7，公鸡的只数占总数的（    ）。 A． B． C． D． 4．王老师徒步旅行，平路每天走38千米，山路每天走23千米，他15天共走了450千米，这期间他走了（    ）千米山路。 A．161 B．184 C．218 D．247 5．60个油瓶共装100千克油，其中大油瓶每瓶装4千克，小油瓶每2瓶装1千克，大油瓶有（    ）个。 A．10 B．20 C．40 D．60 6．同学们一起去划船，但是公园的船不够多，如果每船坐4人，会多出10人，如果每船坐5人，则会多出1人，共有（    ）人去划船。 A．36 B．46 C．51 D．52 7．延时服务时，老师带来象棋、飞行棋共12副。恰好可供全班38名同学进行活动。象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。象棋有( )副，飞行棋有( )副。 8．一个植树小组有12人，共植树29棵，男生平均每人植3棵，女生平均每人植2棵，植树小组有( )名男生和( )名女生。 9．买6支笔花了52元。钢笔12元/支，圆珠笔7元/支，买了圆珠笔( )支，钢笔( )支。 10．课后延时服务是落实“双减”政策的一项重要举措。开学第一周，某班参加课后延时服务的人数与没有参加的人数比是，第二周又新增6人参加，此时参与率达到。这个班一共有( )人。 11．一名篮球运动员在一场比赛中一共投中9个球，有2分球，也有3分球，已知这名运动员一共得了21分，他投中的3分球有( )个。 12．集邮爱好者小李5月份共买了面值为1.2元和0.8元的邮票42枚，这些邮票的总价值是38.4元。其中面值1.2元的邮票( )枚，面值0.8元的邮票( )枚。 13．小明把720毫升果汁倒入5个小杯和2个大杯，正好都倒满。一个大杯的容量是一个小杯容量的2倍，一个小杯和一个大杯的容量各是多少毫升？ 14．风筝制作非遗传承人杨师傅走进社区，和居民们一起参与“传播传统文化，传承风筝技艺”的活动。杨师傅带领大家用78根竹条制作了18个风筝，其中制作一个软翅风筝需要3根竹条，制作一个硬翅风筝需要5根竹条，那么本次活动一共做了多少个软翅风筝？ 15．学校购买4张办公桌和9把椅子，一共用去252元。已知一把椅子的价钱正好是一张办公桌的，一把椅子和一张办公桌各多少元？ 16．建筑工地用5辆大车和3辆小车一次运来黄沙60吨。1辆大车一次运的吨数是1辆小车的，1辆大车和1辆小车一次各运多少吨？ 17．师徒两人加工零件，徒弟加工的零件个数是师傅的，两人一共加工的零件个数在280~290之间。师傅和徒弟各加工了多少个零件？ 18．张茜的爸爸买了两种茶叶，一种是绿茶，每千克180元；一种是红茶，每千克240元。这两种茶叶的总重量是10千克，一共用去2220元，张茜的爸爸两种茶叶各买了多少千克？各花去多少元？ 19．端午期间，妈妈花55元购买了一些豆沙粽和鲜肉粽，一共16个。豆沙粽售价2.5元/个，鲜肉粽售价4元/个。豆沙粽和鲜肉粽各买了多少个？ 20．每年的3月12日是我国的植树节。为了绿化环境，淮安市高良涧小学师生100人去植树，老师每人植3棵，学生每人植1棵，共植了140棵，老师和学生各有多少人？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $