第六单元 正比例和反比例（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第六单元 正比例和反比例 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念：相关联的量 1 二、正比例的意义与特征 1 三、反比例的意义与特征 2 四、正比例与反比例的区别与联系 3 五、实际应用（判断与解决问题） 3 考点讲练 4 考点一：正比例的意义及辨识 4 考点二：正比例图像的认识 5 考点三：正比例的应用 6 考点四：反比例的意义及辨识 8 考点五：反比例的应用 9 综合训练 10 知识梳理 一、核心概念：相关联的量 两种量，一种量变化，另一种量也随着变化，这样的两种量叫做相关联的量。 举例：路程与时间（路程随时间变化而变化）、总价与数量（总价随数量变化而变化）、工作总量与工作时间等。 二、正比例的意义与特征 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式 若用字母 ( x ) 和 ( y ) 表示两种相关联的量，用 ( k ) 表示它们的比值（一定），则正比例关系可表示为： 3. 图像特征 正比例关系的图像是一条经过原点的直线。从图像上可以直观看出，两种量的变化趋势一致（同时扩大或同时缩小）。 4. 判断方法（三步法） （1）看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量是否随之变化）； （2）看两种量的变化方向是否相同（一种量扩大，另一种量是否也扩大；一种量缩小，另一种量是否也缩小）； （3）看两种量相对应的两个数的比值是否一定（比值 ( k ) 是否为固定不变的常数）。 5. 举例 三、反比例的意义与特征 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式 若用字母 ( x ) 和 ( y ) 表示两种相关联的量，用 ( k ) 表示它们的乘积（一定），则反比例关系可表示为： 3. 图像特征 反比例关系的图像是一条曲线（双曲线），且不经过原点。从图像上可以看出，两种量的变化趋势相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4. 判断方法（三步法） （1）看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量是否随之变化）； （2）看两种量的变化方向是否相反（一种量扩大，另一种量是否缩小；一种量缩小，另一种量是否扩大）； （3）看两种量相对应的两个数的乘积是否一定（乘积 ( k ) 是否为固定不变的常数）。 5. 举例 路程一定时，速度与时间成反比例 总价一定时，单价与数量成反比例 四、正比例与反比例的区别与联系 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 变化方向 变化方向相同（同扩同缩） 变化方向相反（一扩一缩） 数量关系 比值（商）一定 乘积一定（ 图像特征 经过原点的直线 曲线（双曲线） 五、实际应用（判断与解决问题） 1. 判断正反比例的步骤 （1）找出题目中的两种相关联的量； （2）分析两种量的变化关系（方向是否相同/相反）； （3）计算相对应的两个数的比值或乘积，判断是否一定； （4）根据定义确定成正比例、反比例或不成比例。 2. 解决实际问题的方法 正比例问题：已知两种量成正比例，可根据“比值相等”列比例式求解。 例：一辆汽车2小时行驶120千米，照这样的速度，5小时行驶多少千米？ 解：速度一定，路程与时间成正比例。 反比例问题：已知两种量成反比例，可根据“乘积相等”列方程求解。 例：一批货物，每车运5吨，需要12车运完。如果每车运6吨，需要多少车？ 解：货物总量一定，每车运的吨数与车数成反比例。设需要 考点讲练 考点一：正比例的意义及辨识 【典例精讲】下面各组中，两个量成反比例的是（    ）。 A．长方形的面积一定，长和宽 B．已知y＝10x，x和y C．圆的周长和直径 D．一个人的年龄和身高 【变式训练】下图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成( )比例关系。照这个速度，该汽车5.5小时行驶( )千米。 【变式训练】端午节，某水果店进行统一折扣促销活动，一箱荔枝原价200元，现价只要160元。照这样计算，一箱原价180元的枇杷，现价是( )元。如果用表示原价，表示现价，原价与现价的数量关系用字母表达式可以写成( )，和成( )比例关系。 【变式训练】如下表，如果a和b成正比例，那么☆表示的数是( )；如果a和b成反比例，那么☆表示的数是( )。 a 5 ☆ b 120 150 考点二：正比例图像的认识 【典例精讲】 图中的曲线表示( )比例关系。点A表示单价是( )元，能买( )本；点B表示单价是( )元，能买( )本。 【变式训练】下面的图像表示实验小学食堂吃大米的质量和时间的关系。 （1）实验小学食堂吃大米的质量和时间是否成正比例？ （2）根据图像判断，实验小学食堂5天吃大米多少吨？2.4吨大米可以吃多少天？ 【变式训练】 路程/千米 60 120 150 180 240 时间/时 1 2 2.5 3 4 根据表中数据，先在下图中描出行驶路程和所需时间相对应的点，再依次连起来。 （1）根据图像判断，路程和时间成（    ）比例。 （2）根据图像估计，行驶200千米要多少小时？3.5小时能行驶多少千米？ 【变式训练】小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为( )分钟，学校到图书馆的距离是( )米。 考点三：正比例的应用 【典例精讲】妈妈买回一根悬挂10kg（弹性限度）物体的弹簧，小宇感到很好奇，用手试了试，发现弹簧挂上物体后长度会伸长。小宇又试了试，还发现这个弹簧若挂上4kg物体，则弹簧长22cm；若挂上6kg物体，则弹簧长23cm。（弹性限度内，弹簧伸长的长度和挂上物体的质量成正比例） (1)若不挂物体，则这根弹簧长多少厘米？ (2)现在想使这根弹簧伸长20%，应挂上多少千克的物体？ 【变式训练】邢氏刺绣是河北省级非物质文化遗产。某同学在尝试刺绣时需要购买一种丝线，丝线长度和应付金额如下表。 长度/m 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 24 48 72 96 120 … (1)判断这种丝线的长度和应付金额是否成正比例，并说明理由。 (2)300元可以买多少米这种丝线？购买35m这种丝线需要多少元？ 【变式训练】小宇坐爸爸开的车去上海旅游，他每过10分钟看一次里程表上的读数，结果记录如下表。 时间 9：10 9：20 9：30 9：40 9：50 … 里程表读数/km 31220 31235 31250 ？ 31280 … (1)这辆车行驶的路程和时间( )正比例。（填“成”或“不成”） (2)照这样的速度，9：40时里程表上的读数应是( )km。 (3)如果9：50时他们离上海还有45km，照这样的速度，他们到达上海的时间是( )。 【变式训练】用弹簧秤称物品时，所挂物品的质量与弹簧长度的变化情况如下图。 (1)弹簧最初的长度是( )cm。 (2)所挂物品的质量每增加1kg，弹簧长度就会增加( )cm。从图上看，所挂物品的质量和弹簧伸长的长度( )（填“成”或“不成”）正比例。 (3)用这个弹簧秤称6kg的物品时（质量在弹簧秤的测量范围内），弹簧的长度是( )cm。 考点四：反比例的意义及辨识 【典例精讲】下面三个关系式中，x和y成反比例关系的是（    ）。（x，y均不为0） A．（x＋1）y＝8 B． C． 【变式训练】30分钟里，加工一个零件的时间与加工零件的个数 比例；30分钟加工零件的个数与每分钟加工零件的个数 比例。 应该选（    ）。 ①成正    ②成反    ③不成    ④无法确定是否成 A．②① B．②③ C．①③ D．①② 【变式训练】两个啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ (2)大齿轮有40个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分钟转360圈，那么小齿轮每分钟转多少圈？ 【变式训练】A、B两地相距240千米，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。 行驶时间/时 2 3 4 5 6 8 … 每小时行驶的路程/千米 … （1）相对应的两个数的乘积分别是多少？ （2）这个乘积表示什么意义？用数量关系式表示它与行驶时间和速度的关系。 （3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？ 行驶时间/时 2 3 4 5 6 8 … 每小时行驶的路程/千米 120 80 60 48 40 30 … 考点五：反比例的应用 【典例精讲】双臂采摘机器人单臂采摘，每小时可采摘450个梨，9小时可以完成采摘任务。如果双臂采摘，每小时可采摘900个梨，（    ）小时可以完成采摘任务？ A．2.25 B．4.5 C．9 D．18 【变式训练】如图，张明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第2个孔应挂( )颗珠，支架才能保持平衡。 【变式训练】601班的教室地面暑假期间打算重新铺方瓷砖，需用面积是16平方分米的方砖300块。如果改用面积是12平方分米的方砖来铺地，需要多少块？（用比例解） 【变式训练】图中的钩码一样重，杠杆的刻度均匀。 （1）两边各拿掉一个钩码，杠杆( )边会向下倾斜。 （2）两边各增加一个钩码，杠杆( )边会向下倾斜。 （3）把左边的2个钩码向左移动1个刻度，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，杠杆( )边会向下倾斜。 综合训练 1．大圆周长与小圆周长的比是3∶2，大圆面积与小圆面积的比是（    ）。 A．3∶2 B．9∶4 C．4∶9 D．6∶4 2．下面表示x和y（均不为0）成正比例的式子是（    ）。 A．x＋y＝12 B．x－y＝12 C．xy＝12 D．x∶y＝12 3．糖水的含糖率一定，糖的质量和糖水的质量 比例，糖的质量和水的质量 比例。 处应该选（    ）。 ①成正    ②成反    ③不成    ④无法确定是否成 A．②① B．②③ C．①① D．①② 4．下面是普通火车硬座的部分票价表，车票价格与路程（    ）。 里程/km 20 30 40 50 60 票价/元 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 A．成正比例 B．不成正比例 C．是总价与单价的关系 D．无法确定 5．李师傅以每分钟133L的速度往一个圆柱形汽油桶里加油，图（    ）能大致表示油桶内汽油体积随加油时间的变化规律。（填选项） A． B． C． D． 6．为响应“双减”政策，幸福学校组建了计算机编程兴趣小组。兴趣小组的明明在电脑中设计了一个计算机程序，运行结果如表。根据他的设计，观察表格发现，输入数和输出数的关系是（    ）。 输入数 2 0.5 输出数 0.3 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 7．当发芽的黄豆数一定时，黄豆的发芽率与黄豆的总数成( )比例；当黄豆的发芽率一定时，发芽的黄豆数与不发芽的黄豆数成( )比例。 8．在下表中，若A与B成正比例，则x是( )；若A与B成反比例，则x是( )。 A 10 5 B 8 x 9．同一地点，同一时刻，乐乐的身高是1.68m，影长1.4m，爸爸的影长是1.5m，身高是( )m。 10．a和b都是非0自然数，且a÷8＝b，那么a和b成 比例，a和b的最大公因数是 ，最小公倍数是 。 11．如果A∶5＝4∶B，那么A和B成 比例，AB－8＝ ；如果A∶5＝B∶4（A、B均不为0，那么A和B成 比例，＋1＝ 。 12．如表中，和是两个相关联的量，如果和成正比例，那么表示的数是 ；如果和成反比例，那么表示的数是 。 5 120 150 13．一艘轮船在A，B两港之间往返一次需要8小时。去时顺风，每小时行驶45千米；返回时逆风，每小时行驶35千米。A，B两港相距多少千米？ 14．根据下图中的图象和已知数据判断，图中速度和时间成反比例吗？为什么？正比例图象和反比例图象有什么不同？ 15．根据每个表中对应数量之间的关系，判断哪些量成正比例，哪些量成反比例，哪些量既不成正比例，也不成反比例。 圆柱底面积/ 3 5 6 圆柱的高/ 15 9 7.5 钢材体积/ 1 5 8 钢材质量/ 7.8 39 62.4 小明的年龄/岁 10 11 12 小明的身高/ 140 143 150 圆的直径/ 1 2 3 圆的周长/ 3.14 6.28 9.42 16．一种彩带每米售价5元，购买2米、3米……各需要多少元？ （1）把下表填写完整。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 （2）根据表中的数据，在下图中描出彩带总价和长度所对应的点，再按顺序连接起来。 （3）购买彩带的总价和长度成正比例吗？你是根据什么判断的？ （4）根据图像判断，购买3.5米彩带需要多少元？ 17．六年级各班订阅《趣味数学》杂志的情况如下表： 班级 一班 二班 三班 四班 五班 订阅数量/份 6 8 12 10 9 总价/元 180 240 360 300 270 订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例吗？为什么？ 18．张师傅生产零件的情况如下表： 时间/时 1 2 4 6 8 … 生产零件数量/个 25 50 100 150 200 … （1）写出几组相对应的生产零件数量和时间的比，比较比值的大小。 （2）生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？ 19．糖果厂生产一批水果糖。把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的粒数和装的袋数如下表： 每袋装的粒数 12 15 20 24 30 装的袋数 500 400 300 250 200 （1）写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，比较积的大小。 （2）每袋装的粒数和袋数成反比例吗？为什么？ 20．给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 正比例和反比例 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念：相关联的量 1 二、正比例的意义与特征 1 三、反比例的意义与特征 2 四、正比例与反比例的区别与联系 3 五、实际应用（判断与解决问题） 3 考点讲练 3 考点一：正比例的意义及辨识 4 考点二：正比例图像的认识 6 考点三：正比例的应用 10 考点四：反比例的意义及辨识 14 考点五：反比例的应用 17 综合训练 20 知识梳理 一、核心概念：相关联的量 两种量，一种量变化，另一种量也随着变化，这样的两种量叫做相关联的量。 举例：路程与时间（路程随时间变化而变化）、总价与数量（总价随数量变化而变化）、工作总量与工作时间等。 二、正比例的意义与特征 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式 若用字母 ( x ) 和 ( y ) 表示两种相关联的量，用 ( k ) 表示它们的比值（一定），则正比例关系可表示为： 3. 图像特征 正比例关系的图像是一条经过原点的直线。从图像上可以直观看出，两种量的变化趋势一致（同时扩大或同时缩小）。 4. 判断方法（三步法） （1）看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量是否随之变化）； （2）看两种量的变化方向是否相同（一种量扩大，另一种量是否也扩大；一种量缩小，另一种量是否也缩小）； （3）看两种量相对应的两个数的比值是否一定（比值 ( k ) 是否为固定不变的常数）。 5. 举例 三、反比例的意义与特征 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式 若用字母 ( x ) 和 ( y ) 表示两种相关联的量，用 ( k ) 表示它们的乘积（一定），则反比例关系可表示为： 3. 图像特征 反比例关系的图像是一条曲线（双曲线），且不经过原点。从图像上可以看出，两种量的变化趋势相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4. 判断方法（三步法） （1）看两种量是否相关联（一种量变化，另一种量是否随之变化）； （2）看两种量的变化方向是否相反（一种量扩大，另一种量是否缩小；一种量缩小，另一种量是否扩大）； （3）看两种量相对应的两个数的乘积是否一定（乘积 ( k ) 是否为固定不变的常数）。 5. 举例 路程一定时，速度与时间成反比例 总价一定时，单价与数量成反比例 四、正比例与反比例的区别与联系 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 变化方向 变化方向相同（同扩同缩） 变化方向相反（一扩一缩） 数量关系 比值（商）一定 乘积一定（ 图像特征 经过原点的直线 曲线（双曲线） 五、实际应用（判断与解决问题） 1. 判断正反比例的步骤 （1）找出题目中的两种相关联的量； （2）分析两种量的变化关系（方向是否相同/相反）； （3）计算相对应的两个数的比值或乘积，判断是否一定； （4）根据定义确定成正比例、反比例或不成比例。 2. 解决实际问题的方法 正比例问题：已知两种量成正比例，可根据“比值相等”列比例式求解。 例：一辆汽车2小时行驶120千米，照这样的速度，5小时行驶多少千米？ 解：速度一定，路程与时间成正比例。 反比例问题：已知两种量成反比例，可根据“乘积相等”列方程求解。 例：一批货物，每车运5吨，需要12车运完。如果每车运6吨，需要多少车？ 解：货物总量一定，每车运的吨数与车数成反比例。设需要 考点讲练 考点一：正比例的意义及辨识 【典例精讲】下面各组中，两个量成反比例的是（    ）。 A．长方形的面积一定，长和宽 B．已知y＝10x，x和y C．圆的周长和直径 D．一个人的年龄和身高 【答案】A 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】A．长方形的长×宽＝长方形的面积（一定），积一定，所以长方形的长和面积成反比例； B．因为y＝10x，（一定），比值一定，所以x和y成正比例； C．圆的周长÷直径＝圆周率（一定），商一定，所以圆的周长和直径成正比例； D．一个人的年龄和身高的比值或乘积都不一定，所以一个人的年龄和身高不成比例。 故答案为：A 【变式训练】下图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成( )比例关系。照这个速度，该汽车5.5小时行驶( )千米。 【答案】 正 550 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 从图中可知，这辆汽车每小时行100千米，根据“路程＝速度×时间”，求出该汽车5.5小时行驶的路程。 【详解】＝＝＝＝＝100（一定） 比值一定，那么这辆汽车行驶的时间和路程成正比例关系。 5.5×100＝550（千米） 填空如下： 这辆汽车行驶的时间与路程成（正）比例关系。照这个速度，该汽车5.5小时行驶（550）千米。 【变式训练】端午节，某水果店进行统一折扣促销活动，一箱荔枝原价200元，现价只要160元。照这样计算，一箱原价180元的枇杷，现价是( )元。如果用表示原价，表示现价，原价与现价的数量关系用字母表达式可以写成( )，和成( )比例关系。 【答案】 144元 80%x 正 【分析】用荔枝的现价÷荔枝的原价，求出现价是原价的百分之几；也就是打几折，由于折扣一样，所以再用枇杷原价×折扣，求出枇杷现价。由于现价是原价的百分之几不变，据此用字母写成原价与现价的关系式。判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】160÷200＝80% 180×80%＝144（元） y＝80%x 因为y＝80%x，所以y∶x＝0.8（一定），y与x成正比例。 端午节，某水果店进行统一折扣促销活动，一箱荔枝原价200元，现价只要160元。照这样计算，一箱原价180元的枇杷，现价是144元。如果用表示原价，表示现价，原价与现价的数量关系用字母表达式可以写成y＝80%x，和成正比例关系。 【变式训练】如下表，如果a和b成正比例，那么☆表示的数是( )；如果a和b成反比例，那么☆表示的数是( )。 a 5 ☆ b 120 150 【答案】 6.25 4 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此用比例解答。 【详解】解：设如果a和b成正比例，那么☆表示的数是x。 ＝ 120x＝5×150 120x＝750 120x÷120＝750÷120 x＝6.25 解：设如果a和b成反比例，那么☆表示的数是y。 150y＝5×120 150y＝600 150y÷150＝600÷150 y＝4 如果a和b成正比例，那么☆表示的数是6.25；如果a和b成反比例，那么☆表示的数是4。 考点二：正比例图像的认识 【典例精讲】 图中的曲线表示( )比例关系。点A表示单价是( )元，能买( )本；点B表示单价是( )元，能买( )本。 【答案】 反 60 2 20 6 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系；正比例图象是一条过原点的直线，反比例图象是一条光滑的曲线，据此结合给出的曲线解答；根据两个点所对应的单价和数量进行填写，据此解答。 【详解】给出的图象是一条光滑的曲线，所以曲线表示反比例关系。 点A表示单价是60元，能买2本；点B表示单价是20元，能买6本。 【变式训练】下面的图像表示实验小学食堂吃大米的质量和时间的关系。 （1）实验小学食堂吃大米的质量和时间是否成正比例？ （2）根据图像判断，实验小学食堂5天吃大米多少吨？2.4吨大米可以吃多少天？ 【答案】（1）成正比例 （2）1.5吨；8天 【分析】正比例关系是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值（也就是商一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。对于本题，我们先判断吃大米的质量和时间是否成正比例，从图像中选取几组数据，如当时间为1天时，吃大米的质量是0.3吨；当时间为2天时，吃大米的质量是0.6吨；当时间为3天时，吃大米的质量是0.9吨等。再根据图像来确定特定时间对应的吃大米质量以及特定质量对应的天数。 【详解】（1）0.3÷1＝0.3 0.6÷2＝0.3 0.9÷3＝0.3 …… 可以发现，吃大米的质量和时间的比值都是0.3，是一个定值。 答：实验小学食堂吃大米的质量和时间成正比例。 （2）从图像中可以看出，5天吃大米1.5吨； 因为每天吃大米的质量是0.3吨（前面已求出比值为0.3），所以用大米的总质量除以每天吃的质量，即2.4÷0.3＝8（天）。 答：实验小学食堂5天吃大米1.5吨，2.4吨大米可以吃8天。 【变式训练】 路程/千米 60 120 150 180 240 时间/时 1 2 2.5 3 4 根据表中数据，先在下图中描出行驶路程和所需时间相对应的点，再依次连起来。 （1）根据图像判断，路程和时间成（    ）比例。 （2）根据图像估计，行驶200千米要多少小时？3.5小时能行驶多少千米？ 【答案】图见详解 （1）正 （2）小时；210千米 【分析】根据统计表提供的数据，绘制统计图；（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。（2）根据时间＝路程÷速度、路程＝速度×时间，分别计算出这辆汽车行驶200千米需要多少小时和3.5小时能行驶多少千米。 【详解】如图： 60÷1＝60（千米/时） 120÷2＝60（千米/时） 150÷2.5＝60（千米/时） 180÷3＝60（千米/时） 240÷4＝60（千米/时） 60÷1＝120÷2＝150÷2.5＝180÷3＝240÷4＝60（一定），路程和时间成正比例。 （2）200÷60＝（小时） 60×3.5＝210（千米） 答：行驶200千米要小时，3.5小时能行驶210千米。 【变式训练】小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为( )分钟，学校到图书馆的距离是( )米。 【答案】 小芳 5 840 【分析】表示小芳的路程与时间之间的关系图像是从学校出发的，所以这个图像成正比例；小明在小芳出发后3分钟后出发，到小芳出发8分钟时追上小芳，据此可以求出小明追上小芳所需的时间；小芳3分钟走了210米，用210÷3求出小芳一分钟走多少米，再根据到图书馆用了12分钟，用速度×时间，求出学校到图书馆的距离即可。 【详解】根据图像可以判断，小芳的路程与时间成正比例； （分钟） （米） 小芳的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为5分钟，学校到图书馆的距离是840米。 考点三：正比例的应用 【典例精讲】妈妈买回一根悬挂10kg（弹性限度）物体的弹簧，小宇感到很好奇，用手试了试，发现弹簧挂上物体后长度会伸长。小宇又试了试，还发现这个弹簧若挂上4kg物体，则弹簧长22cm；若挂上6kg物体，则弹簧长23cm。（弹性限度内，弹簧伸长的长度和挂上物体的质量成正比例） (1)若不挂物体，则这根弹簧长多少厘米？ (2)现在想使这根弹簧伸长20%，应挂上多少千克的物体？ 【答案】(1) 20厘米 (2)8千克 【分析】（1）根据题意可知：在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例，即每增加1kg的物体，弹簧伸长的长度一定，是（厘米），那么不挂物体时比挂 4 kg物体时，长度减少4个0.5cm，是（厘米）； （2）要想使弹簧伸长20%，就是伸长（厘米），由（1）可知，每增加1kg物体，弹簧伸长0.5cm，那么伸长4cm，就是要增加（千克）。据此解答。 【详解】（1） （厘米）       （厘米） 答：若不挂物体，则这根弹簧长20厘米。 （2） （千克） 答：现在想使这根弹簧伸长20%，应挂上8千克的物体。 【变式训练】邢氏刺绣是河北省级非物质文化遗产。某同学在尝试刺绣时需要购买一种丝线，丝线长度和应付金额如下表。 长度/m 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 24 48 72 96 120 … (1)判断这种丝线的长度和应付金额是否成正比例，并说明理由。 (2)300元可以买多少米这种丝线？购买35m这种丝线需要多少元？ 【答案】(1)丝线的长度和应付金额成正比例。理由：丝线的长度和应付金额的比值一定。 (2) 300元可以买12.5米这种丝线。购买35m这种丝线需要840元。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。根据正比例定义解答。 先算出1米丝线价钱，再根据总价÷单价＝数量、单价×数量＝总价这两个数量关系来解答。 【详解】丝线长度与应付金额是两个相关联的量，应付金额随着购买丝线长度的变化而变化，、、、、，应付金额：丝线长度＝每米丝线价钱（一定）所以丝线的长度和应付金额成正比例。 答：丝线的长度和应付金额成正比例。理由：丝线的长度和应付金额的比值一定。 （元/米）（米）（元） 答：300元可以买12.5米这种丝线。购买35m这种丝线需要840元。 【变式训练】小宇坐爸爸开的车去上海旅游，他每过10分钟看一次里程表上的读数，结果记录如下表。 时间 9：10 9：20 9：30 9：40 9：50 … 里程表读数/km 31220 31235 31250 ？ 31280 … (1)这辆车行驶的路程和时间( )正比例。（填“成”或“不成”） (2)照这样的速度，9：40时里程表上的读数应是( )km。 (3)如果9：50时他们离上海还有45km，照这样的速度，他们到达上海的时间是( )。 【答案】(1)成 (2)31265 (3)10：20 【分析】（1）判断路程与时间的比例关系两种量成正比例的核心条件是“相对应的两个数的比值（商）一定”。这里的“比值”对应行程问题中的速度（速度＝路程÷时间）。观察表格中相邻时间（每10分钟）的里程表读数差：9：10−9：20，10分钟行驶了（km），速度为（km/分钟）；9：20−9：30，10分钟同样行驶15km，速度仍为1.5km/分钟。可见速度（比值）始终不变，因此路程和时间成正比例。 （2）先通过前两段数据确定速度恒定为1.5km/分钟，每10分钟行驶15km。9：30到9：40间隔10分钟，需在9：30的读数基础上，加上10分钟行驶的路程。 （3）根据“时间＝路程÷速度”，先求出行驶剩余路程所需的时间，再在9：50的基础上累加该时间，得到到达时刻。 【详解】（1）因每10分钟行驶路程固定，速度不变，路程与时间的比值一定，故成正比例。 （2）9：30读数31250km，加10分钟路程15km，得31265km。 （3）（分）， 所以他们到达上海的时间是10：20。 【变式训练】用弹簧秤称物品时，所挂物品的质量与弹簧长度的变化情况如下图。 (1)弹簧最初的长度是( )cm。 (2)所挂物品的质量每增加1kg，弹簧长度就会增加( )cm。从图上看，所挂物品的质量和弹簧伸长的长度( )（填“成”或“不成”）正比例。 (3)用这个弹簧秤称6kg的物品时（质量在弹簧秤的测量范围内），弹簧的长度是( )cm。 【答案】(1)10 (2) 2 成 (3)22 【分析】（1）从图中找到质量为0所对应的弹簧长度，即为弹簧最初的长度； （2）挂1kg物品，弹簧长12cm；挂2kg物品，弹簧长14cm；挂3kg物品，弹簧长16cm……挂物品时的弹簧长度减去弹簧最初的长度就是弹簧增加的长度。所挂物品的质量和弹簧伸长长度的乘积一定则成反比例关系，所挂物品的质量和弹簧伸长长度的比值一定则成正比例关系； （3）6kg里包含6个1kg，用6乘每增加1kg弹簧所增加的长度，求出称6kg物品时弹簧所增加的长度，再加上弹簧最初的长度，即可求出现在的弹簧长度，据此解答。 【详解】（1）从图中可知，质量为0所对应的弹簧长度时10cm，故弹簧最初的长度是10cm。 （2）因为（cm）、（cm）、（cm）……所以所挂物品的质量每增加1kg，弹簧长度就会增加2cm。 因为，所挂物品的质量和弹簧伸长长度的比值一定，所以所挂物品的质量和弹簧伸长的长度成正比例。 （3）现在弹簧的长度：（cm） 用这个弹簧秤称6kg的物品时，弹簧的长度是22cm。 考点四：反比例的意义及辨识 【典例精讲】下面三个关系式中，x和y成反比例关系的是（    ）。（x，y均不为0） A．（x＋1）y＝8 B． C． 【答案】B 【分析】判断x和y是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例。据此进行分析。 【详解】根据分析得： A.，则，并非单纯的x和y的积一定，所以x与y不成反比例关系； B.，则，x和y的积一定，所以x与y成反比例关系； C.，则，并非x和y的积一定，所以x与y不成反比例关系。 故答案为：B 【变式训练】30分钟里，加工一个零件的时间与加工零件的个数 比例；30分钟加工零件的个数与每分钟加工零件的个数 比例。 应该选（    ）。 ①成正    ②成反    ③不成    ④无法确定是否成 A．②① B．②③ C．①③ D．①② 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此进行分析。 【详解】因为加工一个零件的时间加工零件的个数＝加工的时间（一定），是乘积一定，符合反比例的意义，所以在一定的时间里加工一个零件的时间与加工零件的个数成反比例； 因为加工零件的个数÷每分钟加工零件的个数＝加工的时间（一定），是比值一定，符合正比例的意义，所以在一定的时间里，每分钟加工零件的个数与加工零件的个数成正比例。 故答案为：A 【变式训练】两个啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ (2)大齿轮有40个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分钟转360圈，那么小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】(1)反比例关系 (2) 720圈 【分析】（1）两个相关的量，若它们的乘积一定，则它们成反比例关系；若它们的比值一定，则成正比例关系。 （2）根据题意可知，设小齿轮每分钟转x圈，再根据大齿轮转动的总齿数等于小齿轮转动的总齿数，据此列方程解答即可。 【详解】（1）每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，所以每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 答：转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （2）解：设小齿轮每分钟转x圈。                      答：小齿轮每分钟转720圈。 【变式训练】A、B两地相距240千米，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。 行驶时间/时 2 3 4 5 6 8 … 每小时行驶的路程/千米 … （1）相对应的两个数的乘积分别是多少？ （2）这个乘积表示什么意义？用数量关系式表示它与行驶时间和速度的关系。 （3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？ 【答案】表格见详解 （1）240 （2）路程；路程＝速度×时间 （3）成反比例；原因见详解 【分析】根据每小时行驶的路程＝ A、B两地相距240千米÷行驶时间，据此完成表格即可； （1）将相对应的两个数相乘分别求出它们的乘积即可； （2）这个乘积表示路程，根据路程、速度和时间之间的关系解答即可； （3）两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且它们乘积一定，则这两个量成反比例；若它们的比值一定，则这两个量成正比例。。 【详解】240÷2＝120，240÷3＝80，240÷4＝60，240÷5＝48，240÷6＝40，240÷8＝30 表格如下： 行驶时间/时 2 3 4 5 6 8 … 每小时行驶的路程/千米 120 80 60 48 40 30 … （1）2×120＝240，3×80＝240，4×60＝240，5×48＝240，6×40＝240，8×30＝240 相对应的两个数的乘积都是240。 （2）这个乘积表示路程，路程＝速度×时间； （3）因为时间×速度＝路程（一定），积一定，行驶时间和速度成反比例。 考点五：反比例的应用 【典例精讲】双臂采摘机器人单臂采摘，每小时可采摘450个梨，9小时可以完成采摘任务。如果双臂采摘，每小时可采摘900个梨，（    ）小时可以完成采摘任务？ A．2.25 B．4.5 C．9 D．18 【答案】B 【分析】已知单臂采摘时，工作效率为每小时450个，工作时间为9小时，因为工作总量是固定的，当双臂采摘时，工作效率变为每小时900个。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。因为工作总量＝工作效率×工作时间，所以工作效率与工作时间成反比例，设需要x小时完成任务，所以可列方程：900x＝450×9，然后解方程即可。 【详解】解：设需要x小时完成任务。 900x＝450×9 900x＝4050 x＝4050÷900 x＝4.5 双臂采摘，4.5小时可以完成采摘任务。 故答案为：B 【变式训练】如图，张明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第2个孔应挂( )颗珠，支架才能保持平衡。 【答案】6 【分析】根据题意可知，支架平衡时，左侧的孔数×挂的珠子数量＝右侧的孔数×挂的珠子数量，据此列反比例解答。 【详解】解：设右侧第2个孔应挂x颗珠，支架才能保持平衡。 2x＝3×4 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 所以右侧第2个孔应挂6颗珠，支架才能保持平衡。 【变式训练】601班的教室地面暑假期间打算重新铺方瓷砖，需用面积是16平方分米的方砖300块。如果改用面积是12平方分米的方砖来铺地，需要多少块？（用比例解） 【答案】400块 【分析】方砖的面积×方砖的块数＝教室的面积（一定），即方砖的面积与方砖的块数成反比例关系；设需要x块，根据方砖的面积与方砖的块数成反比例关系列方程求解即可。 【详解】解：设需要x块 12x＝16×300 x＝4800÷12 x＝400 答：需要400块。 【点睛】本题主要考查反比例的应用，理解“方砖的面积与方砖的块数” 成反比例关系是解题的关键。 【变式训练】图中的钩码一样重，杠杆的刻度均匀。 （1）两边各拿掉一个钩码，杠杆( )边会向下倾斜。 （2）两边各增加一个钩码，杠杆( )边会向下倾斜。 （3）把左边的2个钩码向左移动1个刻度，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，杠杆( )边会向下倾斜。 【答案】 右 左 右 【分析】（1）左边拿掉一个砝码，左边的刻度为3，少了1×3＝3，右边拿掉一个钩码，右边的刻度为2，少了1×2＝2，右边减少的少，所以杠杆右边会向下倾斜。 （2）左边增加一个钩码，左边的刻度为3，多了1×3＝3，右边增加一个钩码，右边的刻度为2，多了1×2＝2，左边增加的多，所以杠杆左边会向下倾斜。 （3）把左边的2个钩码向左移动1个刻度，左边刻度为4，左边为：2×4＝8，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，右边刻度为3，右边为：3×3＝9，天平右边会向下倾斜。 （ 【详解】（1）两边各拿掉一个钩码，杠杆右边会向下倾斜。 （2）两边各增加一个钩码，杠杆左边会向下倾斜。 （3）把左边的2个钩码向左移动1个刻度，把右边的3个钩码向右移动1个刻度，杠杆右边会向下倾斜。 故答案为：右；左；右 【点睛】杠杆平衡的规律：左边的刻度数×钩码数＝右边的刻度数×钩码数，当一边的乘积一定时，另一边的刻度数与对应的钩码数成反比例。 综合训练 1．大圆周长与小圆周长的比是3∶2，大圆面积与小圆面积的比是（    ）。 A．3∶2 B．9∶4 C．4∶9 D．6∶4 【答案】B 【分析】因为圆的周长，π是一个定值，所以半径与周长成正比例，根据“大圆周长与小圆周长的比是”，得出大圆与小圆的半径的比是，再根据圆的面积公式，得出面积与半径的平方成正比例，据此解答。 【详解】因为大圆周长与小圆周长的比是， 所以大圆与小圆的半径的比是， 因为面积与半径的平方成正比例， 所以大圆面积与小圆面积的比是：。 故答案为：B 2．下面表示x和y（均不为0）成正比例的式子是（    ）。 A．x＋y＝12 B．x－y＝12 C．xy＝12 D．x∶y＝12 【答案】D 【分析】判断x和y是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例。据此进行分析。 【详解】根据分析得： A.，不是比值一定，所以x与y不成正比例； B.，不是比值一定，所以x与y不成正比例； C.，不是比值一定，所以x与y不成正比例； D.，是比值一定，所以x与y成正比例。 故答案为：D 3．糖水的含糖率一定，糖的质量和糖水的质量 比例，糖的质量和水的质量 比例。 处应该选（    ）。 ①成正    ②成反    ③不成    ④无法确定是否成 A．②① B．②③ C．①① D．①② 【答案】C 【分析】根据正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系。（一定），所以糖的质量和糖水的质量成正比。含水率=1－含糖率，含糖率一定，则含水率也一定。所以糖的质量和水的质量成正比例；据此解答。 【详解】根据分析得：糖水的含糖率一定，糖的质量和糖水的质量正比例，糖的质量和水的质量正比例。 故答案为：C 4．下面是普通火车硬座的部分票价表，车票价格与路程（    ）。 里程/km 20 30 40 50 60 票价/元 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 A．成正比例 B．不成正比例 C．是总价与单价的关系 D．无法确定 【答案】B 【分析】通过计算不同路程与票价的比值，判断车票价格与路程是否成正比例关系。 【详解】A.车票价格与路程不成正比例，所以该选项错误； B.由上述分析可知，车票价格与路程不成正比例，该选项正确； C.车票价格是总价，路程与票价不存在单价的关系，所以该选项错误； D.通过前面的分析可以确定它们的关系不是无法确定，所以该选项错误。 故答案为：B 5．李师傅以每分钟133L的速度往一个圆柱形汽油桶里加油，图（    ）能大致表示油桶内汽油体积随加油时间的变化规律。（填选项） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以每分钟133L的速度往一个圆柱形汽油桶里加油，1分钟时，油桶内汽油体积为133L；2分钟时，油桶内汽油体积为266L；3分钟时，油桶内汽油体积为399L……可以发现，油桶内汽油体积随加油时间的增加匀速增加，它们的关系是一条从原点出发的直线（加油时间为0时，油桶内汽油体积为0）。 【详解】根据分析，油桶内汽油体积随加油时间的增加匀速增加，它们的关系是一条从原点出发的直线（加油时间为0时，油桶内汽油体积为0）。 故答案为：A 6．为响应“双减”政策，幸福学校组建了计算机编程兴趣小组。兴趣小组的明明在电脑中设计了一个计算机程序，运行结果如表。根据他的设计，观察表格发现，输入数和输出数的关系是（    ）。 输入数 2 0.5 输出数 0.3 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法确定 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】÷ ＝×5 ＝ ÷ ＝× ＝ 2÷ ＝2× ＝ 0.5÷0.3＝ 因为∶＝∶＝2∶＝0.5∶0.3＝，所以输入数和输出数的关系是成正比例。 观察表格发现，输入数和输出数的关系是正比例。 故答案为：B 7．当发芽的黄豆数一定时，黄豆的发芽率与黄豆的总数成( )比例；当黄豆的发芽率一定时，发芽的黄豆数与不发芽的黄豆数成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】根据发芽率公式：黄豆的总数×发芽率＝发芽的黄豆数，当发芽的黄豆数一定时，即“黄豆的总数和发芽率”的乘积为定值，所以黄豆的发芽率与黄豆的总数成反比例； 因为不发芽率＝1－发芽率，当发芽率一定时，不发芽率也一定，所以发芽的黄豆数与不发芽的黄豆数的比值一定，则发芽的黄豆数与不发芽 的黄豆数成正比例。据此进行分析。 【详解】根据分析得：当发芽的黄豆数一定时，黄豆的发芽率与黄豆的总数成（反）比例；当黄豆的发芽率一定时，发芽的黄豆数与不发芽的黄豆数成（正）比例。 8．在下表中，若A与B成正比例，则x是( )；若A与B成反比例，则x是( )。 A 10 5 B 8 x 【答案】 4 16 【分析】如果A与B成正比例，说明A与B对应的比值一定，根据两次的比值相等并解比例即可； 如果A与B成反比例，说明A与B对应的乘积一定，根据两次的乘积相等进行解答即可。 【详解】 解： 解： 在下表中，若A与B成正比例，则x是4；若A与B成反比例，则x是16。 9．同一地点，同一时刻，乐乐的身高是1.68m，影长1.4m，爸爸的影长是1.5m，身高是( )m。 【答案】1.8 【分析】同一时间，同一地点测得物体高度与影子长度的比值相等，也就是乐乐的身高与影子的比等于爸爸的身高与影子的比，设爸爸的身高为x米，组成比例解比例即可解答。 【详解】解：设爸爸的身高为米。 同一地点，同一时刻，乐乐的身高是1.68m，影长1.4m，爸爸的影长是1.5m，身高是1.8m。 10．a和b都是非0自然数，且a÷8＝b，那么a和b成 比例，a和b的最大公因数是 ，最小公倍数是 。 【答案】 正 b a 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 根据题意，a÷8＝b，说明a和b是倍数关系，且a＞b；根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】由a÷8＝b可得，a÷b＝8（一定），商一定，则a和b成正比例； a÷b＝8，说明a、b是倍数关系，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 11．如果A∶5＝4∶B，那么A和B成 比例，AB－8＝ ；如果A∶5＝B∶4（A、B均不为0，那么A和B成 比例，＋1＝ 。 【答案】 反 12 正 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 把AB的值代入式子AB－8中，把的值代入式子＋1中，计算出得数即可。 【详解】由A∶5＝4∶B可得，AB＝5×4＝20（一定），乘积一定，则A和B成反比例； 当AB＝20时，AB－8＝20－8＝12； 由A∶5＝B∶4可得，A∶B＝5∶4＝（一定），比值一定，则A和B成正比例； 当A∶B＝，则＝，那么＋1＝＋1＝。 填空如下： 如果A∶5＝4∶B，那么A和B成（反）比例，AB－8＝（12）； 如果A∶5＝B∶4，那么A和B成（正）比例，＋1＝（）。 12．如表中，和是两个相关联的量，如果和成正比例，那么表示的数是 ；如果和成反比例，那么表示的数是 。 5 120 150 【答案】 6.25 4 【分析】两个相关联的量，若比值一定，两个量成正比例关系；若乘积一定，两个量成反比例关系。据此解答。 【详解】如果和成正比例，则5∶120＝*∶150 所以120×*＝150×5 *＝750÷120 *＝6.25 如果和成反比例，则5×120＝*×150 所以*＝600÷150 *＝4 如果和成正比例，那么表示的数是6.25；如果和成反比例，那么表示的数是4。 13．一艘轮船在A，B两港之间往返一次需要8小时。去时顺风，每小时行驶45千米；返回时逆风，每小时行驶35千米。A，B两港相距多少千米？ 【答案】千米 【分析】速度×时间＝路程，往返过程中，路程一定，速度和时间成反比例关系；假设去时时间为x小时，返回时间即为小时，根据去时时间×去时速度＝返回时间×返回速度，列方程解答，即可求出去时时间；最后用去时时间×去时速度，即可求出两港之间的路程，据此解答。 【详解】解：设去时时间为x小时，那么返回时间为小时。 路程：（千米） 答：A，B两港相距千米。 【点睛】本题的关键在于抓住路程一定，速度与时间成反比例关系，列出方程求去时时间。 14．根据下图中的图象和已知数据判断，图中速度和时间成反比例吗？为什么？正比例图象和反比例图象有什么不同？ 【答案】成反比例。速度×时间＝路程（一定），所以速度和时间成反比例。不同之处是正比例图象是一条直线，反比例图象是一条曲线。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。根据反比例定义进行判断。 【详解】速度与时间是两种相关联的量，速度变化，时间也随着变化，（千米）、（千米 ）、（千米）、（千米）……、速度×时间＝路程（一定），所以图中速度和时间成反比例。 正比例图象是一条直线，反比例图象是一条曲线。 答：图中速度和时间成反比例，因为速度×时间＝路程（一定），所以图中速度和时间成反比例。 不同之处是正比例图象是一条直线，反比例图象是一条曲线。 15．根据每个表中对应数量之间的关系，判断哪些量成正比例，哪些量成反比例，哪些量既不成正比例，也不成反比例。 圆柱底面积/ 3 5 6 圆柱的高/ 15 9 7.5 钢材体积/ 1 5 8 钢材质量/ 7.8 39 62.4 小明的年龄/岁 10 11 12 小明的身高/ 140 143 150 圆的直径/ 1 2 3 圆的周长/ 3.14 6.28 9.42 【答案】圆柱底面积和圆柱的高成反比例，钢材体积和钢材质量成正比例，小明的年龄和身高即不成正比例也不成反比例，圆的直径和周长成正比例。 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可。 【详解】（1）3×15＝5×9＝6×7.5＝45，圆柱的底面积和圆柱的高的积一定，则圆柱的底面积和圆柱的高成反比例。 （2）7.8÷1＝39÷5＝62.4÷8＝7.8，钢材质量和钢材体积的比值一定，所以钢材质量和钢材体积成正比例。 （3）小明的年龄和小明的身高这两种量的比值和乘积都不一定，所以小明的年龄和小明的身高既不成正比例，也不成反比例。 （4）3.14÷1＝6.28÷2＝9.42÷3＝3.14，圆的周长和圆的直径的比值一定，所以圆的周长和圆的直径成正比例。 16．一种彩带每米售价5元，购买2米、3米……各需要多少元？ （1）把下表填写完整。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 （2）根据表中的数据，在下图中描出彩带总价和长度所对应的点，再按顺序连接起来。 （3）购买彩带的总价和长度成正比例吗？你是根据什么判断的？ （4）根据图像判断，购买3.5米彩带需要多少元？ 【答案】（1）10；15；20；25 （2）图见详解 （3）成正比例；见详解 （4）17.5元 【分析】（1）观察表格可知，1米彩带5元（即单价），根据单价×数量＝总价，分别求出购买2米、3米、4米、5米彩带的总价，据此填表。 （2）根据统计表中的数据，先描出对应的点，再连线即可。 （3）根据正比例的意义可知：总价÷数量＝单价（一定），所以购买彩带的总价和长度成正比例。 （4）用单价乘3.5米即可求出购买3.5米彩带需要多少元。 【详解】（1）5×2＝10（元） 5×3＝15（元） 5×4＝20（元） 5×5＝25（元） 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 10 15 20 25 （2）如图： （3）答：购买这种彩带的总价和长度成正比例，因为总价÷数量＝单价（一定）。 （4）5×3.5＝17.5（元） 答：购买3.5米彩带需要17.5元。 17．六年级各班订阅《趣味数学》杂志的情况如下表： 班级 一班 二班 三班 四班 五班 订阅数量/份 6 8 12 10 9 总价/元 180 240 360 300 270 订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例吗？为什么？ 【答案】成正比例；见详解 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可。 【详解】180÷6＝30（元） 240÷8＝30（元） 360÷12＝30（元） 300÷10＝30（元） 270÷9＝30（元） 所以订阅《趣味数学》的总价和数量的商一定，即比值一定，成正比例。 答：订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例，因为订阅《趣味数学》的总价和数量的商一定，即比值一定。 18．张师傅生产零件的情况如下表： 时间/时 1 2 4 6 8 … 生产零件数量/个 25 50 100 150 200 … （1）写出几组相对应的生产零件数量和时间的比，比较比值的大小。 （2）生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）正比例，理由见详解 【分析】（1）用生产零件数量比上相对应的生产时间，求出它们的比值，再比较它们的比值的大小； （2）生产零件数量和生产时间这两种相关联的量，看它们的比值一定，还是乘积一定，要是比值一定，成正比例，要是乘积一定，就成反比例，即可解答。 【详解】（1）25∶1＝25，50∶2＝25，100∶4＝25，150∶6＝25，200∶8＝25，它们的比值相等。 （2）生产零件数量∶生产时间＝25，即生产零件数量与生产时间的比值一定，这两种量成正比例。 19．糖果厂生产一批水果糖。把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的粒数和装的袋数如下表： 每袋装的粒数 12 15 20 24 30 装的袋数 500 400 300 250 200 （1）写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，比较积的大小。 （2）每袋装的粒数和袋数成反比例吗？为什么？ 【答案】（1）见详解；相等 （2）成反比例；见详解 【分析】（1）根据统计表中的数据，写出几组相对应的每袋粒数和袋数的积，再比较积的大小。 （2）结合上一题的结论，根据反比例的意义进行判断。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【详解】（1）12×500＝6000（粒） 15×400＝6000（粒） 20×300＝6000（粒） 24×250＝6000（粒） 30×200＝6000（粒） 它们的积都相等。 （2）答：每袋装的粒数和袋数成反比例。因为每袋装的粒数×装的袋数＝水果糖的总粒数（一定），乘积一定，则每袋装的粒数和袋数成反比例。 20．给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 【答案】（1）填表见详解；面积；反 （2）288块 （3）0.0288平方米 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，成反比例。根据方砖面积＝边长×边长，房屋面积＝每块方砖的面积×所需方砖的数量，计算填表即可。 （2）房屋面积不变，根据房屋面积÷每块方砖的面积＝所需方砖的数量，代入数据计算即可。 （3）房屋面积不变，根据房屋面积÷所需方砖的数量＝每块方砖的面积，代入数据计算即可。 【详解】（1）（1）0.04×360＝0.36×40＝14.4（平方米） 因为每块方砖的面积×所需方砖的数量＝铺地面积（一定），铺地面积即这间房屋的面积，所以每块方砖的面积与所需方砖的数量成反比例。 0.3×0.3＝0.09（平方米）   14.4÷0.09＝160（块） 0.4×0.4＝0.16（平方米）   14.4÷0.16＝90（块） 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.09 0.16 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 160 90 40 … （2）14.4÷0.05＝288（块） 答：铺这间房屋的地面需288块方砖。 （3）14.4÷500＝0.0288（平方米） 答：这样的方砖每块面积是0.0288平方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $