6.2.3 向量的数乘运算 （教学课件）数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量数乘运算的定义、运算律及共线定理，通过校园骑行路线规划、超市购物车推行等生活情境导入，关联向量加法旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激活数学眼光，通过作图探究和运算律推导培养数学思维，结合共线定理解决几何问题强化数学语言表达。如用校园骑行路线引出向量叠加，共线定理证明三点共线实例。采用情境导入、分层题型训练，帮助学生直观理解抽象概念，教师可直接使用系统资源提升教学效率。

第6章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的 数乘运算 人教A版·必修第二册· 学习目标 了解向量数乘的概念. 理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算. 理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 目录 CATALOG 01.向量数乘运算的定义 03.题型强化训练 02.向量数乘运算的运算律 04.小结及随堂练习 6.2.3 向量的数乘运算 01 向量数乘运算的定义 导入新知1：校园骑行的路线规划问题 周末，小明计划从学校东门（A点）出发，骑行探索校园周边路线： 若他沿正东方向骑行，每次前进的路程对应向量a（长度为1km，方向正东），连续骑行4次后，最终的位移向量如何表示？这个向量的长度和方向与a有什么关系？ 若他沿正西方向（与a反向）骑行，同样连续骑行4次，最终的位移向量又该如何表示？与原向量a的长度、方向有何关联？ 若他先沿正东骑行2次，再沿正西骑行3次，总位移向量可以用a表示吗？ 请同学们： 用向量加法法则画出前两个问题的位移向量； 尝试用简洁的符号表示这些重复叠加的位移向量； 思考这种“向量与实数结合”的运算有什么规律。 导入新知2：超市购物的购物车推行问题 超市购物车的推行可以用向量来描述：设购物车在水平地面上被匀速推行时，每次施加的推力对应向量f（长度为5N，方向为推行方向）。 若小明妈妈推车时，施加的推力大小是原来的2倍，方向不变，此时的推力向量如何表示？它与原向量f的长度、方向有什么关系？ 若小明反向拉购物车（与推行方向相反），拉力大小与原推力大小相同，对应的向量怎么表示？与f的关系是什么？ 若小明和妈妈一起同向推车，小明的推力是1.5f，妈妈的推力是2.5f，两人的合力向量可以用f表示吗？若小明向东推，妈妈向北推，合力又该如何计算？ 1.用画图的方式表示前两个问题的向量； 2.猜想“实数与向量相乘”的长度和方向规律； 3.思考第三个问题中“同向合力”与“反向合力” “不同向合力”的区别，体会运算的特殊性。 学习新知 探究 O A B C N M Q P 图6.2-14 学习新知 探究 O A B C N M Q P 图6.2-14 学习新知 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量的混合运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量的混合运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的运算律、平面向量的混合运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的运算律、平面向量的混合运算 02 向量数乘运算的运算律 6.2.3 向量的数乘运算 学习新知 学习新知 学习新知 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 学习新知 学习新知 学习新知 向量线性运算的方法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量数乘的有关计算、用基底表示向量 学习新知 A B C D M 图6.2-15 学习新知 学习新知 用已知向量表示其他向量的两种方法 学习新知 可以发现，实数与向量的积与原向量共线． 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 探究 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 学习新知 图6.2-16 学习新知 图6.2-16 O A B C 图6.2-17 学习新知 学习新知 学习新知 学习新知 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 学习新知 重要结论 证明 03 题型强化训练 6.2.3 向量的数乘运算 能力提升 题型一：向量的数乘运算 能力提升 题型一：向量的数乘运算 能力提升 题型二：向量的线性运算 能力提升 题型二：向量的线性运算 能力提升 题型三：用已知向量表示其他向量 能力提升 题型三：用已知向量表示其他向量 能力提升 题型四：向量共线定理 能力提升 题型四：向量共线定理 能力提升 题型四：向量共线定理 04 小结及随堂练习 6.2.3 向量的数乘运算 课堂总结1 课堂总结2 作业 教材第15页练习第1~3题. 习题6.2 8.(2)(3)(4),9题 6.2.3 向量的数乘运算 练习（第15页） 练习（第15页） A B C 练习（第15页） 练习（第16页） 练习（第16页） 练习（第16页） 练习（补充练习） A B C B 练习（补充练习） 练习（补充练习） 练习（补充练习） A B C D 练习（补充练习） A B D C C 练习（补充练习） A B C D M N 练习（补充练习） A B C D N M O 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. （　　） A． B． C． D． 【详解】 . 故选：C 2. 等于（   ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：D 3.下列各式计算正确的有（   ） ① ； ② ； ③ ； ④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确. 故选：C 4. 在 中，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】因，则， 则. 故选：A 5.在 中，M为边 中点，N为 的中点， ，则 （　　） A． B． C． D．1 【详解】因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 6. 在 中， 为 边上的中点，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 【详解】因为 与 是共线向量，所以存在实数 ，使得 ， 所以 ，即 ， 又因为 是两个不共线的向量， 所以 ，解得 . 故答案为：- 4. 【变式】已知 是两个不共线的向量， ， 若 与 是共线向量，则实数 . (1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数； (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　　　　 7. 在平行四边形ABCD中， ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 8.在平行四边形 中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则 =（   ） A． + B． + C． + D． - 【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故，所以. 故选：A 【详解】如图， . 故选：C 【变式】在△ABC中,点D满足 ,点E满足 ,则 =（    ） A． B． C． D． (1)直接法 (2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　　　　 9. 在 中， 为 边上的中点，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 10. 在 中，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】因，则， 则. 故选：A 【详解】(1) ,又 , , ,又 , A,B,D三点共线； 向量 和 共线, 存在实数k使 ， 又 , 是不共线, ,解得 . 【变式】已知 , 是两个不共线的向量. (1)若 , , ,求证：A,B,D三点共线； (2)若 和 共线,求实数 的值． 【详解】向量 ， 共线，所以存在实数 ， 使得 ， 由于 , 是两个不共线的向量， 所以 且 ，所以 ， 故答案为：2 【变式】已知 , 是两个不共线的向量， 向量 ， 共线，则实数t的值为 . (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行； (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重 合．例如，若向量eq \o(AB,\s\up17(―→))＝λeq \o(AC,\s\up17(―→))，则eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(AC,\s\up17(―→))共线，又eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(AC,\s\up17(―→))有 公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．　　　　 【练习1】（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量 ， ，恒有 B．对于实数m，n和向量 ，恒有 C．对于实数m和向量 ， ，若 ，则 D．对于实数m，n和向量 ，若 ，则 【答案】AB 【详解】由数乘向量运算律，得A，B均正确； 对于C，若m＝0，则 ，未必一定有 ，错误； 对于D，若 ，由 ，未必一定有 ，错误．故选：AB． 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行； (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若向量eq \o(AB,\s\up7(―→))＝λeq \o(AC,\s\up7(―→))，则eq \o(AB,\s\up7(―→))，eq \o(AC,\s\up7(―→))共线， 又eq \o(AB,\s\up7(―→))与eq \o(AC,\s\up7(―→))有公共点A，从而A，B，C三点共线， 这是证明三点共线的重要方法．　　　　 (3)λ的正负决定向量 λa(a≠0) 的方向，λ的大小决定 λa的模． 【练习2】已知平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，AC与BE相交 于点F，若 ，则( ) A． B． C． D． 【详解】 为边 的中点， ， ，又 ， . 故选：A. 【反思感悟】向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中 的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积 中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的 系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解 方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简 化运算． (3)向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数 运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使 用． 【练习3】已知在 中，D为AC的中点，点E满足 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， ． 故选：D 【反思感悟】用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利 用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法 则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量 的方程． 【答案】B 【详解】因为 ，则N为AB的中点， 可得 ， 注意到C，P，N三点共线，可得 ，又因为A，P，M 三点共线，则 ，则存在实数k，使得 ， 【练习4】在 中， ， ，AM与CN 交于点P，且 ，则 （    ） A． B． C． D．1 【详解】即 ，则 ， 可得 ，综上所述： ， 解得 ，可得 . 故选：B. 【练习4】在 中， ， ，AM与CN 交于点P，且 ，则 （    ） A． B． C． D．1 【反思感悟】 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ， 使得eq \o(AB,\s\up6(→))＝λeq \o(AC,\s\up6(→))(或eq \o(BC,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应 相等求解． 1．知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． (3)三点共线的常用结论． 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量． $