6.2.3 向量的数乘运算 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦向量数乘运算，涵盖定义、运算律、向量共线定理及应用。通过校园骑行路线规划、超市购物车推行等生活情境导入，衔接向量加减法旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化探究为特色，如用骑行位移抽象数乘定义，结合作图与变式训练突破难点，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。分层练习适配不同水平，助力学生构建知识体系，为教师提供可操作的教学流程与资源支持。

6.2.3 向量的数乘运算 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“平面向量及其应用”的第4课时，核心内容包括向量数乘运算的定义、运算律，向量共线定理及其应用。具体涵盖：实数与向量积的概念（长度、方向规定）；数乘运算的三条核心运算律；向量共线的充要条件；利用线性运算（加、减、数乘）解决向量表示、三点共线、直线平行等实际问题。 内容解析 向量的数乘运算是向量线性运算的重要组成部分，是向量加法运算的推广与简化，承接了向量的概念及加、减运算，为后续学习向量的坐标运算、数量积等知识奠定基础。其核心价值在于将“数”与“向量”有机结合，既保留向量的几何属性（长度、方向），又赋予代数运算的便捷性，是连接几何直观与代数推理的关键纽带。 从知识关联看，数乘运算的运算律与实数运算律具有相似性，但需注意“数乘结果仍为向量”的本质特征，避免与实数运算混淆；向量共线定理是判定三点共线、直线平行的重要工具，需明确“非零向量”的前提条件及“唯一实数λ”的几何意义。 从学习意义看，本节内容不仅是提升数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的重要载体，还在物理（力的合成与分解）、工程（线路规划）等领域有广泛应用，能帮助学生体会“数形结合” “类比迁移”的数学思想。 教学目标 1. 理解向量数乘运算的定义，明确其长度与方向的规定，能准确描述数乘向量的几何意义。 1. 熟练掌握向量数乘的三条运算律，能灵活运用运算律进行向量的线性运算（加、减、数乘混合运算）。 1. 深刻理解向量共线定理，能利用定理判断两个向量是否共线，解决三点共线、直线平行等实际问题。 1. 经历“实例探究—概念抽象—性质推导—应用拓展”的过程，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 目标解析 1. 能通过作图实例（如将非零向量伸长或缩短），说明数乘向量与原向量的长度倍数关系及方向关联，能准确表述λa=λa的含义，以及λ正负对向量方向的影响。 1. 能类比实数运算律，推导并验证向量数乘的运算律，能独立完成复杂向量表达式的化简（如合并同类向量、去括号等），运算准确率达到85%以上。 1. 能清晰阐述向量共线定理的“充要性”，明确“a≠0”的前提条件，能通过“存在唯一实数λ使b=λa”建立方程，求解参数或证明三点共线。 1. 能在具体问题情境中（如平行四边形、三角形中的向量表示），运用线性运算将未知向量转化为已知向量，体会数形结合思想的应用。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立作出λa（λ=3、λ=-3、λ=3.5等）的向量图形，并准确描述其与原向量的关系。 1. 能熟练化简向量表达式（如2(a - b) - 3(a + b)），并能说明每一步运算的依据（运算律）。 1. 能利用向量共线定理证明三点共线，或求解相关参数（如已知两向量共线求实数t的值）。 1. 能在平行四边形、三角形等几何图形中，用已知向量表示未知向量（如对角线、中线对应的向量）。 学生在学习本节内容前，已掌握向量的概念、向量的加、减运算及运算律，初步体会了“从实例抽象概念、类比实数运算研究向量运算”的学习方法，具备一定的几何直观和代数推理能力。但学生可能存在以下认知难点： 1. 容易混淆“数乘向量”与“实数乘法”，忽略数乘结果的向量属性（既有大小又有方向）。 1. 对向量共线定理中“a≠0”的前提条件理解不深刻，容易在解题中遗漏。 1. 运用线性运算将未知向量转化为已知向量时，缺乏“构造三角形或平行四边形”的意识。 基于以上分析，本节课的教学需注重“直观感知与抽象概括结合” “例题示范与变式训练结合”，通过作图、类比、辨析等方式突破难点，帮助学生构建清晰的知识体系。 基于以上分析，确定本节课的 教学重点：向量数乘运算的定义及运算律。向量共线定理及其应用（判断向量共线、证明三点共线）。教学难点：理解数乘向量的几何意义及“数乘结果为向量”的本质。向量共线定理的灵活运用（尤其是含参数问题的求解）。用线性运算解决复杂几何图形中的向量表示问题。 知识点一　向量的数乘 定义 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反 当λ＝0时，λa＝0 总结 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 知识点二　向量数乘的运算律 运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 特别情况 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb 推广形式 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b 知识点三　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． [注意]　(1)若a，b不共线，且存在实数λ，μ，使μa＝λb(或μa＋λb＝0)，则必有μ＝λ＝0. (2)两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数λ，μ，使μa＋λb＝0，则a与b共线． 导入新知1：校园骑行的路线规划问题 情境描述 周末，小明计划从学校东门（A点）出发，骑行探索校园周边路线： · 若他沿正东方向骑行，每次前进的路程对应向量a（长度为1km，方向正东），连续骑行4次后，最终的位移向量如何表示？这个向量的长度和方向与a有什么关系？ · 若他沿正西方向（与a反向）骑行，同样连续骑行4次，最终的位移向量又该如何表示？与原向量a的长度、方向有何关联？ · 若他先沿正东骑行2次，再沿正西骑行3次，总位移向量可以用a表示吗？ 请同学们： · 用向量加法法则画出前两个问题的位移向量； · 尝试用简洁的符号表示这些重复叠加的位移向量； · 思考这种“向量与实数结合”的运算有什么规律。 设计意图 1. 贴近生活：骑行是学生熟悉的日常活动，位移问题直观易懂，能快速调动学生的参与感，避免抽象概念带来的距离感； 2. 衔接旧知：通过连续同向、反向的位移叠加，自然关联向量加法运算，让学生体会“数乘是加法的简化形式”，为抽象数乘定义铺垫； 3. 引发探究：第三个问题涉及正负数乘与向量加减的混合运算，既呼应了数乘运算律的核心内容，又埋下“线性运算”的伏笔，勾起学生对“如何简化这类混合运算”的求知欲； 4. 覆盖核心：情境中包含“正数乘（同向）、负数乘（反向）、数乘与加减混合”，暗合本节课数乘定义、方向规定、运算律三大核心知识点，能统领整节课内容。 导入新知2：超市购物的购物车推行问题 情境描述 超市购物车的推行可以用向量来描述：设购物车在水平地面上被匀速推行时，每次施加的推力对应向量f（长度为5N，方向为推行方向）。 · 若小明妈妈推车时，施加的推力大小是原来的2倍，方向不变，此时的推力向量如何表示？它与原向量f的长度、方向有什么关系？ · 若小明反向拉购物车（与推行方向相反），拉力大小与原推力大小相同，对应的向量怎么表示？与f的关系是什么？ · 若小明和妈妈一起同向推车，小明的推力是1.5f，妈妈的推力是2.5f，两人的合力向量可以用f表示吗？若小明向东推，妈妈向北推，合力又该如何计算？ 请同学们： 1. 用画图的方式表示前两个问题的向量； 1. 猜想“实数与向量相乘”的长度和方向规律； 1. 思考第三个问题中“同向合力”与“反向合力” “不同向合力”的区别，体会运算的特殊性。 设计意图 1. 生活共鸣：超市购物是学生高频参与的生活场景，推力、拉力的向量模型贴近物理常识，能让学生感受到数学与实际生活、物理学科的关联； 1. 突破难点：通过“推力放大（正数乘）、反向拉力（负数乘）”的对比，直观呈现数乘向量的方向规定，帮助学生理解“λ的正负影响方向”，破解“数乘结果为向量”的认知难点； 1. 统领全篇：情境中“同向合力”对应数乘分配律，“不同向合力”呼应向量加法的平行四边形法则，既关联数乘运算律，又为后续线性运算、共线定理（同向/反向共线）埋下伏笔，让学生带着“如何统一这类向量运算”的疑问进入新课； 1. 激发兴趣：第三个问题中“不同方向推力的合力”与“同向合力”的运算差异，能引发学生对“向量运算与实数运算区别”的思考，强化“向量既有大小又有方向”的本质认知，同时激发对“复杂向量运算规律”的探究欲望。 问题1：向量加法的三角形法则和平行四边形法则各是什么？ 问题2：向量减法的几何意义是什么？ 【师生互动】师生共同回顾前面所学过的向量加法和减法的相关知识. 【设计意图】学习新知识前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备. 探究点1：向量数乘的定义 ◆探究 已知非零向量，作出和．它们的长度和方向分别是怎样的？ 如图6.2-14，．类比数的乘法，我们把记作，即．显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即|． 类似地，由图6.2-14可知，，我们把记作，即．显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即． 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作，它的长度与方向规定如下： (1)； (2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反． 由(1)可知，当时，． 由(1)(2)可知， ． 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. 2λaa≠0的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 注意点： (1)数乘向量仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 探究点2：向量数乘的运算律 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 思考 如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？ 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的． 设，为实数，那么 （1）； （2）； （3）． 特别地，我们有 ， ． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量，，以及任意实数，μ1，μ2，恒有 总结：数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 例5 计算： （1）； （2）； （3）． 解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝． 【变式】已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解. 【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得， 所以，即， 又因为是两个不共线的向量，所以， 解得 故答案为：. 探究点3：向量共线定理 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 注意点： (1)向量共线定理中规定a≠0． (2)λ的值是唯一存在的． 探究点4：向量数乘的几何应用（三点共线、向量表示） 例6 如图6.2-15，□ABCD的两条对角线相交于点，且，，用，表示，，和． 解：在□ABCD中， ，． 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 ， ， ，． 【变式】在△ABC中，点D满足，点E满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】由平面向量的线性运算法则求解． 【详解】如图1， . 故选：C 用已知向量表示未知向量的求解思路 将待表示的向量通常放在三角形或平行四边形中，利用向量的加法、减法、数乘的几何意义向已知向量转化．　 例7 如图6.2-16，已知任意两个非零向量，，试作，，．猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想． 分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断，，三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立． 解：分别作向量，，，过点，作直线(图6.2-17)．观察发现，不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想，，三点共线． 事实上，因为 ， ， 所以． 因此，，，三点共线． 【变式】已知，是两个不共线的向量. (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若和共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）通过平行，必存在实数使，列方程组求出实数的值. 【详解】（1）， 又， ，，又， A，B，D三点共线； （2）向量和共线， 存在实数使， 又，是不共线，， 解得. 例8 已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值． 解：由，不共线，易知向量为非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得，即． 由，不共线，必有． 否则，不妨设，则． 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾． 由，解得． 因此，当向量，共线时，． 【变式】已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则实数t的值为 . 【答案】2 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线定理即可求解. 【详解】向量，共线，所以存在实数，使得， 由于，是两个不共线的向量，所以 且，所以， 故答案为：2 关于向量共线定理 (1)向量共线定理中规定向量a≠0，因为如果a＝0， 当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数； 当b≠0时，b＝λ0，λ值不存在． （2）当向量a，b同向时，λ>0，当向量a，b反向时，λ<0. 1.（2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】运用平面向量线性运算性质进行求解即可. 【详解】. 故选：D 3.（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式计算正确的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】向量加法的运算律、平面向量的混合运算 【分析】根据向量加法、数乘向量的运算律化简即可. 【详解】，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确. 故选：C 4.（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】因，则， 则. 故选：A 5.（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 6.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，为边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 7.（24-25高一下·河南南阳·期末）在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 8.（24-25高一下·安徽·月考）在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、用基底表示向量 【分析】根据向量基本定理得到. 【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故， 所以. 故选：A 9.（24-25高一下·福建福州·期中）在中，为边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 10.（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】因，则， 则. 故选：A 1.（2025·浙江嘉兴·三模）在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、向量的线性运算的几何应用 【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果. 【详解】由向量的线性运算可知. 故选：C. 2.（2026高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为1，，，，则（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、平面向量的混合运算 【分析】应用平面向量的加法计算再结合模长定义计算求解. 【详解】正方形的边长为1，，，， 则. 故选：D. 3.（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 4.（25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量数乘的有关计算、向量的线性运算的几何应用 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    故答案为：D. 1．知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． (3)三点共线的常用结论． 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量． 教材第15页练习第1〜3题. 习题6.2 8.（2）（3）（4）,9题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第15页） 1．任画一向量，分别求作向量，． 1．如图 2．点在线段上，且，则，． 2．答案：，. 3．把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积： （1），； （2），； （3），； （4），． 3．解析：(1)＝2；(2) ＝；(3) ＝；(4) ＝． ◆探究 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线． 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线． 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有． 综上，我们有如下定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使． 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示． 练习（第16页） 1．判断下列各小题中的向量与是否共线： (1)，； (2)，． 1．解析：（1）因为，所以，共线．（2）因为，所以，共线． 2．化简： (1)； (2)； (3)． 2．答案：(1)； (2) ； (3)． 3．已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值． 3．解析：由，是两个不共线的向量，易证；否则，向量，共线．由与是共线向量可知，存在实数，使 ，即， ， 由，不共线，必有．否则，不妨设，则， 由两个向量共线的充要条件，知，共线，与已知矛盾． 由，解得．因此，当与共线时，． 1. 注重直观教学：通过作图、多媒体演示（如向量伸长、缩短、反向），帮助学生理解数乘的几何意义，突破“向量属性”的认知难点； 1. 强化辨析训练：针对易混淆点（如“数乘与实数乘法的区别” “共线定理的前提条件”），设计判断题、辨析题，加深学生理解； 1. 重视解题规范：在例题讲解和作业评讲中，强调向量运算的步骤规范（如去括号、合并同类向量的过程）、共线定理应用的逻辑严谨性（如“存在唯一λ”的表述）； 1. 加强知识联系：引导学生回顾向量的加、减运算，构建“向量线性运算”的知识体系，为后续坐标运算、数量积学习做好铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $