6.2.1 向量的加法运算 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.2.1.向量的 加法运算 人教A版·必修第二册· 学习目标 理解并掌握向量加法的概念. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 目录 CATALOG 01.向量加法的定义 03.题型强化训练 02.向量求和的法则 04.小结及随堂练习 6.2.1.向量的加法运算 01 向量加法的定义 导入新知1：“孙悟空取经路线的位移之谜” ——《西游记》中唐僧从东土大唐（A地）出发，先到新疆（B地），再前往天竺（C地）；而孙悟空神通广大，可直接从A地飞往C地。 1.唐僧的两次位移（A→B，B→C）与孙悟空的直接位移（A→C）效果是否相同？ 2.若将位移看作向量，这三个向量之间存在怎样的关系？ 导入新知2：“两人共提水桶的受力分析” 两个同学分别用与水平方向成30°角的力F₁、F₂共同提起一桶水，水桶保持静止。 1.单个力F₁或F₂能否单独维持水桶静止？ 2.这两个力的共同作用效果与哪个力的效果相同？这个“等效力”与F₁、F₂之间有什么联系？ 学习新知 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷．那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用． 下面先学习向量的加法． 学习新知 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成．能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ A C B 图6.2-1 学习新知 A B C 图6.2-2 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． 首尾相连 起→终 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则 02 向量求和的法则 6.2.1.向量的加法运算 学习新知 我们再来看力的合成问题． O A B F1 F2 图6.2-3 O A B C 图6.2-4 起点重合 同起点的对角线 学习新知 O A B C 图6.2-4 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 思考：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法的法则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量减法的法则、向量加法的法则 学习新知 【例1】 图6.2-5 图6.2-6 (1) (2) O A B B A O C 学习新知 学习新知 学习新知 学习新知 点评：在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量. 学习新知 (1) (2) A A B C B C 学习新知 O A B （向量三角不等式） 学习新知 (1) (2) 图6.2-7 学习新知 A B C D A B C D 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量与几何最值、向量加法法则的几何应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法法则的几何应用 学习新知 例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h． (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)． A B C D 图6.2-9 学习新知 (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)． A B C D 图6.2-9 因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°． 学习新知 学习新知 点评：用向量的加法解决实际问题，一般步骤如下： (1)由题意作出相对应的几何图形，用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加法运算； (3)利用直角三角形的知识解决问题. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法法则的几何应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量加法法则的几何应用 学习新知 加法 连接 指向 三角形法则 首尾相连 起→终 平行四边形法则 起点重合 同起点的对角线 03 题型强化训练 6.2.1.向量的加法运算 能力提升 题型一：向量加法的三角形法则 能力提升 题型二：向量加法的平行四边形法则 能力提升 题型二：向量加法的平行四边形法则 能力提升 题型三：共线向量的加法与向量加法的运算律 能力提升 题型三：共线向量的加法与向量加法的运算律 能力提升 题型四：向量加法的实际应用 能力提升 能力提升 题型四：向量加法的实际应用 04 小结及随堂练习 6.2.1.向量的加法运算 课堂总结1 课堂总结2 课堂总结3 作业 教材第10页练习第1,3,5题. 6.2.1.向量的加法运算 练习（第10页） (1) (1) (2) (3) (4) O A B O A C B 练习（第10页） (1) (2) (3) (4) (2) B O A O A B C 练习（第10页） (1) (2) (3) (4) (3) O A B O A B C 练习（第10页） (1) (2) (3) (4) (4) O A B O A B C 练习（第10页） 练习（第10页） A B C D E 练习（第10页） A B C D P × √ × 练习（第10页） A B C D E 练习（第10页） A B C D E 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. （   ） A． B． C． D． 【详解】 故选：B 2.化简 等于（   ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：C. 3. （    ） A．0 B． C． D． 【详解】. 故选：B. 4.如图，在平行四边形ABCD中， 为对角线的交点，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：A 5.在平面四边形 中， （   ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：D. 6.已知平面四边形ABCD，则 ＋ ＋ ＝（   ） A． B． C． D． 【详解】在平面四边形ABCD中， ＋， 所以＋＋， 故选：A 【变式】如图，已知向量 、 ，用向量加法的三角形法则作出向量 ． (1)   (2)   (3)   【解析】(1)解：作 ， ， ，则 即为 所求作的向量.    【变式】如图，已知向量 、 ，用向量加法的三角形法则作出向量 ． (1)   (2)   (3)   【解析】 (2)解：作 ， ， ，则 即为 所求作的向量.    【变式】如图，已知向量 、 ，用向量加法的三角形法则作出向量 ． (1)   (2)   (3)   【解析】(3)解：作 ， ， ，则 即为 所求作的向量.        【变式】如图，已知向量 、 ，用向量加法的三角形法则作出向量 ． (1)   (2)   (3)   7.在 中， ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，， 又，， ，即， 故选：C. 8.已知 ， 是两个非零向量，则｜ ＋ ｜与｜ ｜＋｜ ｜的大小关系是（    ） A．｜ ＋ ｜ ｜ ｜＋｜ ｜ B．｜ ＋ ｜ ｜ ｜＋｜ ｜ C．｜ ＋ ｜ ｜ ｜＋｜ ｜ D．｜ ＋ ｜ ｜ ｜＋｜ ｜ 【详解】因，是两个非零向量，则， 当且仅当与同向共线时等号成立，故D正确. 故选：D. 【变式】某人在静水中游泳的速度为 ，河水自西向东的流速为1m/s， 此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 【分析】如图所示，河水速度为 ， ，人的速度为 ， ， 根据向量加法得到答案. 【详解】如图所示：河水速度为 ， ，人的 速度为 ， ，则 ， ， ， . 故实际前进方向为南偏东 ，速度为 . 【答案】实际前进方向为南偏东 ，速度为 . 9.已知平面向量 、 、 ， ， ， 的面积为 ，则 的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】如图，作平行四边形，设的交点为，点到直线的距离为，因，，则四边形为菱形，且，因的面积为，则，得，则点在与直线平行的直线上，且两直线之间的距离为，则的最小值为. 故选：C 10.航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是 的卫星进行三次平移（单位：千米）：第一次沿向量 补偿平移；第二次沿向量 修正平移；第三次沿向量 校准平移．若卫星最终精准到达坐标是 的同步轨道点，则实数 （   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】因为点沿向量后，坐标为； 点沿向量平移后，坐标为； 点向量平移后，坐标为． 又因为经三次平移后，坐标为，所以，解得. 故选：C. 【练习1】如图 是平行四边形，则在向量 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在平行四边形 中, ,所以 EMBED Equation.DSMT4 .故选:D. 【思维升华】(1)用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一 个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”. (2)向量求和的多边形法则：eq \o(A1A2,\s\up6(→))＋eq \o(A2A3,\s\up6(→))＋eq \o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up6(→)). 特别地，当An和A1重合时，eq \o(A1A2,\s\up6(→))＋eq \o(A2A3,\s\up6(→))＋eq \o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1A1＝0. 【练习2】如图,在平行四边形 中, ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意， ， 所以 . 故选：A 【反思感悟】向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形 法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 【练习3】下列四个等式： ① ；  ② ；  ③ ；  ④ ． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的， ③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为 向量，故④错误， 故答案为：①②③ 【反思感悟】向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当 利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结 合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加 法的结合律调整向量相加的顺序． 【练习4】如图，小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处，此 时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向 前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向. 【解析】设 表示小船垂直于河岸行驶的速度， 表示水流的速度，如图： 连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC 的平行线，两条直线交于点D，则四边形ACBD 为平行四边形，所以 就是小船在静水中的速度. 在 中, , , , ， ∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h,方向与水流方向 的夹角为 ,其中 , . 【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用， 数形结合，属于中档题. 【反思感悟】应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 将有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答 原问题． 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a,规定a＋0＝0＋a＝a. 2.向量求和的法则 (1)向量加法的三角形法则.向量加法的三角形法则要“首尾相接”. (2)向量加法的平行四边形法则.应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”. 3.向量三角不等式． |a＋b|与|a|,|b|之间的关系 一般地,我们有|a＋b|≤|a|＋|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立. 4.向量加法的运算律． (加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 5.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形 法则要注意把向量移到共同起点． 6.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.使用向量加法的三 角形法则时，要特别注意“首尾顺次相接”.和向量的特征是从第一个向量 的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向 量，一定要写成0，而不应写成0. 7.(1)要注意向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终 点字母的排列顺序. 　 $