精品解析：广东广州市第八十九中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试卷

2026届高三1月月考数学试卷 命题：江娜平 审核：欧阳圣 命题时间：2026.01.19 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算求解. 【详解】. 故选：D 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得出集合A，利用交集的性质即可求出. 【详解】解方程可得 .故选B. 【点睛】本题考查解一元二次方程和交集的性质. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 设函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在单调递增 D. 在单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的定义域排除A、B，再结合对数型函数的单调性判断其他选项. 【详解】函数定义域为，故排除A、B， 对于C，D，由复合函数的单调性知在上单调递增， 且在上单调递增， 则在单调递增，C正确，D错误； 故选：C. 5. 若正三棱台的体积为，的面积为，，则侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的概念，将正三棱台补成正三棱锥，结合棱台的体积公式，计算棱锥的有关量，再结合线面角的概念，明确侧棱与底面所成的角，利用三角形的边角关系求其正切值. 【详解】如图1，设正三棱台三侧棱的延长线交于点，则三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，则. 又，则 ，则棱台体积，解得， 则. 设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心， 由平面，得为侧棱与底面所成的角， 所以. 故选：D 6. 已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线的性质求解即可. 【详解】抛物线的准线为：，过，作准线的垂线，垂足为，，的中点为， 过作准线的垂线，垂足为， 因为，是该抛物线上的两点，故，， 所以，又为梯形的中位线，所以， 故到轴的距离为， 故选：B. 7. 已知数列的前n项和为，，，则（ ） A. 414 B. 406 C. 403 D. 393 【答案】B 【解析】 【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案. 【详解】由，两式相减得，即. 再由，两式相减得，由，得， 故为以14为首项，8为公差的等差数列，故， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解题的关键，属于较难题目. 8. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角基本关系式化简条件得，再由正弦定理得，若，利用余弦定理结合已知判断矛盾，所以，即可得解. 【详解】由得， 由正弦定理（为外接圆半径）得，， 因为，所以， 若，由余弦定理得，，所以为锐角， 则，即，由于，，则， 所以，矛盾. 故，即，所以，即， 又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号）， 所以的最小值为4. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的分位数是23 B. 二项式的展开式中各项系数的和为1，则 C. 已知相互独立，且，则 D. 若已知数据的方差为3，则数据的方差为27 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据将数据从小到大排列后按百分位数的定义即可判断A选项；结合赋值法对二项式进行赋值即可求解B选项；根据独立事件的概率公式和条件概率的公式即可判断C选项；根据样本数据的方差公式即可求解D选项. 【详解】对于A，将个数据从小到大排列为，由，所以分位数是，所以A错误； 对于B，因为二项式的展开式中各项系数的和为1，所以令，则，解得，所以B正确； 对于C，因为相互独立，所以，所以； 又，所以，所以C正确； 对于D，设，记数据的方差为，数据的方差为，则，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 的最小值为 C. 若，则的周长为 D. 双曲线上存在不同两点关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：根据离心率计算公式计算即可；选项B：利用向量数量积的坐标表示将化为二次函数，结合求解即可；选项C：根据勾股定理和完全平方公式求出，进而求出，再求周长即可；选项D：结合对称点及点差法求出直线方程，与双曲线方程联立判断是否有实数解，进而确定是否存在点. 【详解】双曲线：，，，，，. 选项A，，故A正确； 选项B，设，则，则， ， 因为，所以，所以，当或，等号成立，故B错误； 选项C，由，可得， 又，所以， 故， 则， 所以的周长为，故C正确； 选项D，设不同两点，关于点对称，则，， 因为点在双曲线上，所以，两式相减并化简得， 则，即，此时直线：，即. 代入双曲线方程整理得，此时， 这与、是双曲线上不同的两点矛盾，故D错误. 故选：AC. 11. 设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性结合平移得出A，应用复合函数求导再应用赋值法计算判断B，D，根据对称性得出周期再计算函数值判断C； 【详解】由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确； 又，则. 因为，则，所以， 令，得，则，所以，即，则关于直线对称， 两边求导得，函数的图象关于点对称，B选项错误； 因为关于点对称，关于直线对称，即，， 所以，则，所以的周期； 所以，，所以， 所以，C选项正确； 又函数关于直线对称，所以函数在左右两侧单调性相反， 且，令，得，所以，，D选项正确， 故选:ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】由得，，所以，解得. 故答案为：1. 13. 已知函数，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，并发现，即可得解. 【详解】由题意得， 则， 所以，故. 故答案为：2 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由导函数，可得，通过化简得 ，则，可求出数列的通项公式与前项和为，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质求出即可. 【详解】因为，则，则， 由，所以， 所以， 即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，， 因为对任意的恒成立，又且单调递增， 所以对任意的恒成立，令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又，且，故对于都有, 因此， 所以，所以的最大值为． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. （1）求，的通项公式； （2）将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可求出的通项公式，利用基本量法列出方程组可求的通项公式； （2）依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. 【小问2详解】 数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，，如图： 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且，则有，， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. （2） ； （3） ； 【解析】 【分析】（1）直接根据三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得； （2）由（1）知平面，所以将线面距离转化为到平面的距离，再用向量的方法计算可得； （3）直接用向量的方法计算平面与平面的夹角可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图： 有，，，，，，， 则有，，， （1）知平面，故点到平面的距离即为到平面的距离. 设平面的法向量为，则有， 取，则有，，即， 又，则有， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 设平面的法向量为，则有， 取，则有，，故，平面的法向量， 所以， 故平面与平面的夹角余弦值为. 17. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且. （1）求； （2）若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望； （3）经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望. 附：若，则， ，. 【答案】（1）56 （2） 0 1 2 3 . （3） 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186，故，所以. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 期望. 【小问3详解】 因为，，所以，， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.8186， 故，所以. 18. 已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，使得恒为定值 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合离心率求解的值即可得解； （2）法一：先求出直线、的方程，设角平分线上任意一点为，则，化简求解； 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），由于，则，再由，即可得解； 法三：设角平分线与轴交于点，根据可解得，即可得解； （3）设直线方程为，联立方程组，利用根于系数的关系化简即可得解. 【小问1详解】 设椭圆方程为（）， 因为椭圆经过点，所以， 又离心率，，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：，，，则直线方程为， 直线方程为， 设角平分线上任意一点为，则， 得或， 因为斜率为正，所以直线方程为. 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点）， 由于，则， 故，由于是锐角， 则，，所以， 直线的斜率为， 故直线的方程为. 法三：设角平分线与轴交于点， 则，即， 故，得， 所以，所以，故直线的方程为. 【小问3详解】 设直线方程为， 联立得， 设，，则，， 则 ， 故当时，使得恒为定值. 19. 已知函数的最小值为0，其中． （1）求 的值； （2）若对任意的，有成立，求实数 的最小值； （3）证明：． 【答案】（1） ； （2）； （3）由（2）知：令得：， 令得： 当时，(1)； 当时，， ， ， 将(1)(2)(3),......,(n)式相加得： 不等式左边： ； 不等式右边： ； 所以. 【解析】 【分析】（1）对进行求导，已知最小值为0，可得极小值也为0，得 ，从而求出 的值； （2）由题意任意的，有成立，可以令先通过，大致确定 取值范围，再利用分类讨论法求出的最值； （3）由（2）知:令得:令得: ，累加即可的证. 【小问1详解】 由函数，则其定义域为，且. 由，得:，又由 ，得:， 在单调递减，在单调递增， ； 【小问2详解】 设， 则在恒成立等价于， 注意到，又， ①当时，由得. 在单减，单增，这与式矛盾； ②当时，在恒成立，符合， 的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于含参函数的恒成立问题的处理，常采用两种方法：①参变分离求最值；②将左右两边移到一边重新构造一个含参函数，讨论含参函数的单调性，确定哪一个点处取得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三1月月考数学试卷 命题：江娜平 审核：欧阳圣 命题时间：2026.01.19 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在单调递增 D. 在单调递减 5. 若正三棱台的体积为，的面积为，，则侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知数列的前n项和为，，，则（ ） A. 414 B. 406 C. 403 D. 393 8. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的分位数是23 B. 二项式的展开式中各项系数的和为1，则 C. 已知相互独立，且，则 D. 若已知数据的方差为3，则数据的方差为27 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 的最小值为 C. 若，则的周长为 D. 双曲线上存在不同两点关于点对称 11. 设定义在R上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 13. 已知函数，若，则______. 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. （1）求，的通项公式； （2）将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记，分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且. （1）求； （2）若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望； （3）经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望. 附：若，则， ，. 18. 已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数的最小值为0，其中． （1）求 的值； （2）若对任意的，有成立，求实数 的最小值； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $