精品解析：2025-2026学年高一上学期1月第3次周测数学试题

2025-2026学年高一上学期1月第3次周测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（ ） A. 3 B. C. －3 D. －4 3. 已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的有个 ①函数的零点是（0，）. ② ，，则A=B. ③是同一函数. ④是非奇非偶函数. A. B. C. D. 5. 函数的定义域为 A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）为得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 B. 先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变） 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 11. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. C. 是周期为的周期函数 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆心角为，半径为的扇形的面积为______. 13. 等比数列的各项为正数，若，则__________. 14. 已知函数，则函数的单调递增区间为_____；当时，的最小值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值. 18. 如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）已知的角平分线交于，且，求． 19. 已知函数，. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，求函数在上的最小值的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期1月第3次周测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】，，，，. 故选：A. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（ ） A. 3 B. C. －3 D. －4 【答案】C 【解析】 【分析】通过题目所给条件求出 ，然后通过诱导公式对进行化简，最后弦化切得到答案 【详解】由已知可得，， 则原式． 故选：C 3. 已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形得到，在上的单调递减，结合零点存在性定理得到，从而得到或，故，其他不正确. 【详解】， 其为上的单调递减函数， 其中，， 故只有一个零点， 又，， 又，所以， 或， 若，则， 若，则， 故，D正确，C错误；或，AB错误. 故选：D 4. 下列命题正确的有个 ①函数的零点是（0，）. ② ，，则A=B. ③是同一函数. ④是非奇非偶函数. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理，即可判断①错误；②中的集合A与集合B都表示奇数集，所以②正确；③中两个函数定义域不同，所以是不同函数；根据奇函数定义可判断④不正确． 【详解】①,而为单调递增函数，所以在（0，）上没有零点 ② 表示奇数集合，表示奇数集合，所以A=B ③定义域为x≠0，定义域为x>0 ，所以两个函数的定义域不同，不是同一函数 ④定义域为-1<x<1 ,因为 所以 即，所以为奇函数 正确个数只有第②个 所以选B 【点睛】本题考查了集合的表示方法，函数零点存在的判断，函数定义域及奇偶性的应用，属于中档题． 5. 函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域可知，化简即可求出. 【详解】因为， 所以 故函数的定义域为 ，选D. 【点睛】本题主要考查了正切型函数的定义域，属于中档题. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可. 【详解】， ，， 所以. 故选：A. 7. 若函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移得到，根据已知建立等式，根据解出的值. 【详解】由的图象向右平移个单位，可得函数的图象， 因， 依题意可得， 解得， 因，故. 故选：C. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由函数在区间上单调递减，， 所以当时，，当时，， 又函数是定义域为的偶函数， 当时，，当时，， 由，当时， 所以，解得， 当时，所以，解得， 所以的解集为， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）为得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 B. 先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的知识来确定正确答案. 【详解】如果是先伸缩再平移， 那么需先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，再向右平移个单位长度，即得； 如果是先平移再伸缩， 需先将向右平移的单位长度， 得到，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）， 即得． 故选：BC 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 11. 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. C. 是周期为的周期函数 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可. 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，， 所以一个周期内， 所以，故D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆心角为，半径为的扇形的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先将角度转化为弧度制，再根据面积公式计算即可. 【详解】因为，， 所以扇形面积. 故答案为： 13. 等比数列的各项为正数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及下标和性质计算可得. 【详解】因为， 所以，又， 所以，则，所以. 故答案为： 14. 已知函数，则函数的单调递增区间为_____；当时，的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题可得再结合正弦型函数单调区间的整体代换即可对空求解；结合正弦型函数的值域求解可对空求解. 【详解】空：由题可得函数， 则，时函数单调递增，解得，， 所以函数的单调递增区间为； 空：当时，，所以的最小值为. 故答案为：；1. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； （2）． 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值； （2）由已知等式变形得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 因为，，所以，且，则， 又因为，所以， 当且仅当时，即当时，取最小值为. 【小问2详解】 由，得. 所以， 因为，，所以，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 故的最小值为. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】（1），，. （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数性质确定最小正周期与对称轴方程即可； （2）利用整体法求解的取值范围，结合正弦型函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 由， 得函数的最小正周期， 令，，得，， ∴函数图象的对称轴方程是，. 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴， 故函数的最大值为1，最小值为. 18. 如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）已知的角平分线交于，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理计算结合角的范围求角； （2）应用正弦定理结合面积公式计算求解； （3）应用正弦定理结合角平分线性质，两角差的正弦公式计算求值. 【小问1详解】 由题得， 由正弦定理得， ，，又， ，． 【小问2详解】 ，，， 又，，， ，，，，． 所以的面积为． 【小问3详解】 设，则，因为，所以． 在中，由正弦定理可得． 在中，由正弦定理可得．所以， 所以，． 所以 ． 19. 已知函数，. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，求函数在上的最小值的表达式. 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式. 【小问1详解】 当时，， 由可得，解得， 故当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 由，可得， 当时，解原不等式可得或； 当时，解不等式可得； 当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【小问3详解】 的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上单调递增，此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，此时. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $