精品解析：2025-2026学年高一上学期1月第4次周测数学试题

2025-2026学年高一上学期1月第4次周测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】由，，则， 又，则. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定书写即可得结论. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为时，， 但时，或，， 所以“是的充分不必要条件， 故选：A 4. 2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏．据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上，有种半衰期在万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数，且．当时，；当时，．则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（    ）（参考数据：） A. 33年 B. 43年 C. 53年 D. 63年 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知两组值求出，得到关系式，再代入求解. 【详解】由题意得，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得，所以， 故选：B. 5. 若是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理及对数的运算法则即可得解. 【详解】因为是方程的两个实根， 故由韦达定理可知，， 即，得. 故选：C. 6. 第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由及诱导公式将条件化为，求得，再结合角所在的象限及同角三角函数关系求得. 【详解】由及诱导公式可得，， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：B. 7. 函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的图象，利用特值排除AB；利用单调函数的定义确定在上单调性判断CD. 【详解】观察图象知，函数图象过原点， 对于AB，，，不符合题意，排除AB； 对于C，，任取，， 则，即， 因此函数在上单调递增，C不符合题意，排除C，D符合. 故选：D 8. 如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系设，应用数量积的坐标运算得出，最后应用两角差的正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是5 C. 若，且，则的最小值是4 D. 若，且，则的最小值是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABC：直接利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为有意义，故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是2，故A正确； 对于选项B：因为，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是5，故B正确； 对于选项C：若，且， 因为，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是8，故C错误； 对于选项D：若，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是4，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知定义在上的函数满足对任意的，，均有，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是减函数 D. 的解集是（0，1） 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B正确；令且，证得，结合为奇函数和，可判定C不正确；分和，求得不等式的解集，可判定D正确. 【详解】由函数满足， 对于A，令时，可得，可得，所以A正确； 对于B，令时，，可得， 所以函数为奇函数，所以B正确； 对于C，由，可得 令且，可得， 所以， 因为当时，，可得，即 所以函数在上为单调递增函数， 又因为为奇函数，所以在上为单调递增函数，且， 但函数在上为单调递增函数，所以C不正确； 对于D，由不等式， 当时，，则满足，解得； 当时，，则满足，此时解集为空集， 所以不等式的解集为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 设函数，已知在单调递增，下列结论正确的是（ ） A. 的值可能为1 B. C. 若在有且仅有1个零点 D. 若在单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先根据单调性求的取值范围，判断A；再代入，结合的范围，即可判断B；根据，求的取值范围，再求的范围，即可判断C；根据的取值，结合的范围，取特殊值，即可判断选项. 【详解】设，， 当时，时，， 因为函数在单调递增，而单调递减， 所以需落在的减区间， 不可能是函数的减区间，故舍去； 当时，当时，， 由题意可知，， 所以，解得，故A正确； ，由，则， 此时，故B正确； ，由，则， 因为，所以，此时， 当时，，， 此时只有当时，，故C正确； 由以上可知，，当时，， 当时，，此时单调递减，单调递增， 所以不成立，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求，并整体代入求的范围. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式化简结合弦化切计算求解. 【详解】由题意有. 故答案为：. 13. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数定义域，正切函数图象性质求解即可. 【详解】由题意，即， 由正切函数图像性质可得， 则定义域为， 故答案为：. 14. 已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据题意函数的零点即方程的根，作出函数的图象，数形结合求解；方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，求出曲线过原点的切线斜率，数形结合求解. 【详解】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是， 当时，，则，得，故，即， 同理，可得， 所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点， 当时，，则，设切点为， 所以曲线过原点的切线斜率，解得， 所以曲线过原点的切线斜率， 要使得与的图象有三个不同的交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：1，. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，且. （1）求向量； （2）若，求向量的夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果； （2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值. 【小问1详解】 因为，且， 所以，. 解得， 所以； 【小问2详解】 设向量的夹角的大小为，. 由题意可得，，， 所以，得. 16. 已知函数，图象的一个对称中心为，一条对称轴方程为. （1）求； （2）若，求满足条件的值的和. 【答案】（1） （2）792 【解析】 【分析】（1）根据整体代换法求对称轴、对称中心建立关于和的方程组，解之即可； （2）由（1），求得，由，得，结合等差数列的定义和前项求和公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，消去解得， 令，则，因为， 则，解得， 而，故，所以. 【小问2详解】 由（1）知，代入，得， 所以，因为， 故，解得，而，故， 则值是首项为，公差为6的等差数列的前16项，设这16项的和为， 则. 17. “中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． （1）求的解析式； （2）若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 【答案】（1） （2）6小时 【解析】 【分析】（1）由题意设减少的人数为，根据题意求出，写出各段函数的解析式即可得到答案； （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性求分段函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意设减少的人数为， 由题意得，其中为常数， 因为发车时间间隔为2小时时载客量为560人，所以， 解得， 所以 【小问2详解】 由得， 即， ①当时， ，当且仅当等号成立， ②当时， 在上单调递减，当时Q取最大值， 综上，当发车时间间隔为小时，该时段这条线路每小时的净收益最大，最大为120千元. 18. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 【答案】（1）、是；不是，理由如下： ， 所以是“好玩函数”． ， 所以是“好玩函数”． 由，则或，而， 当或时无意义， 所以不是“好玩函数”． （2）12 （3）证明：因为， 在上单调递增，在上单调递增． 又， 由零点存在性定理知，， 所以在上有且只有一个零点． 又 所以是“好玩函数”，， 所以， 故也是的零点， 所以在和各有一个零点， 即在定义域内有且只有两个零点． 【解析】 【分析】（1）结合函数新定义逐个判断即可； （2）由（1）结合，得到，再结合基本不等式即可求解； （3）确定在上单调递增，在上单调递增．根据零点存在性定理可得函数在上有且只有一个零点，再结合可判断在存在一个零点，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以在上单调递增， 由（1）知，，所以， 又，所以， 所以． ， 当且仅当即时等号成立． 所以，的最小值为12． 【小问3详解】 略 19. 已知为上的奇函数. （1）求的值； （2）试判断的单调性（不用证明），若恒成立，求的取值范围； （3）若在上有两个根，求的取值范围. 【答案】（1） （2）为上的单调递增函数， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用求出，再验证即可； （2）首先判断为上的单调递增函数，再移项转化得，最后分离参数求解最值即可； （3）利用换元法，再分离参数得有解，再利用对勾函数的性质求解右边值域即可. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，则，即，. 此时，则，则为奇函数. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为为上的增函数，且恒成立，故为上的单调递增函数， 因此， 又为上的奇函数，所以，且为上的单调递增函数， 所以，. 令，由是双勾函数性质知，在上单调递增， 所以的最小值为，所以，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 由在上有解，，， 所以有解， 令， 则根据双勾函数性质知，在上单调递减，上单调递增， 要使与的图象有2个交点，则， 即，解得， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期1月第4次周测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏．据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上，有种半衰期在万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数，且．当时，；当时，．则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（    ）（参考数据：） A. 33年 B. 43年 C. 53年 D. 63年 5. 若是方程的两个实根，则ab的值等于（ ） A. 2 B. C. 100 D. 6. 第二象限角满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是5 C. 若，且，则的最小值是4 D. 若，且，则的最小值是4 10. 已知定义在上的函数满足对任意的，，均有，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是减函数 D. 的解集是（0，1） 11. 设函数，已知在单调递增，下列结论正确的是（ ） A. 的值可能为1 B. C. 若在有且仅有1个零点 D. 若在单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值为______． 13. 函数的定义域为_____. 14. 已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，且. （1）求向量； （2）若，求向量的夹角的正弦值. 16. 已知函数，图象的一个对称中心为，一条对称轴方程为. （1）求； （2）若，求满足条件的值的和. 17. “中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． （1）求的解析式； （2）若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 18. 若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知． （1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由； （2）若，求的最小值； （3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点． 19. 已知为上的奇函数. （1）求的值； （2）试判断的单调性（不用证明），若恒成立，求的取值范围； （3）若在上有两个根，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $