第二部分 河北备考热点专题解读与分析 2026年河北省中考数学专题复习课件

目录 专题二 函数实际应用问题 类型1 一次函数实际应用问题 类型2 二次函数实际应用问题 类型3 函数实际应用综合问题 类型 返回目录 1 一次函数实际应用问题 专题二 函数实际应用问题 1.我国新能源汽车快速健康发展 ,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kw·h ,行驶了240km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(kw·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (1)求 y与 x之间的关系式 ; 解:(1) 设 y = kx + b(0 ≤x≤240) ,代入(0 ,80) , (150 ,50) , 得 ∴ y = x+80(0≤x≤240). 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)令 x=240 ,则 y =32 , × 100% =32% . 答:该车的剩余电量占“满电量”的 32%. (2)已知这辆车的“ 满电量”为 100 kw·h , 求王师傅驾车从 B市这一高速公路出口驶出时 ,该车的剩余电量占“ 满电量 ” 的百分之多少. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 2.(启光原创)共享单车通过租借代替拥有，解决了城市居民“最后一公里”的出行难题，不仅符合绿色出行的理念，还促进了公共交通的连通性．如图①是甲、乙两种品牌共享单车的车费y甲(元)，y乙(元)与骑行路程x(km)之间的函数关系图象，图②是小明来到某市后骑共享单车从A地出发到B，C两地办理业务的路线示意图． (1)当x＞2时，求y甲关于x的函数解析式． 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 解：(1)当x＞2时， 设y甲关于x的函数解析式为y甲＝kx＋b. 由于函数的图象经过点(2，3)和(4，4)， 将坐标(2，3)和(4，4)分别代入y甲＝kx＋b， 得 ∴当x＞2时， y甲关于x的函数解析式为y甲＝x＋2. 返回目录 (2)①若小明选择乙品牌共享单车到B地办业务，求所需的车费． ②若小明到C地办业务，选择哪种共享单车节省车费？节省多少元？ 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)①设y乙＝mx，由于图象过点(4，4)， ∴4＝4m，解得m＝1，∴y乙＝x. 若小明选择乙品牌共享单车到B地办业务，则x＝3.5， ∴y乙＝x＝3.5，即所需的车费为3.5元． ②若小明到C地办业务，则x＝5.4， ∴y甲＝2(1)×5.4＋2＝4.7, y乙＝x＝5.4. ∵4.7＜5.4， ∴小明到C地办业务，选甲品牌共享单车节省车费， 节省的费用为5.4－4.7＝0.7(元)． 返回目录 类型 2 二次函数实际应用问题 3. (2023·河北23题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题. 如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6 ,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线 C1 :y =a(x-3)2 +2的一部分,淇淇恰在点 B(0 ,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y = x2 + x +c+1的一部分. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (1)写出 C1 的最高点坐标 ,并求 a ,c的值 ; 解:(1)∵抛物线 C1 :y=a(x-3)2 +2 , ∴ C1 的最高点坐标为(3 ,2) . ∵点 A(6 ,1)在抛物线 C1 :y=a(x-3)2 +2 上 , ∴ 1 =a(6-3)2 +2 ,解得 a= , ∴抛物线 C1 的解析式为y = (x-3)2 +2 , 令 x=0 ,则 c= (0 -3)2 +2 = 1. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)若嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上 ,且到点A水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包 ,求符合条件的 n 的整数值. (2)∵到点 A水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包 , ∴点 A的坐标范围为(5 ,1) ~ (7 ,1) , 当经过(5 , 1) 时 , 1 = ×52 + ×5 + 1 +1 ,解得 n = ; 当经过(7 , 1) 时 , 1 = ×72 + ×7 + 1 +1 ,解得 n = , ∴ , ∴符合条件的 n 的整数值为 4 和 5. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 解：(1)∵点A(0，2)，B(6，0.5)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上， ∴ ∴y＝－x2＋x＋2. 抛物线的顶点坐标为 . 返回目录 4．(2025·河北样卷23题)如图，斜坡AC上种有若干树木，底部有一喷水管BC，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点A(0，2)，点B(6，0.5)．已知喷水管BC及所有树木都与OC垂直，抛物线的解析式为y＝－x2＋bx＋c. (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)∵点B(6，0.5)，BC⊥OC，点C在x轴上， ∴点C的坐标为(6，0)． ∴直线AC的解析式为y＝－x＋2. ∵点M在直线AC上，∴点M的坐标可设为（m,-m+2） . ∵MA＝NA，MN⊥x轴，点A(0，2)，∴点N的坐标可以表示为（m,m+2）. ∵点N在抛物线上， ∴m＋2＝－m2 ＋m＋2，解得m1＝，m2＝0(舍去)． ∴点M的坐标为(,). 返回目录 (2)若抛物线恰好过小树MN的树顶N，点M在斜坡AC上，且点A到M, N两点的距离相等，求M点坐标． 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (3)①令d＝(－x2＋x＋2)-(－x＋2)，化简得d＝－x2＋x. ∵MN＝DE＝1.25，∴当d＝1.25时，－x2＋x＝1.25， 解得x1＝ , x2＝ . ∵MN在DE左侧，∴xM＝ ，xD＝ . ∴DM＝ . ② 返回目录 (3)若DE，MN为两棵等高小树(MN在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合)，抛物线恰好经过E，N两点． ①当MN＝1.25时，求DM长； ②直接写出M横坐标m的取值范围． 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 类型 3 函数实际应用综合问题 5. (2024·河北24题)某公司为提高员工的专业能力,定期对员工进行技能测试.考虑多种因素影响,需将测试的原始成绩x(分)换算为报告成绩 y(分).已知原始成绩满分150分,报告成绩满分100分,换算规则如下: (其中p是小于150的常数,是原始成绩的合格分数线,80是报告成绩的合格分数线)公司规定报告成绩为80分及80分以上(即原始成绩为p及p以上)为合格. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (1) 甲、乙的原始成绩分别为 95 分和 130 分 ,若 p=100 ,求甲、乙的报告成绩. (2)丙、丁的报告成绩分别为92 分和64 分 , 若丙的原始成绩比丁的原始成绩高 40 分 ,请推算 p 的值. 解：(1)当p＝100时，甲的报告成绩为y＝ ＝76(分)， 乙的报告成绩为y＝ ＋80＝92(分)． (2)设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为(x1－40)分． 由题意，得y＝ ＜80，y＝ ＋80≥80， ∴ 解得 符合题意．综上所述，p＝125. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (3)下表是该公司100 名员工某次测试的原始成绩统计表: ①直接写出这100 名员工原始成绩的中位数 ; ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率. (3)①130 ②95% 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 6.(2019 ·河北24 题)长为 300 m 的春游队伍以 (m/s)的速度向东行进. 如图①和图② , 当队伍排尾行进到位置O时 ,在排尾处的甲有一物品要送到排头 ,送到后立即返回排尾 , 甲的往返速度均为 (m/s) , 当甲返回排尾后 ,他及队伍均停止行进. 设排尾从位置O开始行进的时间为 t(s) ,排头与O的距离为 S头 (m) . (1)当 =2 时 ,解答: ①求 S头 与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围) ; 解:(1) ①排尾从位置O开始行进的时间为 t(s) , 则排头行进的时间也为 t(s) , : S头 =2t +300. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 ②当甲赶到排头位置时 ,求 S头的值 ;在甲从排头返回到排尾过程中 ,设甲与位置O的距离为 S甲 (m) ,求 S甲 与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围) . ​ ②甲从排尾赶到排头的时间为 300 ÷ = 300 ÷ = 300 ÷ 2 = 150(s) ,此时 S头= 2t + 300 = 600 (m). S甲= S头- S甲回= 600-4(t - 150) = -4t + 1200. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)设甲这次往返队伍的总时间为 T(s) ,求 T与 的函数关系式( 不写 的取值范围) ,并写出队伍在此过程中行进的路程. ​ (2)T= t追及 + t返回= 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为 因此 T与 的函数关系式为 T= 队伍在此过程中行进的路程为 400 m. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 $目录 专题四 圆的动态与变换问题 类型1 动点、动圆问题 类型2 旋转问题 类型3 折叠问题 返回目录 类型 １ 动点、动圆问题 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 1.(2025·河北21题)如图①、图②，正方形ABCD的边长为5.扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为 . (1)如图①，当AE＝3时，求∠EMF的度数； 解：(1)∵正方形ABCD的边长为5， ∴AD＝CD＝5. 当AE＝3时，ED＝DF＝2. ∵OE＝OF＝2， ∴ED＝DF＝OE＝OF， ∴四边形EOFD是菱形． ∵∠EDF＝90°， ∴四边形EOFD是正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EMF＝∠EOF＝45°. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)如图②，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； (3)当∠EOF＝150°时，求 的长． （2） （3） 返回目录 2.(2024 · 河北 25 题) 已知⨀O的半径为 3 ,弦 MN=2. △ABC中， , AB= 3 ,BC= 3 . 在平面上 , 先将△ABC和 ⨀O按图①位置摆放(点 B与点 N重合 ,点 A在⨀O上 ,点 C在⨀O内) , 随后移动△ABC, 使点 B在弦 MN上移动 ,点 A始终在⨀O上随之移动. 设 BN= x. (1)当点 B与点 N重合时 ,求劣弧 的长. (2)当 OA//MN时 ,如图② ,求点 B到 OA的距离 ,并求此时x 的值. (1) (2)2 x=3 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (3)设点O到 BC的距离为 d. ①当点 A在劣弧 上 ,且过点 A的切线与AC垂直时,求 d 的值 ; ②直接写出 d 的最小值. (3)①3- ② 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 类型 2 旋转问题 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 3．(启光原创)如图①、图②，在▱ABCD中，连接BD，以DF为直径的半圆O从DF与AD共线开始绕点D逆时针旋转，直到DF与DC第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接DK，当DF，DK与线段AB有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知AB＝DF＝8，∠BAD＝45°，AD＝BD. (1)求∠FDK的度数； 解：(1)如图，连接FK. ∵点K为半圆O的中点， ∴ ＝ ， ∴DK＝FK. ∵DF为直径， ∴∠DKF＝90°， ∴在Rt△DFK中，∠FDK＝∠DFK＝45°. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （2)当DK与线段AB有交点时，设AQ＝x，请用含x的代数式表示BP； (3)当DF与DB重合时，求半圆O与DC所围成的弓形的面积； (4)在半圆旋转的过程中，如果半圆O与▱ABCD的边(或边所在的直线)相切，请直接写出DP的长．(参考数据：sin 25°≈－1，sin 70°≈) （2） (3)半圆O与DC所围成的弓形的面积为4π－8. (4)DP的长为或4或4 . 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 4．(2025·玉田县校级三模)如图①～③，AB是半圆O的直径，且AB＝6，MN是半圆O的弦(点M，N可分别与点A，B重合)，将半圆O沿直线MN翻折． (1)当点N与点B重合，且∠ABM＝30°时，如图①. ①求劣弧 的长． ②当半圆O沿直线MN翻折后，劣弧 是否经过圆心O______ (填“是”或“否”)． 解：(1)①如图，连接OM. ∵AB＝6，∠ABM＝30°， ∴OA＝OB＝3，∠AOM＝2∠ABM＝60°， ∴劣弧 的长为＝=π. 是 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)当MN∥AB时，如图②，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，折叠后的劣弧 恰好经过OP的中点Q，连接NQ，求tan∠MNQ的值． (2)tan∠MNQ＝. (3)若折叠后的劣弧 与直径AB切于点C，且点C是半径OB的中点，如图③，求折痕MN的长． (3)MN＝. (4)若折叠后的劣弧 始终与直径AB相切，设MN＝d，直接写出d的取值范围． (4)3 ≤d≤3 . $目录 专题一 动态函数图象问题 (8年9考：2025.24；2024.26；2023.25；2022.23,25；2021.25；2020.24； 2019.26；2018.24） 类型1 一次函数图象动态问题 类型2 二次函数图象动态问题 类型3 函数综合动态问题 类型 返回目录 1 一次函数图象动态问题 专题一 动态函数图象问题 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b （k≠0），把点A(-8,19)，B(6,5)代入得 解得 ∴直线AB的解析式为y=-x+11. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 1.（2022·河北25题）如图，平面直角坐标系中， 线段AB的端点为A(-8,19)，B(6,5) . (1)求AB所在直线的解析式. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)某同学设计了一个动画: 在函数 y = m x + n (m≠0，y≥0)中，分别输入 m和n 的值 ,便得到射线 CD，其中 C(c,0). 当 c=2时，会从 C处弹出一个光点 P，并沿 CD飞行；当 c≠2 时，只发出射线而无光点弹出. ①若有光点P弹出，试推算 m，n 应满足的数量关系； (2)①n=-2m，理由如下： 若有光点P弹出，则c=2， ∴点C（2，0）. 把点 C（2，0）代入y=mx+n（m≠0，y≥0），得2m+n=0， ∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为n=-2m. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线段 AB就会发光，求此时整数m 的个数. (2)②∵n=-2m，∴y=mx+n=mx-2m. 由 解得 ∵-8≤x≤6， ∴当x=-7 时，m=-2，击中线段AB上的整点（-7，18）；当x=-1时，m=-4，击中线段AB上的整点（-1，12）；当x=1时，m=-10，击中线段AB上的整点（1，10）； 当x=3时，m=8，击中线段AB上的整点（3，8）；当x=5时，m=2，击中线段AB上的整点（5，6）. 综上，整数m的个数为5. 返回目录 2.（2020·河北24题）表格中的两组对应值满足一次函数 y=kx+b，现画出 了它的图象为直线 l ，如图. 某同学为观察 k，b对图象的影响，将上面函数 中的k与b交换位置后得另 一个一次函数，设其图象为直线 . 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 x -1 0 y -2 1 返回目录 (1)求直线l的解析式； 解：(1)∵（-1，-2），（0，1）在函数y=kx+b的图象上，代入，得 解得 ∴直线l的解析式为y＝3x＋1. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 x -1 0 y -2 1 返回目录 (2)请在图上画出直线l′(不要求列表计算)，并求直线l′被直线l和y轴所截线段的长； 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 x -1 0 y -2 1 解：(2)依题意得直线 的解析式为y=x+3，∴ 的图象如图所示. 联立方程组 解得 ∴l与 的交点为（1，4）. 又∵ 与y轴的交点为（0，3）， ∴ 被直线l和y轴所截得的线段长为 . 返回目录 (3)设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值． (3)a的值为 . 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 x -1 0 y -2 1 返回目录 3.（2025·石家庄一模）如图，在平面直角坐标系中，有一动点 P（-a,a+3）和两定点A（-1，-1），B（1，-3）. （1）求直线 AB 的解析式. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b. 把A（-1，-1），B（1，-3）代入，得 解得 ∴直线AB的解析式为y=-x-2. 返回目录 （2）当a=2时，判断点P是否在直线AB上. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （2）当a=2时，点P的坐标为（2,1）. 由（1）知直线AB的解析式为y=-x-2， 当x=2 时，y=-4≠1， ∴当a=-2时，点P不在直线AB上. 返回目录 （3）嘉嘉说：当a取两个不同的值时，得到两个点P1，P2，则直线P1P2与直线AB平行.嘉嘉说得对吗？请针对他的说法进行说理. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （3）嘉嘉说得对.说理如下： ∵点 P 的坐标为（-a,a+3）， ∴点P在直线y=-x+3上运动. ∵直线y=-x+3与直线y=-x-2平行， ∴直线P1P2与直线 AB 平行. 返回目录 （4）直接写出△PAB 的面积. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （4）△PAB 的面积为5. 返回目录 4.（2024·河北26题）如图 ,抛物线 C1：y = ax2 -2x过点(4,0)，顶点为 Q. 抛物线 C2：y = -(x-t)2 +t2-2(其中t为常数，且t>2)，顶点为P. (1)直接写出a的值和点Q的坐标. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 类型 2 二次函数图象动态问题 返回目录 (2)嘉嘉说:无论 t 为何值，将 C1的顶点 Q 向左平移 2 个单位长度后一定落在C2 上. 淇淇说:无论 t 为何值，C2 总经过一个定点. 请选择其中一人的说法进行说理. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （2）嘉嘉：把Q（2,-2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0,-2）， 当x=0时，C2： ， ∴（0，-2）在C2上， ∴嘉嘉说法正确. 淇淇：C2： ， 当x=0时，y=-2， ∴C2： ，过定点（0，-2）， ∴淇淇说法正确. 返回目录 (3)当 t =4 时， ①求直线 PQ的解析式； 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （3）①当t=4时，C2： ， ∴顶点P（4，6）. 而Q（2，-2）， 设直线PQ的解析式为y=ex+f， ∴ 解得 ∴直线PQ的解析式为y=4x-10. 返回目录 ②作直线 l//PQ, 当 l 与 C2 的交点到 x 轴的距离恰为 6 时，求 l 与 x 轴交点的横坐标. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 ② 如图， （等于6时，两直线重合，不符合题意）， ∴x= ， ∴交点J（ ，-6），交点K（ ，-6）. ∵直线l//PQ， 当直线l过点J（ ，-6）时， 设直线l的解析式为y=4x+b， ∴ ，解得 ， ∴直线l的解析式为y=4x+ . 返回目录 ②作直线 l//PQ, 当 l 与 C2 的交点到 x 轴的距离恰为 6 时，求 l 与 x 轴交点的横坐标. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 当y=4x+ =0时，x= ， 此时直线l与x轴交点的横坐标为 . 同理，当直线l过点K（ ，-6）时，直线l的解析式为y=4x- . 当y=4x- =0时，x= ， 此时直线l与x轴交点的横坐标为 . 综上，l 与 x 轴交点的横坐标为 . 返回目录 (4)设 C1与 C2 的交点 A，B的横坐标分别为 xA，xB，且 xA<xB，点 M 在 C1 上，横坐标为 m(2≤m≤xB) . 点 N在 C2 上，横坐标为 n(xA≤n≤t)，若点 M 是到直线 PQ 的距离最大的点，最大距离为 d，点 N到直线 PQ的距离恰好也为 d，直接用含 t和 m的式子表示 n. (4)n=2+t-m 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 5.如图，抛物线P1：y=x2+4x+m与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点B，顶点为C，过点B作BD//x轴，交抛物线P1于点D，抛物线P2：y=x2-4x+2的顶点为E，与y轴交于点 F，连接 CF,CE. （1）直接写出 BD 的长. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (1)BD 的长为4. 返回目录 当a=-1时，解答以下问题. （2）求抛物线P1的函数表达式. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （2）抛物线P1：y=x2 +4x +m 与x轴交于点A（a，0）. 将点 A（-1，0）代入，得0=1-4+m，解得m=3， ∴抛物线P1的函数表达式为y=x2 +4x +3. 返回目录 （3）嘉嘉说：P2可由P1先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到.请对这一说法说明理由. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （3）由（2）知，抛物线P1：y=x2 +4x +3 =（x+2）2-1， 即顶点C 的坐标为（-2，-1）. 抛物线P2：y=x2-4x+2=（x-2）2-2， 即顶点 E 的坐标为（2，-2）. ∵点C先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度可到点E，且这两条抛物线开口大小、方向均相同， ∴P2可由P1先向右平移4个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到. 返回目录 （4）问题拓展： ①若将直线CF沿CE平移，使其经过点E且与抛物线P2 交于点G，求点G的坐标. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (4)①设CF 所在直线的函数表达式为y=k1x +b1. 将点C（-2,-1），F（0,2）分别代入，得 解得 ∴CF 所在直线的函数表达式为y= x+2， 则可设平移后过点E的直线的函数表达式为y= x+b. 将点E（2,-2）代入，得-2=3+b，解得b=-5， ∴平移后过点E的直线的函数表达式为y= x-5. 联立 解得 或 ∴点G的坐标为 . 返回目录 ②在y轴上点B 的上方有一点Q，过点Q且与CE平行的直线分别交抛物线P2，P1于点M，N，点M，N分别在y轴的两侧.若MN=CE，请直接写出此时点Q的坐标. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 ②点Q的坐标为 . 返回目录 类型 3 函数综合动态问题 6.（2025·河北24题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P.抛物线y=a(x-3)2+d（a<0）经过点C .两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2. （1）求b，c的值及点P的坐标. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 解：（1）∵抛物线 y =-x2+bx+c 经过点 A（0，3），B（6，3），顶点为P， ∴ 解得 ∴y =-x2+6x+3 =-（x-3）2+12， ∴P（3，12）. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 （2）点D在L1上，到x轴的距离为 .判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由. （2）不能.理由： ∵点 D在L1上，到x轴的距离为 ，则yD= ， ∴当y= 时， ，解得 ， ∴ . ∵抛物线y=a(x-3)2+d（a<0）经过点C ，对称轴为直线x=3， ∴L2经过点C 和 ，∴L2不能经过点D. 返回目录 （3）直线AE：y=kx+n（k>0）交L1于点E，点 M 在线段AE上， 且点 M 的横坐标是点 E 横坐标的一半. ①若点E与点P重合，点 M 恰好落在L2上，求 a的值； 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (3)①∵P（3，12）， ∴当E，P重合时，E（3，12）. ∵ M 是AE的中点，A（0，3）， ∴M . ∵点M 恰好落在L2上，L2经过点C ， ∴ 解得 . 返回目录 ②若点 M 为直线 AE 与L2的唯一公共点，请直接写出 k 的值. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 ②k= . 返回目录 7.（2019·河北26题节选）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 解：(1)∵直线l与y轴交与点A，∴A(0，b). ∵直线a与y轴交与点B，∴B(0，－b). ∵AB＝8，∴2b＝8，∴b＝4, ∴抛物线L的解析式为y＝－x2＋4x， 对称轴为直线x＝2， 当x＝2时，y＝2－4＝－2， ∴L的对称轴与a的交点坐标为(2，－2). (1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； (2)∵抛物线L的解析式为y＝－x2＋bx=2+， ∴点C的坐标为(，)． ∵点C在l下方， ∴点C与l的距离为b－＝－(b－2)2＋1≤1， ∴点C与l距离的最大值为1. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2 的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离. (3)由题意可得，y1＝b，y2＝x0－b，y3＝－x02＋bx0， ∵y3是y1，y2的平均数， ∴y3＝，即－x02＋bx0＝， 化简得x0(2x0－2b＋1)＝0，解得x0＝0或x0＝b－.∵x0≠0，∴x0＝b－ 对于L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)，解得x1＝0，x2＝b. ∵b＞0，∴D点坐标为(b，0). ∴点(x0，0)与点D间的距离为b－(b－)＝. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 6. 在平面直角坐标系中，抛物线 y =-x2 +bx+c与 x轴交于 A(-1,0) ，B(3,0) 两点，与y轴交于点C，作直线 BC. (1)求抛物线的解析式. 解:(1) ∵抛物线 y =-x2 +bx+c与 x轴交于 A(-1,0) ，B(3,0) 两点 , ∴抛物线的解析式为 y =-x2 +2x+3. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)如图①，点 P是线段 BC上方的抛物线上一动点，过点 P作 PQ⊥BC，垂足为 Q，请问线段 PQ是否存在最大值? 若存在，请求出最大值及此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由. (2)过点 P作 PN⊥AB于点 N，交 BC于点 M. ∵B(3,0)，C(0,3) , ∴直线 BC的解析式为y = - x +3. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 ∵PQ⊥BC, ∴ △PQM是等腰直角三角形. ∴PM= PQ, ∴PM的值最大时，PQ的值最大 , 设 P(m , -m2 +2m+3) ,则 M(m , -m+3) , ∴ PM= -m2 +2m +3 - (-m+3) = -m2 +3m. ∵-1<0 , ∴当 m= 时，PM 的值最大，最大值为 ， ∴ PQ的最大值 = . 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (3)如图②，点 M是直线 BC上一动点，过点 M作线段 MN∥OC( 点 N在直线 BC下方) ，已知 MN=2，若线段 MN与抛物线有交点，请直接写出点 M 的横坐标 xM的取值范围. (3) 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 $目录 专题三 静态圆问题 (8年5考：2023.24；2022.24；2021.24；2020.22；2018.25) 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 1．(2025·河北样卷20题)日晷(如图①)是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图②，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点．点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M.已知CD＝ cm，FM＝30 cm，ME＝20 cm. (1)求⊙O的半径； (2)求图②中阴影部分的面积． 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (1)求⊙O的半径； 解：∵OE⊥AB，AB∥CD， ∴OE⊥CD. ∵CD＝ cm， ∴DF＝  cm. 如图，连接OD，设⊙O的半径OD＝r， 则OF＝OM－FM＝r－30. 在Rt△ODF中，r2＝( )2＋(r－30)2， 解得r＝60，即⊙O的半径为60 cm. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)求图②中阴影部分的面积． 解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝∠OBE＝60°. 在Rt△BOE中，OE＝60＋20＝80(cm)，sin∠OBE＝ ， ∴ . ∴S△OAB＝ AB·OE＝ . 而S扇形POQ＝ ＝600π， ∴S阴影＝ －600π(cm2)． 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 2．(启光原创)如图，等腰三角形ACD内接于⊙O，CA＝CD，BD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CF交AB的延长线于点F，连接BC. (1)求证：CF⊥AB. (2)若BC＝BA，BF＝3， ①求∠CBF的度数； ②求阴影部分的面积． 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (1)求证：CF⊥AB. (1)证明：如图，连接CO并延长，交AD于点H， ∴∠OCF＝90°. ∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°. ∵CA＝CD， ∴ ， ∴CH⊥AD，∴∠CHA＝90°， ∴四边形AHCF为矩形， ∴∠CFB＝90°，即CF⊥AB. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)若BC＝BA，BF＝3， ①求∠CBF的度数； 解：①∵BC＝BA，BD＝BD，∠BCD＝∠BAD＝90°， ∴Rt△BCD≌Rt△BAD，∴CD＝AD. 又∵CA＝CD，∴△ACD是等边三角形． ∵CH⊥AD，∴∠DCH＝30°， ∴∠BCO＝∠BCD－∠DCH＝60°. 由(1)得，四边形AHCF为矩形，∴CH∥AF，∴∠CBF＝60°. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)若BC＝BA，BF＝3， ②求阴影部分的面积． 解：∵∠CBF＝60°，BF＝3，∴BC＝6，FC＝ . ∵∠BCO＝60°，OB＝OC，∴△BOC 为等边三角形，∴BC＝CO＝6，∠BOC＝60°， ∴S阴＝S梯形BOCF－S扇形BOC ＝ . $目录 专题六 三角形 、四边形实践探究题 类型1 动点问题 类型2 旋转平移问题 类型3 轴对称问题 返回目录 题型六 三角形、四边形实践探究题 类型 １ 动点问题 1.(启光原创)如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别是BC，AB边上的点(不含端点)，且BP＝AQ，作QD∥CA，QD＝BQ，连接AD. (1)求证：AD＝PQ. 证明：∵QD∥CA，∴∠AQD＝∠BAC. 而在等边△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠AQD＝∠ABC. 又AQ＝BP，DQ＝BQ， ∴△ADQ≌△PQB(SAS)，∴AD＝PQ. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)若△ABC的边长为6. ①当PQ⊥BC时，求AD的长； ②当点P从PQ⊥BC的位置，运动到BC的中点时，直接写出点D运动路径的长． 解：①设BP＝x，则BQ＝6－AQ＝6－x. 当PQ⊥BC时，∵∠ABC＝60°，∴BQ＝2BP， ∴6－x＝2x，解得x＝2， ∴BP＝2，BQ＝2BP＝4， ∴AD＝PQ＝＝2 . ②. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 2．如图① , 在 Rt△ABC中 , C= 90° , AC=20 cm ,BC= 15 cm , 现有动点 P从点 A出发 ,沿AC向点 C方向运动 , 动点 Q从点C出发 ,沿线段CB向点B方向运动. 如果点 P 的速度是4 cm/s ,点Q的速度是 2 cm/s ,它们同时出发 ,当有一点到达所在线段的端点时 ,就停止运动. 设运动的时间为 t s. (1) 当t=3时, P, Q 两点之间的距离是多少? 解：根据题意得AP＝4t cm，CP＝AC－AP＝(20－4t)cm，CQ＝2t cm， 则当t＝3时，CP＝8 cm，CQ＝6 cm. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴PQ＝＝10 cm， 即当t＝3时，P，Q两点之间的距离是10 cm. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2) 当t为多少时, Rt△CPQ的面积 S是△ABC面积的? 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm， ∴S△ABC＝AC·BC＝150(cm2)． ∵S△CPQ＝CP·CQ＝×(20－4t)×2t＝(－4t2＋20t)(cm2)，且△CPQ的面积是△ABC面积的， ∴－4t2＋20t＝150×，解得t1＝t2＝， ∴当t＝时，△CPQ的面积是△ABC面积的. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (3) 如图② , CD⊥AB, 当 t 为多少时 , 以点 C,P,Q为顶点的三角形与△ADC相似? 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm， ∴AB＝＝25 cm. ∵CD⊥AB，∴CD＝＝12 cm，∴AD＝＝16 cm. ∵∠PCQ＝∠ADC＝90°， ∴当＝时，△PCQ∽△ADC，此时＝，解得t＝3； 当＝时，△PCQ∽△CDA，此时＝，解得t＝. 综上，当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似． 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 3．(2022·河北26题)如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝ 90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H.将△PQM与 该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在 PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4. (1)求证：△PQM≌△CHD. 旋转平移问题 类型 2 证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠DAB＝90°. ∵DH⊥BC，∴∠DHB＝∠DHC＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB＝DH＝2. 在Rt△PQM中，∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4，∴QM＝PM＝2，∴QM＝DH. 在△PQM和△CHD中，∴△PQM≌△CHD(AAS)． 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)△PQM从图①的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图②)， 当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图③)，当边PM旋转50° 时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积． 解：如图，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积＋扇形DQ′Q″的面积，设QQ′交AM于点T. ∵PQ＝PM·cos 30°＝6，QT⊥AM， ∴PT＝PQ·cos 30°＝3 ，QT＝3. 又由平移可得AD＝QQ′＝3，∴点T与点Q′重合， ∴PQ扫过的面积＝3×3 ＋＝9. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 ②如图②，点K在BH上，且BK＝9－4.若△PQM右移的速度为 每秒1个单位长度，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM 区域(含边界)内的时长． 解：如图，连接DK. 在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°， ∴CH＝DH＝6. 当DM运动到与DH重合时，∵BH＝AD＝3，BK＝9－4， ∴KH＝3－(9－4)＝4－6，∴CK＝4－6＋6＝4. ∵CD＝2DH＝4，∴CD＝CK，∴∠CKD＝×(180°－30°)＝75°，∴∠KDH＝15°. ∵∠QDK＝30°－15°＝15°，∴点K在△PQM区域内的时长为＋＝(4－3)s. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 ③如图③，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长(用含d的式子表示)． 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 4.(2021·河北26题)在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接，把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α(α>0°)到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置． 论证：如图①，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D. 在△AOD和△BOC中， ∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴AO＝BO. ∵AO＋BO＝AB＝20，∴AO＝10. 返回目录 发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？ 解：如图①，当A，C，B三点共线时，△ADC是等边三角形， 此时∠ADC＝60°； 如图②，当A，C，B三点不共线时， 取AB的中点O，连接OD，有AD＝AO＝OD＝BO＝BC＝CD＝10， 即四边形BCDO为菱形，从而CD∥AB， ∴∠ADC＝180°－60°＝120°. 综上，∠ADC的度数为60°或120°. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离． 解：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D，C，B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图. 由已知可得AD＝10，BD＝BC＋CD＝20，BM＝CM＋BC＝15， 设AQ＝x，则BQ＝20－x， ∵AD2－AQ2＝DQ2＝BD2－BQ2，∴100－x2＝400－(20－x)2，解得x＝，∴AQ＝，∴DQ＝＝. ∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴＝，即＝，∴MN＝， ∴当点M与点B距离最大时，点M到AB的距离为. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 拓展：①如图②，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长(用含d的式子表示)； 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 ②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值． 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 5.(2023·河北26题)如图①和图②,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=2, CD= 12,DA=6,A=90°,点M在AD边上,且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到 的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P,设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0),连接 . (1)若点P在AB上,求证: =AP. 轴对称问题 类型 3 证明: ∵将线段 MA绕点 M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA‘ , ∴ =AM. ∵ 的平分线 MP所在直线交折线 AB-BC 于点 P, ∴ . 又∵PM=PM,∴ ≌△AMP(SAS) ,∴ =AP. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)如图② ,连接 BD. ①求CBD的度数 ,并直接写出当 n =180 时 ,x 的值 ; 解:∵AB=8 ,DA=6 , A=90°, ∴ BD= = 10. ∵BC=2 ,CD= 12 , ∴BC2 +BD2 =（2）2+102 =144 ,CD2 =122 =144 , ∴ BC2 +BD2 =CD2 ,∴ CBD=90°. 当 n = 180 时 ,x = 13. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 ②若点P到 BD的距离为2 ,求 的值. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 解：如图，当点P在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP. 在Rt△ABD中，sin∠DBA＝＝＝， ∴在Rt△BPQ中，BP＝＝＝ ∴AP＝AB－BP＝8－＝， ∴tan∠A′MP＝tan∠AMP＝＝＝. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 如图，当点P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥AB交AB 的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H. ∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°， ∴∠QPB＝90°－∠PBQ＝∠DBA，∴△PQB∽△BAD， ∴＝＝，即＝＝，∴PQ＝，QB＝，∴AQ＝AB＋QB＝. ∵PQ⊥AB，DA⊥AB，∴PQ∥AD，∴△HPQ∽△HMA，∴＝，∴＝，解得HQ＝，∴tan∠A′MP＝tan∠AMP＝tan∠QPH＝＝＝. 综上所述，tan∠A′MP的值为或. 返回目录 (3)当 0 <x≤8 时 ,请直接写出点 A到直线 AB的距离(用含x 的式子表示) . 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 6．(启光原创)如图① ,一矩形纸片 ABCD,AB=6 ,BC=8 ,点 P是边 AD上的动点(不与端点重合) ,把△ABP沿BP折叠 ,点 A落在点E处 ,连接EC,设ABP= α ,AP= m. (1)求DPE的度数(用含 α 的式子表示) . 解:∵ △ABP≌△EBP, ∴BAP=BEP=90°, ABP= EBP. ∵ DPE+ APE= 180°, ABE+ APE= 180°, ∴ DPE= ABE=2ABP=2α . 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (2)当 P,E,C三点在一条直线上时 ,如图②所示 , 求证: △BEC≌△CDP, 并求此时m的值. 证明:由题意可知 , BE= BA, BAP=∠BEP=90°, ∴BE= CD, ∠BEC= ∠D=90°. 又∵AD∥BC,∴∠BCE= ∠CPD,∴△BEC≌△CDP. 此时 CP=BC=8 ,在△CDP中 ,PD== =2, ∴m=AD-PD=8 -2 . 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (3)当△BEC的面积为4时 ,求m的值. 解:∵ △BEC的面积为 4 ,BC=8 , ∴点 E到 BC的距离为 1. 有以下两种情况: 当点E在矩形 ABCD内时 ,如图,过点 E作BC的垂线分别交 BC,AD于点 F,G. ∵BEP= BFE= EGP=90°, ∴ BEF= EPG, ∴△BEF∽△EPG, ∴ = ,即= ,∴ PG= ,∴AG= . 在△BEF中 , 由勾股定理得 BF= = . 易得 AG=BF,∴ = , ∴m =. 当点E在矩形 ABCD外时 , 同理可得 ,m =. 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 返回目录 (4)连接 DE,若△CDE是等腰三角形 ,直接写出符合条件的 m 值的个数和其中一种情况下 m 的值. 解：4个 ,m =2或 9 -3或 ( m 的值写出其中 1 个即可). 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 $目录 专题五 辅助圆（隐形圆）问题 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 1．(2025·河北23题节选)如图，矩形ABCD的边AB＝1，BC＝4，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH. (1)当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值； (2)当∠BCH最大时，直接写出CH的长． 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (1)当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值； 解：(1)如图①，过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OJ⊥BC于点J. ∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点， ∴点O是AC的中点，∴BJ＝CJ＝ BC＝2，AP＝CQ. ∵∠PQC＝45°， ∴△PQK是等腰直角三角形， ∴PK＝QK＝AB＝1， ∴ . 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠APQ＝∠CQP＝45°. 在△AOP和△COQ中， ∴△AOP≌△COQ，∴PO＝QO＝ ，OJ＝QJ＝ ，∴CQ＝CJ＋QJ＝ ， ∴BQ＝BC－CQ＝ . ∵∠BQH＝∠PQC＝45°，BH⊥PQ于点H，∴∠BHQ＝90°，∴△BHQ是等腰直角三角形， ∴HG＝GQ＝ BQ＝ ，∴CG＝CQ＋GQ＝ ， ∴tan∠BCH＝ . 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)当∠BCH最大时，直接写出CH的长． 解：CH＝ . 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 2．(2025·河北样卷24题)如图①和图②，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝20，BC＝15，DF＝15，DE＝12.点D，E分别在AB，AC边上滑动，点F在DE的右侧，当DF与AC相交时，交点记为P. (1)EF的长为 ，EP的最小值为 ． 9 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (2)如图①，当DP＝12时，请证明AP＝AD. 证明：∵AB＝20，BC＝15，DE＝12，EF＝9， ∴ . 又有∠B＝∠DEF＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF，∴∠A＝∠EDF. 又∵∠APD＝∠DPE，∴△ADP∽△DEP， ∴ . 当DP＝12时，DP＝DE， ∴AP＝AD. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (3)如图②， ①尺规作图：过点A作直线DF的垂线AN，垂足为点N(保留作图痕迹，不写作图过程)； 解：①尺规作图如图①，AN即为所求． 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 ②在①的条件下，若AM垂直平分DE，求AN的长． 解：∵AM垂直平分DE，∴AE＝AD，∠AME＝∠AMD＝90°. 又∵AN⊥DF，∴∠MAN＋∠MDN＝180°. ∴∠MAN＝∠EDF＝∠BAC.∴∠EAM＝∠DAN. 又∵AE＝AD，∠AME＝∠AND＝90°，∴△AME≌△AND.∴AN＝ AM. 如图②，延长ED交AN延长线于点G， 在Rt△DNG中，DN＝DM＝6，cos∠GDN＝ ， ∴DG＝ . ∴MG＝DM＋DG＝ . 在Rt△AMG中，tan∠MAG＝tan∠BAC＝ ，MG＝ ， ∴AM＝18.∴AN＝18. 返回目录 第二部分 河北备考热点专题解读与分析 (4)直接写出点A与点F的最大距离． 解： . $