3. 万有引力理论的成就（举一反三讲义）物理人教版必修第二册

本讲义聚焦万有引力定律的应用，系统梳理计算天体质量（重力加速度法、环绕法）、密度，分析天体环绕参量（线速度、周期与轨道半径关系），阐释万有引力与重力的关系（纬度、高度影响），构建从规律到应用的学习支架。 资料含思维导图辅助知识整合，典例与变式题结合嫦娥六号、天问二号等情境，培养科学推理与模型建构能力。方法技巧与巩固训练助力课中教学效率提升，课后可帮助学生查漏补缺，体现科学思维与科学态度。

第3节 万有引力定律的成就 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 1 【知识梳理】 2 知识点1：计算天体的质量 2 知识点2：计算天体的密度 3 知识点3：天体环绕问题....................................................................................................................................4知识点4：万有引力与重力的关系.....................................................................................................................6 【方法技巧】 8 方法技巧 “g”的桥梁作用 8 方法技巧 解决天体问题的思路 8 【巩固训练】 8 【学习目标】 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2.了解“称量”地球质量，计算天体质量的基本思路。 3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。 重点： 1. 掌握计算天体质量和密度的方法； 2. 能计算卫星绕中心天体做圆周运动的物理量； 难点： 1. 掌握计算天体质量和密度的方法； 2. 掌握地球表面万有引力与重力的关系，并能解决实际问题； 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：计算天体的质量 1．重力加速度法测天体质量 不考虑天体的自转，在天体表面，物体所受重力近似等于天体对物体的万有引力，即 （其中为物体质量，为天体表面重力加速度，为引力常量，为天体质量，为天体自身半径），中心天体的质量= 。 2．天体环绕法测天体质量 质量为的行星（或卫星）围绕质量为的中心天体做匀速圆周运动，已知环绕轨道半径为，环绕周期为，万有引力提供行星（或卫星）所需的向心力，即 ，可得 注意“R”、“r”的区别 上述两种方法中，“R”是中心天体的半径、“r”是环绕行星（或卫星）的轨道半径，只有中心天体表面的环绕卫星时，r=R。 【典例1】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【变式1】据《甘石星经》记载，我国古代天文学家石申，早在2000多年前就对木星的运行进行了精确观测和记录。若已知木星公转轨道半径，周期，木星星体半径，木星表面重力加速度，万有引力常量。则太阳质量（　 　） A． B． C． D． 【变式2】一智能机器人登陆一行星，机器人将一小石块在高度为h处静止释放，经时间为t，小石块落在地面上，已知万有引力常量为G，此行星的半径为R，那么这个行星的质量为（　　） A． B． C． D． 【变式3】行星外围有一圈厚度为d的发光带（发光的物质），简化为如图甲所示的模型，R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带中的物质绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的倒数之间关系如图乙所示，已知图线斜率为k，则该行星的质量为（　　） A． B． C． D．无法求解 知识点2：计算天体的密度 若中心天体半径为R，则天体的体积V= (1) 重力加速度法：天体质量 = ，则天体密度 = (2)天体环绕法：天体质量 = ，则天体密度 = ，当卫星环绕天体表面运动时， ，此时 【典例2】嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【变式1】我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（    ） A． B． C． D． 【变式2】卫星在不同轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（          ） A． B． C． D． 【变式3】2024年1月18日，由大连理工大学研制的“大连1号—连理卫星”从天舟六号货运飞船成功释放入轨，并成功回传高清图像。若“连理卫星”的轨道可视为圆周，已知引力常量和“连理卫星”距地面的高度，再结合下列信息能计算出地球平均密度的是（    ） A．地球对“连理卫星”的万有引力和地球半径 B．“连理卫星”绕地球运动的周期和线速度 C．“连理卫星”绕地球运动的周期和角速度 D．地球两极处的重力加速度和地球自转周期 知识点3：天体环绕问题 1.环绕天体的运行参量 行星（或卫星）绕中心天体的运动可看作为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。 ，= ；轨道半径越大，向心加速度越 ； ， ，轨道半径越大，环绕速度越 ； ， ，轨道半径越大，环绕角速度越 ； ， ，轨道半径越大，环绕周期越 ； 2.忽略自转，中心天体表面物体的重力近似等于物体所受的万有引力 ， (该公式通常被称为黄金代换式) ， ， ， ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关； ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢． 【典例3】两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其质量之比为1:2，轨道半径之比为1:2，则（　　） A．它们的线速度大小之比为2:1 B．它们的运行周期之比为1:2 C．它们的向心加速度大小之比为1:4 D．它们所受向心力大小之比为2:1 【变式1】由于人造地球卫星在运行中受到大气阻力的影响，其轨道半径逐渐减小，相应的线速度和周期的变化情况分别是（　　） A．线速度变大，周期变小 B．线速度不变，周期变大 C．线速度变小，周期变小 D．线速度变小，周期变大 【变式2】2025年4月25日1时17分，在执行任务的神舟十九号航天员乘组打开“家门”，欢迎神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站。神舟二十号航天员乘组入驻后，空间站仍在原来的轨道（视为近地圆轨道）上运行，则（　　） A．空间站的运行周期变长 B．空间站的速度大小不变 C．新入驻空间站的航天员所受合外力为零 D．新入驻空间站的航天员所受合外力比静止在地面上时小 【变式3】中国北斗导航卫星系统已经开启了全球服务。其中某颗卫星在距离地面高度为h的圆轨道上运行。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星的运行周期为（　　） A． B． C． D． 知识点4：万有引力与重力的关系 1.重力是万有引力的一个分力 如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F= 。 除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴，为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果，就是物体的重力mg。 2.重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋ ，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝ 。 (2)球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝ 。 (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg G，重力的方向偏离地心。 3．重力、重力加速度与高度的关系 (1)由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近，地球表面的重力约等于地球的万有引力，即 ＝G，所以地球表面的重力加速度g＝ 。 (2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝ ，所以h高度的重力加速度g＝ 。 【典例4】由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若地球是质量均匀分布的球体，测得两极附近的重力加速度为，赤道附近的重力加速度为。在赤道地面上，一个质量为m的物体随地球自转。则物体（　　） A．受到的万有引力大小等于 B．对地面的压力大小等于 C．受到的向心力大小等于 D．受到的合力大小等于 【变式2】假设未来通过某种技术，在不改变地球半径的情况下，将地球的质量缓慢增大为原来的2倍，且地球仍可视为均匀球体。若忽略地球自转的影响，同一宇航员在地球表面的重力（　　） A．减小为原来的 B．减小为原来的 C．增大为原来的2倍 D．增大为原来的4倍 【变式3】假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别。已知地球表面的重力加速度在赤道的大小为g，在两极的大小为kg。则地球表面上北纬37°处的重力加速度大小为（　　） A．g B． C．g D．g 【方法技巧】 方法技巧1 “g”的桥梁作用 在地球上运用的运动学规律和动力学规律在其他星球上仍适用。若已知某星球表面物体的平抛运动、自由落体运动的规律可求得星球表面的重力加速度g，在星球忽略自传的前提下，由万有引力提供重力求得该星球的质量、半径等信息。 方法技巧2 解决天体问题的思路 ①建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 ②应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 ③利用——“”代换“”，简化及求解。 【巩固训练】 1．北京时间2023年7月27日4时02分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，采取一箭三星方式，成功将遥感三十六号卫星发射升空。假设某颗质量为m的人造地球卫星绕地球沿圆轨道运行，其轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则地球的质量为（     ） A． B． C． D． 2.“火卫一”围绕火星做匀速圆周运动，运动的周期为7.66小时，轨道距离火星表面的高度与火星半径之比为1.766，引力常量N·m2/kg2，则火星的平均密度约为（    ） A．kg/m3 B．kg/m3 C．kg/m3 D．kg/m3 3.已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，将地球视为质量均匀分布的球体，忽略地球自转的影响，则地球质量等于（　　） A． B． C． D． 4.某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（    ） A． B． C． D． 5.地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．地球的质量可表示为 B．地球的半径可表示为 C．太阳与地球的质量之比为 D．太阳与地球的质量之比为 6.北斗卫星导航系统是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，其中一颗静止轨道卫星的运行轨道如图中圆形虚线所示，其对地张角为。已知地球半径为R、自转周期为T、表面重力加速度为g，万有引力常量为G。则地球的平均密度为（    ） A． B． C． D． 7.2025年5月29 日，天问二号探测器成功发射，将对小行星2016HO3开展探测并采样返回。小行星可视为质量分布均匀的球体，半径约为50m，密度约为地球的一半。已知地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为9.8m/s2。假设探测器仅在小行星万有引力作用下，贴近小行星表面做匀速圆周运动，探测器的环绕速度最接近（　　） A． B． C． D．4.4m /s 8.如图所示，由于地球自转和离心运动，地球并不是一个绝对的球形（图中虚线为圆形），而是赤道部分凸起、两极凹下的椭球形（图中实线为椭圆），A点为地表上地理纬度为的一点，在A点有一静止放在水平地面上物体，设地球对物体的万有引力仍然可看作是质量全部集中于地心处的质点对物体的引力，地球质量为，地球自转周期为，地心到A点距离为，水平虚线为椭圆上过A的切线，则关于水平地面对该物体的支持力的说法中正确的是（　　） A．支持力沿方向向上 B．物体由所受的万有引力和支持力的合力提供向心力 C．支持力大小等于 D．支持力大小等于 9.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球做圆周运动的公转周期为，“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动的周期为，引力常量为G，由以上条件可知（　　） A．月球质量为 B．地球质量为 C．月球的密度为 D．地球的密度为 10.如图，中国空间站和地球同步卫星在各自轨道上运行，均可看成匀速圆周运动。设空间站及同步卫星运行的速度和周期分别为v站、v星和T站、T星。则（　　） A．v站=v星 B．v站>v星 C．T站=T星 D．T站>T星 11.中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A． B． C． D． 12.2025年5月，我国发射的“天问二号”将探测小行星。若它绕某小行星做“近地”匀速圆周运动的周期为T，该小行星的平均密度为，引力常量为G，则可表示为（） A． B． C． D． 13.中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕轴自转，半径为R，A、B所在的位置为南、北两极，C、D所在的位置为赤道平面内，连线与赤道平面的夹角为。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．该星球的自转角速度大小为 B．该星球的自转周期为 C．该星球位置的自转向心加速度大小为 D．该星球位置的自转向心加速度大小为 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 万有引力定律的成就 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 1 【知识梳理】 2 知识点1：计算天体的质量 2 知识点2：计算天体的密度 5 知识点3：天体环绕问题....................................................................................................................................9知识点4：万有引力与重力的关系...................................................................................................................12 【方法技巧】 15 方法技巧 “g”的桥梁作用 15 方法技巧 解决天体问题的思路 16 【巩固训练】 16 【学习目标】 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2.了解“称量”地球质量，计算天体质量的基本思路。 3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。 重点： 1. 掌握计算天体质量和密度的方法； 2. 能计算卫星绕中心天体做圆周运动的物理量； 难点： 1. 掌握计算天体质量和密度的方法； 2. 掌握地球表面万有引力与重力的关系，并能解决实际问题； 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：计算天体的质量 1．重力加速度法测天体质量 不考虑天体的自转，在天体表面，物体所受重力近似等于天体对物体的万有引力，即 （其中为物体质量，为天体表面重力加速度，为引力常量，为天体质量，为天体自身半径），中心天体的质量= 。 2．天体环绕法测天体质量 质量为的行星（或卫星）围绕质量为的中心天体做匀速圆周运动，已知环绕轨道半径为，环绕周期为，万有引力提供行星（或卫星）所需的向心力，即 ，可得 注意“R”、“r”的区别 上述两种方法中，“R”是中心天体的半径、“r”是环绕行星（或卫星）的轨道半径，只有中心天体表面的环绕卫星时，r=R。 【典例1】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】AB．根据黄金代换，可得 解得 故AB错误； CD．万有引力提供人造卫星的向心力，可得 解得 故C正确；D错误。 故选C。 【变式1】据《甘石星经》记载，我国古代天文学家石申，早在2000多年前就对木星的运行进行了精确观测和记录。若已知木星公转轨道半径，周期，木星星体半径，木星表面重力加速度，万有引力常量。则太阳质量（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】木星绕太阳运动，万有引力提供向心力有 解得 无法用木星表面的重力加速度表示太阳质量。 故选C。 【变式2】一智能机器人登陆一行星，机器人将一小石块在高度为h处静止释放，经时间为t，小石块落在地面上，已知万有引力常量为G，此行星的半径为R，那么这个行星的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】小球下落的过程中根据自由落体运动规律有 解得 质量为m的物体，在星球表面，星球对它的引力等于其重力，有 解得星球质量 故选B。 【变式3】行星外围有一圈厚度为d的发光带（发光的物质），简化为如图甲所示的模型，R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带中的物质绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的倒数之间关系如图乙所示，已知图线斜率为k，则该行星的质量为（　　） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【解析】设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有 函数为 所以斜率 k=GM 联立可得 故选B。 知识点2：计算天体的密度 若中心天体半径为R，则天体的体积V= (1)重力加速度法：天体质量 = ，则天体密度 = (2)天体环绕法：天体质量 = ，则天体密度 = ，当卫星环绕天体表面运动时， ，此时 【典例2】嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 【变式1】我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在天体中万有引力提供向心力，即 ，天体的密度公式，结合这两个公式求解． 设脉冲星质量为M，密度为 根据天体运动规律知： 代入可得： ，故C正确； 故选C 【变式2】卫星在不同轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设地球半径为R，卫星的轨道高度为h，由万有引力提供向心力，有 又 联立解得 所以， 联立解得 故选B。 【变式3】2024年1月18日，由大连理工大学研制的“大连1号—连理卫星”从天舟六号货运飞船成功释放入轨，并成功回传高清图像。若“连理卫星”的轨道可视为圆周，已知引力常量和“连理卫星”距地面的高度，再结合下列信息能计算出地球平均密度的是（    ） A．地球对“连理卫星”的万有引力和地球半径 B．“连理卫星”绕地球运动的周期和线速度 C．“连理卫星”绕地球运动的周期和角速度 D．地球两极处的重力加速度和地球自转周期 【答案】B 【解析】要求出地球的平均密度，需要求出地球的质量和地球的体积，已知引力常量和“连理卫星”距地面的高度： A．再知道地球对“连理卫星”的万有引力和地球半径可知求出地球的体积，但是无法求出地球的质量，所以无法求出地球的平均密度，故A错误； B．再知道“连理卫星”绕地球运动的周期和线速度，根据 以及 可以求出地球的质量和体积，可以求出地球的平均密度，故B正确； C．“连理卫星”绕地球运动的周期和角速度无法求出地球的质量和体积，无法求出地球的平均密度，故C错误； D．根据 可得 地球的体积 则 无法求出地球的半径，则无法求出地球的密度，故D错误。 故选B。 知识点3：天体环绕问题 1.环绕天体的运行参量 行星（或卫星）绕中心天体的运动可看作为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。 ，= ；轨道半径越大，向心加速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕角速度越小； ， ，轨道半径越大，环绕周期越大； 2.忽略自转，中心天体表面物体的重力近似等于物体所受的万有引力 ， (该公式通常被称为黄金代换式) ， ， ， ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关； ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢． 【典例3】两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其质量之比为1:2，轨道半径之比为1:2，则（　　） A．它们的线速度大小之比为2:1 B．它们的运行周期之比为1:2 C．它们的向心加速度大小之比为1:4 D．它们所受向心力大小之比为2:1 【答案】D 【解析】A．根据万有引力提供向心力 则线速度 所以，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 则周期 所以周期之比，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 则向心加速度 所以向心加速度之比，故C错误； D．向心力大小为 所以向心力之比，故D正确。 故选D。 【变式1】由于人造地球卫星在运行中受到大气阻力的影响，其轨道半径逐渐减小，相应的线速度和周期的变化情况分别是（　　） A．线速度变大，周期变小 B．线速度不变，周期变大 C．线速度变小，周期变小 D．线速度变小，周期变大 【答案】A 【解析】由万有引力提供向心力得 解得 故半径减小，则线速度变大。由开普勒第三定律得（常量） 得 故半径减小，则周期变小。 故选A。 【变式2】2025年4月25日1时17分，在执行任务的神舟十九号航天员乘组打开“家门”，欢迎神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站。神舟二十号航天员乘组入驻后，空间站仍在原来的轨道（视为近地圆轨道）上运行，则（　　） A．空间站的运行周期变长 B．空间站的速度大小不变 C．新入驻空间站的航天员所受合外力为零 D．新入驻空间站的航天员所受合外力比静止在地面上时小 【答案】B 【解析】根据万有引力提供向心力的原理，空间站轨道为近地圆轨道，轨道半径不变。入驻后空间站质量增加，但轨道参数（如周期、速度）仅取决于地球质量和轨道半径，与空间站质量无关。 A. 空间站的运行周期，只与轨道半径和地球质量有关，入驻后不变，故周期不变，故A错误。 B. 空间站的速度大小，只与和有关，入驻后不变，故速度大小不变，故B正确。 C. 新入驻航天员在轨道上受地球引力作用，引力提供向心力，合外力不为零，故C错误。 D. 新入驻航天员在近地圆轨道上所受合外力即万有引力，不为零；而静止在地面上时所受的合外力是使其随地球自转的向心力，该力远小于在轨道上受到的万有引力。因此，航天员在轨道上所受合外力比静止在地面上时大，故D错误。 故选B。 【变式3】中国北斗导航卫星系统已经开启了全球服务。其中某颗卫星在距离地面高度为h的圆轨道上运行。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星的运行周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】某颗卫星在距离地面高度为h的圆轨道上运行，设运行周期为T，根据万有引力提供向心力，有 地球表面重力加速度为g， 联立可得。 故选D。 知识点4：万有引力与重力的关系 1.重力是万有引力的一个分力 如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F=。 除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴，为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果，就是物体的重力mg。 2.重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。 (2)球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。 (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。 3．重力、重力加速度与高度的关系 (1)由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近，地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。 (2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝。 【典例4】由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，两极处有 赤道处有 联立可得 故选B。 【变式1】若地球是质量均匀分布的球体，测得两极附近的重力加速度为，赤道附近的重力加速度为。在赤道地面上，一个质量为m的物体随地球自转。则物体（　　） A．受到的万有引力大小等于 B．对地面的压力大小等于 C．受到的向心力大小等于 D．受到的合力大小等于 【答案】D 【解析】ACD．在两极物体受到的万有引力大小为 地球看成质量均匀分布的球体，则物体在赤道受到的万有引力大小等于在两极物体受到的万有引力大小，所以物体在赤道受到的万有引力大小等于。在赤道地面上，设物体受到的向心力大小为，则有 可得 所以物体受到的合力大小 故AC错误，D正确； B．物体对地面的压力大小 故B错误。 故选D。 【变式2】假设未来通过某种技术，在不改变地球半径的情况下，将地球的质量缓慢增大为原来的2倍，且地球仍可视为均匀球体。若忽略地球自转的影响，同一宇航员在地球表面的重力（　　） A．减小为原来的 B．减小为原来的 C．增大为原来的2倍 D．增大为原来的4倍 【答案】C 【解析】在地球表面，重力等于万有引力则有 若地球质量增大为原来的2倍，半径不变，则宇航员受到地球的引力变为原来的2倍，即同一宇航员在地球表面的重力增大为原来的2倍。 故选C。 【变式3】假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别。已知地球表面的重力加速度在赤道的大小为g，在两极的大小为kg。则地球表面上北纬37°处的重力加速度大小为（　　） A．g B． C．g D．g 【答案】B 【解析】物体在两极时，根据万有引力等于重力有 物体在赤道时，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力，设T为地球自转周期，则有 地球表面上北纬37°处，设向心力为F，重力加速度为，由余弦定理得 又 ， 解得 故选B。 【方法技巧】 方法技巧1 “g”的桥梁作用 在地球上运用的运动学规律和动力学规律在其他星球上仍适用。若已知某星球表面物体的平抛运动、自由落体运动的规律可求得星球表面的重力加速度g，在星球忽略自传的前提下，由万有引力提供重力求得该星球的质量、半径等信息。 方法技巧2 解决天体问题的思路 ①建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 ②应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 ③利用——“”代换“”，简化及求解。 【巩固训练】 1．北京时间2023年7月27日4时02分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，采取一箭三星方式，成功将遥感三十六号卫星发射升空。假设某颗质量为m的人造地球卫星绕地球沿圆轨道运行，其轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则地球的质量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】卫星绕地球沿圆轨道运行，地球对卫星的万有引力提供向心力，有 解得 故选D。 2.“火卫一”围绕火星做匀速圆周运动，运动的周期为7.66小时，轨道距离火星表面的高度与火星半径之比为1.766，引力常量N·m2/kg2，则火星的平均密度约为（    ） A．kg/m3 B．kg/m3 C．kg/m3 D．kg/m3 【答案】A 【解析】火卫一绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 消去m后得火星质量 根据 火星的平均密度 已知轨道半径 计算得 故选A。 3.已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，将地球视为质量均匀分布的球体，忽略地球自转的影响，则地球质量等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】地球表面重力与万有引力相等有 可得地球质量为 故选A。 4.某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设赤道处的重力加速度为g，物体在两极时万有引力等于重力，有 在赤道时万有引力可分解为重力和自转所需的向心力，则有 联立解得该行星自转的角速度为 故选A。 5.地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．地球的质量可表示为 B．地球的半径可表示为 C．太阳与地球的质量之比为 D．太阳与地球的质量之比为 【答案】D 【解析】A．地球表面的重力加速度为g，令地球半径为R，则有 解得 故A错误； B．月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，则有 结合上述解得 故B错误； CD．结合上述解得地球质量 地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，则有 解得 结合上述解得 故C错误，D正确。 故选D。 6.北斗卫星导航系统是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，其中一颗静止轨道卫星的运行轨道如图中圆形虚线所示，其对地张角为。已知地球半径为R、自转周期为T、表面重力加速度为g，万有引力常量为G。则地球的平均密度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】ABCD．设卫星的轨道半径为，由题意可知 解得 对卫星绕地球做圆周运动 可得 由地球体积为 则地球密度为 故选C。 7.2025年5月29 日，天问二号探测器成功发射，将对小行星2016HO3开展探测并采样返回。小行星可视为质量分布均匀的球体，半径约为50m，密度约为地球的一半。已知地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为9.8m/s2。假设探测器仅在小行星万有引力作用下，贴近小行星表面做匀速圆周运动，探测器的环绕速度最接近（　　） A． B． C． D．4.4m /s 【答案】B 【解析】在星球表面有 又 联立可得 可得小行星表面重力加速度为 探测器贴近小行星表面做圆周运动时，则有 可得探测器的环绕速度为 故选B。 8.如图所示，由于地球自转和离心运动，地球并不是一个绝对的球形（图中虚线为圆形），而是赤道部分凸起、两极凹下的椭球形（图中实线为椭圆），A点为地表上地理纬度为的一点，在A点有一静止放在水平地面上物体，设地球对物体的万有引力仍然可看作是质量全部集中于地心处的质点对物体的引力，地球质量为，地球自转周期为，地心到A点距离为，水平虚线为椭圆上过A的切线，则关于水平地面对该物体的支持力的说法中正确的是（　　） A．支持力沿方向向上 B．物体由所受的万有引力和支持力的合力提供向心力 C．支持力大小等于 D．支持力大小等于 【答案】B 【解析】ACD．物体m随地球自转而做匀速圆周运动需要向心力，其大小为 由万有引力的一个分力提供，而另一个分力为重力，而物体所受支持力与重力等大反向，并不是沿方向向上，物体m的受力情况如图所示 其中和、为等效替代关系。故，，故ACD错误； B．由图可知，物体所受的万有引力和支持力的合力提供向心力，故B正确。 故选B。 9.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球做圆周运动的公转周期为，“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动的周期为，引力常量为G，由以上条件可知（　　） A．月球质量为 B．地球质量为 C．月球的密度为 D．地球的密度为 【答案】C 【解析】AC．“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动，万有引力提供向心力有 解得月球质量为 又有 则月球的密度为 故A错误，C正确； BD．月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力有 解得地球质量为 又有 解得地球的密度为 地球半径未知，地球密度不可求，故BD错误。 故选C。 10.如图，中国空间站和地球同步卫星在各自轨道上运行，均可看成匀速圆周运动。设空间站及同步卫星运行的速度和周期分别为v站、v星和T站、T星。则（　　） A．v站=v星 B．v站>v星 C．T站=T星 D．T站>T星 【答案】B 【解析】AB．根据万有引力提供向心力 所以 由于同步卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以同步卫星运行的线速度小于空间站运行的线速度，即，故A错误，B正确； CD．根据万有引力提供向心力 所以 由于同步卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以同步卫星运行的周期大于空间站运行的周期，即，故CD错误。 故选B。 11.中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当星体表面物质恰好不被离心力瓦解时，万有引力提供向心力。设星体质量为，半径为，密度为，表面物体质量为，则有 变化得 根据球体体积公式以及质量与密度的关系可得星体质量为 联立上式可得 解得密度为 根据题意可知， 则星体的密度最小值约为 故选C。 12.2025年5月，我国发射的“天问二号”将探测小行星。若它绕某小行星做“近地”匀速圆周运动的周期为T，该小行星的平均密度为，引力常量为G，则可表示为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当探测器在近地轨道运行时，轨道半径近似等于小行星半径。由万有引力提供向心力 可得 小行星的平均密度 体积 代入得 因此 故选D。 13.中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假设某颗星球具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕轴自转，半径为R，A、B所在的位置为南、北两极，C、D所在的位置为赤道平面内，连线与赤道平面的夹角为。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．该星球的自转角速度大小为 B．该星球的自转周期为 C．该星球位置的自转向心加速度大小为 D．该星球位置的自转向心加速度大小为 【答案】C 【分析】万有引力定律的应用、行星自转与重力加速度的关系 【解析】A．在A处，根据万有引力等于重力有 在D处根据牛顿第二定律有 联立可得该星球的自转角速度大小为 A错误； B．该星球的自转周期为 B错误； C．由于与赤道夹角为，根据 可知M处的自转向心加速度为 C正确； D．该星球D位置的自转向心加速度大小为 D错误。 故选C。 / 学科网（北京）股份有限公司 $