6.2.2 向量的减法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.2.2　向量的减法运算 学习目标 1.理解相反向量的概念. 2.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及运算规则,理解其几何意义. 3.能运用向量的加法与减法解决相关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　相反向量 定义 与向量a长度　　　　,方向　　　　的向量,叫做a的相反向量  性质 ①零向量的相反向量仍是零向量 ②a+(-a)=(-a)+a=　　　  ③如果a,b互为相反向量,那么a=　　　,b=-a,a+b=0 若a+b=0,则|a|=|b|  相等 相反 0 -b 思考辨析 1. 的相反向量是哪个向量? 2.-(-a)=a成立吗? 提示 成立,因为a与-a互为相反向量. 自主诊断 1.下列说法错误的是(　　) A.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 B.方向相反的向量是相反向量 C.零向量的相反向量是零向量 D.互为相反向量的两个向量是共线向量 B 解析 相反向量是指长度相等、方向相反的向量,故A正确,B错误; 零向量的相反向量是零向量,故C正确; 共线向量是指方向相同或相反的向量,互为相反向量的两个向量方向相反,故D正确.故选B. 2.如图,四边形ABCD 是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向量的是(　　) C 知识点2　向量减法运算及其几何意义 定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的　　　　  作法 已知向量a,b,在平面内任取一点O,作 几何意义  用几何法求两个向量的差时,这一步至关重要 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的 　　　指向向量a的　　　的向量  相反向量 终点 终点 名师点睛 1.若向量a,b为非零不向量共线,则a,b与a-b围成三角形,故称这种作两向量差的方法为向量减法的三角形法则. 2.求两个向量的差就是要把两个向量的起点放在一起,它们的差是以减向量的终点为起点,以被减向量的终点为终点的向量,可简记为“共起点,连终点,指向被减”. 思考辨析 1.当两个非零向量a,b共线时,如何作图得a-b? 图① 图② 2.若a,b是不共线的向量,则|a+b|与|a-b|的几何意义是什么? 自主诊断 A.a+b B.a-b C.b-a D.-a-b C 2.如图所示, 数轴上三个点A,B,C,则=　　　　　,||=　　　　　.  　 5 重难探究·能力素养速提升 探究点一　　向量减法的几何意义 A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c A (2)(北师大版教材例题)如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b+c. 规律方法　 变式训练1 (1)如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c. 图① 图② (2)如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形内一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量. 解 因为四边形ACDE是平行四边形,所以=c,=b-a,故=b-a+c. 探究点二　　向量的加法与减法运算 【例2】 化简下列各向量的表达式: 规律方法　向量加减法化简的常用方法 (1)首尾相连且为和; (2)起点相同且为差; (3)借助相反向量,化向量减法为向量加法. 变式训练2化简: (1); (2)-(). 解 (1)=0. (2)-()=-()=-() ==0. 探究点三　　向量减法几何意义的应用 【例3】 (1)在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD是(　　) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 B 变式探究2本例(2)中条件不变,求||的取值范围. 解 由|||-|||≤||≤||+||,且||=6,||=9, 所以3≤||≤15,当同向时,||=15;当反向时,||=3. 所以||的取值范围为[3,15]. 规律方法　1.用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量. (2)转化为向量问题,进行向量运算. (3)将向量问题还原为平面几何问题. 2.||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法错误的是(　　) A.a∥b B.a≠b C.|a|≠|b| D.b=-a C 解析 根据相反向量的定义,大小相等,方向相反,可知|a|=|b|. 1 2 3 4 5 A.a+b和a-b B.a+b和b-a C.a-b和b-a D.b-a和b+a B 1 2 3 4 5 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 A 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 5 解 根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则,得 当a,b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线相等,四边形ABCD为矩形; 当a,b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD为菱形; 当a,b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形. 提示 . A. B. C. D. 解析 向量的模相等,方向相反,互为相反向量. 提示 当a,b同向时.如图①,作=a,=-b,则=a-b. 当a,b反向时.如图②,作=a,=-b,则=a+(-b)=a-b. 提示 如图所示,设=a,=b,则=a+b,=a-b.因为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|=||,|a-b|=||,分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 1.在△ABC中,若=a,=b,则= (　　) 解析 =b-a. 【例1】 (1)如图所示,四边形ABCD中,若=a,=b,=c,则=(　　) 解析 =()-=a+c-b.故选A. 解 如图,在平面上任取一点O,作=a,=b,则=a-b. 再作=c,连接BD,则=a-b+c. 解 (方法一)先作a-b,再作a-b-c即可. 如图①所示,以A为起点分别作向量,使=a,=b.连接CB,得向量=a-b,再以C为起点作向量,使=c,连接DB,得向量.则向量即所求作的向量a-b-c. (方法二)先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. ①作=-b和=-c; ②作=a,则=a-b-c. (1); (2)()-(); (3)()-(). 解 (1). (2)()-()=()-()==0. (3)()-()=()-()==0. .若||=|| 解析 ∵, ∴四边形ABCD为平行四边形, ∵||=||,∴||=||. ∴四边形ABCD为矩形.故选B. (2)已知||=6,||=9,求||的取值范围. 解 ∵|||-|||≤||≤||+||, 且||=9,||=6,∴3≤||≤15. 当同向时,||=3; 当反向时,||=15. ∴||的取值范围为[3,15]. 变式探究1将本例(2)的条件改为“||=8,||=5”,求||的取值范围. 解 ∵,||=8,||=5, |||-|||≤||≤||+||, ∴3≤||≤13. 当同向时,||=3;当反向时,||=13. ∴||的取值范围是[3,13]. 解析 由向量的加法、减法得,=a+b,=b-a.故选B. 2.如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,则用a,b表示向量分别是(　) 3.在△ABC中,若||=||=||,则△ABC的形状为(　　) 解析 若||=||=||,则||=||=||=||,则△ABC为等边三角形.故选A. 4.若菱形ABCD的边长为2,则||的长度为　　　　　.  解析 ||=||=||=2. 5.在平行四边形ABCD中,=a,=b,用a,b表示向量,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD是矩形?菱形?正方形? =a+b,=a-b. $