6.2.1 向量的加法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.2.1　向量的加法运算 学习目标 1.借助实例掌握向量加法的概念并理解其几何意义. 2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　向量的加法及其运算法则 1.向量加法的定义:求两个向量　　　　的运算,叫做向量的加法,两个向量的和仍然是一个向量.  向量加法定义的体现 和 3.向量加法的平行四边形法则:已知两个不共线向量a,b,在平面内取任意一点O,作 ,以OA,OB为邻边作▱OACB,则以O为起点的_________　　　　(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.  4.向量加法的三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀: (1)三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点; (2)平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线. 5.规定:对于零向量与任意向量a,规定:a+0=0+a=a. 名师点睛 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系 区别有两个:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. 联系:三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半,当两个向量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的. 思考辨析 如果 ,那么A,B,C三点一定能构成三角形吗? 提示 不一定,A,B,C三点有可能在同一条直线上(如图所示),不能构成三角形. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量.(　　) (3)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量.(　　) (4)若a+b=0,则a=0且b=0.(　　) √ √ × × 2.当向量a,b是两个非零的共线向量时,如何求这两个向量的和向量? 提示 当向量a,b是向量共线时,不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量,但可以用三角形法则作出两个向量的和向量,分两向量同向和反向两种情形: ①同向 ②反向 3.在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是(　　) C 知识点2　向量加法的运算律 1.向量加法的交换律:a+b=　　　　.  2.向量加法的结合律:　　　　　=a+(b+c).  b+a (a+b)+c 思考辨析 在如下的向量运算中,运用了向量加法的哪些运算律? 提示 ①处运用了向量加法的结合律,②处运用了向量加法的交换律. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)向量的加法与实数的加法类似,都满足交换律和结合律.(　　) √ √ 2.已知非零向量a,b,c,则向量(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(b+a),c+(a+b)中,与向量a+b+c相等的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 D 解析 由向量加法的交换律与结合律可知,所给的5个向量都与a+b+c相等. 0 知识点3　|a+b|与|a|,|b|之间的关系 对任意两个向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立. 名师点睛 当a与b不共线时,|a+b|<|a|+|b|的几何意义为三角形两边之和大于第三边. 思考辨析 当向量a,b方向相反时,|a+b|与|a|,|b|关系是怎样的? 提示 ①如图所示,当|a|>|b|时,|a+b|=|a|-|b|; ②如图所示,当|a|<|b|时,|a+b|=|b|-|a|. 综上,|a+b|=||a|-|b||. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) × × 2.[人教B版教材习题]已知|a|=2,|b|=3,求|a+b|的最大值和最小值,并说明取得最大值和最小值时a与b的关系. 解 |a+b|的最小值为||a|-|b||=|2-3|=1,此时a,b反向; |a+b|的最大值为|a|+|b|=2+3=5,此时a,b同向. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　　已知向量作和向量 【例1】 (人教B版教材习题改编)如图: (1)以A为始点,作出a+b; (2)以B为始点,作出c+d+e. 解 (1)如图所示; (2)如图所示. 规律方法　 变式训练1(苏教版教材例题)如图,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量: 探究点二　　向量加法与运算律 【例2】 设A,B,C,D是平面上的任意四点,试化简: 规律方法　解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0. 变式训练2如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.化简: 探究点三　　利用向量加法法则解决实际问题 【例3】 在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行 800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行 800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 变式探究本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离恰好位于A地的正东方向? 解 如图,由点C作垂线,垂足为D, 规律方法　向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. (2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量三角不等式. (4)向量加法的运算律. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接,平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量a+b表示(　　) A.向正北方向走5 km B.向正北方向走5 km C.向正南方向走5 km D.向正南方向走5 km B 解析 由向量加法的平行四边形法则可知,向量a+b表示向正北方向走 1 2 3 4 5 2.若A,B,C,M,N,P是不重合的点,则下列等式错误的是(　　) A.a+0=0+a=a B 1 2 3 4 5 1 解析 在菱形ABCD中,连接BD(图略). ∵∠DAB=60°,∴△BAD为等边三角形. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.如图所示,求: (1)a+d; (2)c+b; (3)e+c+b; (4)c+f+b. 2.向量加法的三角形法则:已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量　　　　叫做a与b的和,记作a+b,即a+b= =　　　　.上述求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.  =a,=b 向量 (2).(　　) =a+b. =a+b. A. B. C. D.=0 解析 因为,所以C错误. (2).(　　) 3.化简:(1)()+=　　　　　.  (2)=　　　　　.  解析 ()+=()+. (1).(　　) (2)||+||=||.(　　) (1);(2);(3). 解 (1)因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边形,OB为其对角线,所以. (2)因为方向相同且长度相等,所以是相同的向量,从而方向相同,长度为长度的2倍,因此,可用表示,即. (3)=0. (1); (2); (3). 解 (1)=()+. (2)=()+()=0+0=0. (3)=0. (1); (2); (3). 解 由已知得四边形ACEB,四边形ABDE均为平行四边形. (1). (2)(答案不唯一). (3) =()+()+ ==0. 解 如图所示,设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 则飞机飞行的路程指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是 . 依题意,有||+||=800+800=1 600(km). 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°. 所以||==800(km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°. 因为∠BAC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,在Rt△ACD中, CD=ACsin 10°=800sin 10°(km).即往正南方向飞行800sin 10° km, 恰好位于A地的正东方向. 5 km. B.=0 C.=0 D. 解析 不是零向量,故选项B错误. 3.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=1,则||=　　　　　.  又||=1,∴||=1.∴||=||=1. 解析 因为, 所以||=||=2||. 又正方体的边长为1,所以对角线|AC|=, 即||=,所以||=2. 4.已知正方形ABCD的边长为1,则||=　　　　　.  2 (2)c+b=; (3)e+c+b=e+(c+b)=e+; (4)c+f+b=c+b+f=. 解 (1)a+d=d+a=; $