山西大同市部分学校2025-2026学年第一学期期末检测高二数学试题

姓名： 准考证号： 2025-2026学年第一学期期末检测 高二数学试题 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.圆C:(x+1)2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y-3)=9的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 2.己知向量a=(2,-1,2),b=(-1,3,-3),c=(13,6,),若a,b,c共面，则入= A.2 B.3 C.4 D.6 3.已知直线l:kx-y-2h+2=0(k∈R)过定点Q,若P为圆C:(x-5)2+(y-6)2=4上任意一 点，则PQ的最大值为 A.3 B.5 C.7 D.9 4椭圆C:+1(a>b>0)的右焦点为Fe,0,定点M 14a2 0, 若椭圆C上存在点N,使 得FM|=FN,则椭圆C离心率的取值范围是 ao引 c 5.若斜率为1的直线与曲线)=ln(x-a)和圆2+y2=)都相切，则实数a的值为 A.2 B.0或-2 C.0或2 D.-2 6.在等差数列(a}中，a1<-1,若它的前n项和S有最大值，则当S,>0时，n的最大值为 A.11 B.12 C.13 D.14 数学试题（高二） 第1页（共4页） 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,PB与底面ABCD所成的角为云，底面ABCD为直角梯 形，∠ABC=LBAD=受，AD=2,PA=BC=1,三棱锥P-ACD的外接球为球O,则平面PBC截球0所得截 面圆的面积为 9T .8 B.JIm 8 9T 11π D. 4 8.下列说法中，正确的是 A.点M(3,2,1)关于平面xOy对称的点的坐标是(-3,2，-1) B.若直线l的方向向量为e=(1,-1,2),平面x的法向量为m=(4,-4,8),则1⊥ C.已知O为空间中任意一点，A、B、C、P四点共面，且A、B、C、P中任意三点不共线，若OP= m0-202+0心，则m=1 D.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为30°，则直线l与平面α所成的角为30 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线l:kx-y+k=0,圆C:x2+y2-6x+5=0,P(xo,yo)为圆C上任意一点，则下列说 法正确的是 A.x+y的最大值为5 B.二的最大值为2√5 5 C.圆心C到直线的距离最大为4 D.直线1与圆C相切时，k=± 3 10.在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折至△A,DE的位置， 使得二面角A1-DE-C为直二面角，若P为线段A,C的中点，则 A.BP∥平面ADE B.DP⊥EC C异面直线PB,AD所成的角为写 D.A,B与平面PBD所成角的余弦值为√42 7 数学试题（高二） 第2页（共4页） 11.已知函数f(x)=x-3ax+1,则 A.f(x)必有两个极值点 B.存在实数x,使得f'(xo)=f(xo) C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.若曲线y=fx)有两条过点(2，)的切线，则a=0或号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在等差数列{an}中，若a3+a,+a,+a,+a1=100,则a1+a3的值为 13.已知抛物线y2=4x,且P是抛物线上一点，设F是抛物线的焦点，M(4,2),则|PM|+PF的最 小值为 14.已知函数f(x)=x23-3x2+ax-1的两个极值点为x1,x2,且f(x,)+f(x2)≥-2，则实数a的最小 值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 己知A(1,2),B(3,6),动点P满足PA·P序=-4，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)求过点A(1,2)且与曲线C相切的直线的方程. 16.(15分) 等差数列{a,}的前n项和记为Sn,已知S,=-15,且a1,a3,-a4成等差数列. (1)求数列{a}的通项公式，并求S,取到最小值时的n值； (2)求数列an|}的前16项的和T6: 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD, 点E是PC的中点，AD=2,PD=AB=4, (1)求证：PA∥平面EDB; D (2)求直线BE与平面ABP所成角的正弦值. 数学试题（高二） 第3页（共4页） 18.(17分) 已知0为坐标原点，双曲线C:。,-=(a>0,6>0)的焦距为6，且经过点(3,8 (1)求双曲线C标准方程： (2)已知点A(-1,0,B(1,0),点P在双曲线C上，设直线PA,PB的斜率分别为kk2,请问kk2 是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由 19.(17分) 已知函数(e)=(ar+xe-aeR, (1)当a=1时，求y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 数学试题（高二） 第4页（共4页）2025-2026学年第一学期高二期末检测 高二数学答案及解析 1.B【解析】C1:(x+1)+y2=4的圆心为C(-1,0),半径为2， C2:(x-2)}+（y-3)/=9的圆心为C(2,3),半径为3， 由于CC,=√(2+1)2+(3-0)2=3√2,3-2<C,C2<3+2,故两圆相交.故选：B 2.B【解析】因为a=（2,-1,2),b=(-1,3,-3),c=(13,6,入)，三个向量共面，所以存在唯一实数对 -x+13y=2, (x,y),使得a=xb+yc,所以(2，-1,2)=x(-1,3,-3)+y(13,6,入)，所以{3x+6y=-1,解得 -3x+yλ=2， x=9' 1 故选B. Y= 9 入=3. 3.C【解析】由l:x-y-2k+2=0(k∈R),得y-2=(x-2), 所以直线过定点Q(2,2), 由C(x-5)2+(y-6)2=4,知圆心坐标(5,6)，半径为2， 所以Q到圆心的距离为d=J(5-2)2+(6-2)2=5>2, 所以Q在圆外，故PQ的最大值为d+2=7.故选C. 意椭圆C上存在点N,使得PW白FN,而FM上1 c.FNIE[a-。,a 所以-e香a+e即可，得生4>0解得号≤e<1 9c 0<e<1, 5.B【解析】设直线l与曲线y=ln(x-a)的切点为P(x,yo, y=nx-an则。l x-a" 则x=1+a,y=0,即切点为P(1+a,0,所以直线l为y=x-1-a, 直践与圆±都相切，则有一a-2,解得a=2或a=0,故拉 √2 6.A【解析】因为数列{an}为等差数列，设公差为d, 因为8=a,+aa2”4=r+e-}有最大值故号<0，即4<0. d d 又a<-1<0,即a6,a,一正一负，而a,=a6+d<a6, 所以a>0,4,<0,又由g<-1得4+as<0,故a,+a。<0 所以a,+a1=2a6>0,a+a:=a,+a,<0,则5，=1a,+a>0,5n=12(a+a<0, 2 2 则当Sn>0时，n的最大值为11.故选：A. 高二数学答案 第1页（共6页） 7.A【解析】如图，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0) 易知三棱锥P-ACD的外接球球心0为PD的中点，所以00,1， 设平面PBC的法向量为n=（x,y,z), 因为B乎=(-1,0,1)，BC=(0,1,0), D 所以n严-+：=0，令=1，得=1,0，小 n-BC=y=0, 1 因为币=0，-1，》所以点0到平面PBc的距离d= n 24 设拔面圆的半径为r,则r=0PP--营专号所以发面圆的面积为智 8.B【解析】对于A,点M(3,2,1)关于平面xOy对称的点的坐标是(3,2，-1)，A错误； 对于B,若直线l的方向向量为e=(1,-1,2,平面ax的法向量为m=(4,-4,8), 则m=4e,所以m∥e,则l⊥a,B正确； 对于C,已知O为空间中任意一点，A、B、C、P四点共面，且A、B、C、P中任意三点不共线， 则存在xy∈R,使得A=x正+yA元，即O-Oi=x(O-O)+y(O元-O), 所以0=1-t-y)0+0丽+y0=n0-0i+0. 1-x-y=m, 1 m2 1 所以，x=一2 解得 ,1C错误； x= 2 y=1, y=1, 对于D选项，若直线的方向向量与平面α的法向量的夹角为30，则直线l与平面α所成的角为60，D错误.故选B. 9.BD【解析】对于A,圆C的方程可化为(x-3)2+y2=2,则圆心为C(3,0),半径r=2.0C=3,P(xo,y)是圆 上的点，所以x+y的最大值(3+2P=25,故A错误； 对于B,如图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时，y最大， 此时10C=3,PC=2,oP=V5,且k=lan∠PoC=2-25 √5，故B正确 对于C,圆心C(3,0)到直线的距离d=3+三4L W1+2√1+k2 当k=0时，d=0, 当6≠0时，d=146 4 <4,故C错误； √1+2 1 1+F 对于D,直线l:x-y+k=0,即y=(x+1),过定点(-1,0)， 代入圆的方程得(-1-3)2+02>2，则定点在圆外 若直线1与圆C相切，则圆心C(3,0)到直线的距离为2， 即3张+=2，解得k=±3，故D正确.故选BD. √1+8 3 高二数学答案 第2页（共6页） 10Ac[解折如图建立空间直角坐标系则A(0.0.s1.0,0.c2,0）,po5,0)r,5》 对丁A.因为=0，Y,号引平面ADE的-个法向量为m=,0,0,所以-m=0,所以P/平面1，DB. 故A正确 对于B,因为D =,-,元=(2,5,0)，所以m元=0，所以0p,c不垂直故B错误. 对于c因为=，-号，-a方=(05，-小所以m(A)- PB.A D 三)，所以异面直 PE AD 线PB,A,D所成的角为写故C正确. 对于D,设平面Pm的法向量为n=(,功.因为丽=0，号》励=(15,0小所以 nBp=-3,1 y+2=0令=万，得m=(V5,1,-5 nB7=-x+√3y=0, 设A,B与平面PBD所成的角为0，因为A,=(1,0,-1),所以sin0=c0s(4,B,n)= A,B·n2√3 |A,ln√万×√2 9cm0=,放D错误.放选AC 7 11.BCD【解析】对于A,因为f'(x)=3x2-3a,当a>0时f'(x)=0有两个不相等实数根，所以f(x)有两个极值点， 当a≤0时，∫'(x)≥0恒成立，所以f(x)无极值点，故A错误； 对于B,f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=f(x),则x3-3ax+1-3x2+3a=0, 令g(x)=x23-3x2-3ax+3a+1,g(1)=13-3-3a+3a+1=-1<0,当x→+o时g(x)>0, 根据函数零点存在定理，存在实数x。∈(1，+∞)使得f'(x)=f(x),故B正确； 对于C,由f(-x)+f(x)=-x2+3ax+1+x3-3ax+1=2,知f(x)的图象关于(0,1)中心对称， 所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确； 对于D,f(x)=x3-3ax+1过(2,1)的切线的切点为(xo,yo), 切线斜率为f'(xo)=3x-3a,则切线方程为y-y=(3x-3a)(x-x), 把点(2,1)代入可得-x+3ax。=（3x-3a)(2-xo),化简可得2x-6x号+6a=0, 令u(x)=2x3-6x2+6a,则u'(x)=6x2-12x,令u'(x)=6x2-12x=0可得x=0或x=2, u'(x)在(-0,0)和(2，+∞)上大于零，所以u(x)在（∞，0）和(2，+∞)上单调递增， u'(x)在(0,2)上小于零，所以u(x)在(0,2)单调递减， 高二数学答案 第3页（共6页） 要使u(x)=0有两个解，一个极值一定为0， 若函数u(x)=2x3-6x2+6a在极值点x=0时的函数值u(0)=0,可得a=0, 若函数u(x)=2x2-6x2+6a在极值点x=2时的函数值u(2)=6a-8=0,可得a=3 4 所以若曲线y=f(x)有两条过点(2,1)的切线，则a=0或子，故D正确.故选：BCD 12.40【解析】由题设a3+a,+a,+a,+au=5a,=100→a,=20, 所以a1+a3=2a,=40. 故答案为：40 13.5【解析】如图，过P做准线的垂线，交准线于Q,PF|=PQ,过M作准线的垂线， 交准线于N,PM+PF|=PM+PQ≥|MW|=5,当P,M,N共线时等号取到， 所以PM+|PF的最小值为5. 14.2【解析】函数f(x)=x3-3x2+ax-1定义域为R,且f'(x)=3x2-6x+a, 因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,则△=36-12a>0,可得a<3, 由题意可知，x1,x2为方程3x2-6x+a=0的两根， x1+x2=2, 由韦达定理可得 a x1x2=3' 所以f(x1)+f(x2)=(x+x)-3(x+x)+a(x1+x2)-2 =(x,+x)(x-xx2+好)-3[(x1+)}-2xx,]+a(x1+x)-2 =(x,+x)[(x,+x-3x]-3[(x1+x}-2x]+a(x,+x)-2 =2(4-a）)-34-2☑+2n-2=2a-6≥-2，解得a≥2，所以2≤a<3. 因此，实数a的最小值为2. 15.解：(1)设P(x,y),则P=(1-x,2-y),P7=(3-x,6-y), 由Pi·P2=(1-x)(3-x)+(2-y)(6-y)=-4,得(x-2)2+(y-4)=1, 所以曲线C的标准方程为(x-2)2+（y-4)=1.… …6分 (2)曲线C是以(2,4)为圆心，1为半径的圆， 过点A(1,2)的直线若斜率不存在，直线方程为x=1,满足与圆C相切； 过点A(1,2)的切线若斜率存在，设切线方程为y-2=k(x-1),即x-y+2-k=0, 由圆心到直线距离d=12-4+2-=1,解得6=子，则方程为3x-4+5=0 √k2+1 过点A(1,2)且与曲线C相切的直线的方程为x=1或3x-4y+5=0.…13分 16.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 3a1+3d=-15 由题可得： a+a+a,=-15.即 12a3=a1+(-a4),12(a+2d)=a1-(a,+3d), 高二数学答案 } 第4页（共6页） 解得a1=-7,d=2,所以an=2n-9; 由/0，s 母-90解得子≤n≤ 。可得2-7≥0， 9 (an*1≥0 因为n∈N,所以n=4时，Sn取得最小值时，n=4. …7分 (2)由(1)可知，a1,2,a3,a4均为负数，且从a开始，后面每一项均为正数， 故T16=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+a16 =(7+5+3+1）+1+3+…+23)=16+12(1+23)=16+144=160: 2 故数列an}的前16项的和T6=160.… …15分 17.解：(1)连接AC交BD于O,连接OE,由于E是PC的中点、O是AC的中点， 所以OE是三角形PAC的中位线，所以OE∥PA, 由于PA￠平面EDB,OEC平面EDB,所以PA∥平面EDB; …6分 (2)依题意，底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD, PD⊥底面ABCD,AD,CDC平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD, 由此以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， P(0,0,4),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(0,2,2), B2=(-2,-2,2),P=(2,0,-4),AB=(0,4,0), 设平面ABP的法向量为n=(x,y,z), 则m·可=2x-起=0.故可设n=2,0,1). n·AB=4y=0, 设直线BE与平面ABP所成角为O, 2 则sin0= BZ·n 15 …15分 B配.n2√3×√5 18.解：(1)由题意可得出：2c=6,则c=3, 所以双线的方程可设为若，产。=10<<9以因为经过点3，$. 所以号-g=1,化简可得0-S2+81=0 解得：a2=1或a2=81(舍去)， 所以双线C标准方程为：2-苓=1. …8分 (2)A(-1,0),B(1,0),设P(x,y0) 因为P(,)在双曲线上，所以好-日=1，则=8(x号-1)， 8 则，，=力b:月-8(6--8 x0+1x-1x-1x7-1 所以k,k,为定值，其值为8.… …17分 高二数学答案 第5页（共6页） 19.解：()当a=1时f(x)=(nx+xe-) 则r()-(2+川e-+ax+e+》 所以f(1)=e-1,f'(1)=3e-1, 所以y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(e-1)=(3e-1)(x-1), 即y=(3e-1)x-2e.… …5分 (2)冷f)=0可得nx+x=0或心-是=0，对两个方程分别时论， ①设g)=1h+e>0,则g()=+1>0, 所以g(x)在(0.+=单调递增，且e分-h2+方-h号<0.g0)=1>0, 2 所以存在唯一的零点x1∈(0,1)，使g(x1)=0,即lnx1+x1=0, ②令e-a=0,即a=xe, 设h(x)=xe'(x>0),可得h'(x)=(x+1)e>0, 则h(x)在(0，+o)上单调递增，又h(0)=0且x→+∞时，h(x)→+∞， 当ae(0,+o)时，存在唯一的零点x2∈(0，+∞)，使h(x2)=a,即a=x2e, 若，=，时，得n,+=0则n,=-,可得，=e4,故a=,e=e*e=1, a=xe", 所以a∈(0，+)且a≠1时，f(x)有两个不同的零点； 综上，实数a的取值范围为(0,1)U(1,+∞). … …17分 高二数学答案 第6页（共6页）