福建厦门市三校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试卷

厦门市三校2025-2026学年高三上学期期中联考 数学试卷 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.命题“存在”的否定是 A.不存在 B.存在 C.对任意的 D.对任意的 3.下列命题中,正确的是( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a<b C.若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d D.若,则a<b 4.已知,,则( ) A. B. C. D. 5.已知向量,不共线,且,,若与共线,则实数的值为( ) A.2 B. C.2或 D.或 6.函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 7.数列的前项和为,则( ) A.存在最大值,且最大值为 B.存在最大值,且最大值为30 C.存在最小值,且最小值为 D.存在最小值,且最小值为30 8.已知函数,函数有四个不同的零点、、、,且满足:,则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分) 9.已知平面向量,,则下列说法正确的是( ) A.与的夹角的余弦值为 B.在方向上的投影向量为 C.与垂直的单位向量的坐标为 D.若向量与向量共线,则 10.已知关于的一元二次不等式的解集为或,则( ) A.且 B. C.不等式的解集为或 D.关于不等式恒成立,则的最小值为 11.,下列说法正确的有( ) A.的减区间为 B.的值域为 C.若有3个零点,则 D.若有5个零点,则 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.数列的前n项和为,且满足,,则 . 13.定义运算:,将函数的图象向左平移个单位(),若所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值为 14.设函数,若,则的取值范围是 . 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.(13分)已知中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,且. (1)求外接圆的半径; (2)若,求的面积. 16.(15分)数列是公差为的等差数列,为其前项和,成等比数列. (1)证明:成等比数列; (2)设,求的值. 17.(15分)设函数. ( )求函数f(x)的单调区间和极值; ( )若当时,恒有,试确定的取值范围; ( )当时,关于x的方程f(x)=0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根,求实数b的取值范围. 18.(17分)如图:在三棱锥中,是直角三角形,,点分别为的中点. ( )求证:; ( )求二面角的余弦值. 19.(17分)已知双曲线的虚轴长为,右焦点为,点、分别为双曲线的左、右顶点,过点的直线交双曲线的右支于、两点,设直线、的斜率分别为、,且. (1)求双曲线的方程: (2)当点在第一象限时,且时,求直线的方程. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D C C C B D AD ABC BCD 12.1013 13. 14. 15.(1);(2) 【解析】(1)根据正余弦定理进行边角互化即可求解; (2)利用余弦定理建立等式,求解边长即可得出面积. 【详解】解:(1)依题意,, 由正弦定理得, 整理得, 所以, 因为,所以, 故所求外接圆半径; (2)因为, 所以由余弦定理, 得, 即, 解得或(舍去), 所以. 16.(1)见解析, (2) 【分析】(1)要证明成等比数列,只需证明成立,根据等差数列满足成等比数列,得出,代入和中,计算后二者相等; (2)由(1)得,写出等差数列通项公式,写出,再用分组求和法求出数列的前项的和. 【详解】(1)证明:因为数列是公差为的等差数列,成等比数列, 所以,, 所以,解得,或(舍去), 又, 所以, 因为,, 所以均不为零, 所以成等比数列. (2),由(1)可知,所以, 所以, 所以 17.( )在(-∞,a)和(3a,+∞)上是减函数,在(a,3a)上是增函数.,( )( ) 【分析】( )求导,并求出函数的极值点,列表分析函数的单调性与极值,从而可得出函数的单调区间与极小值和极大值; ( )由条件得知,考查函数的单调性知,得知函数在区间上单调递减,于是得出,解该不等式组即可; ( )将代入函数的解析式,利用导数研究该函数在区间上的单调性,将问题转化为解出不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】( ). 令,得x=a或x=3a. 当x变化时,的变化情况如下表: x (-∞,a) a (a,3a) 3a (3a,+∞) - 0 + 0 - 极小 极大 ∴在(-∞,a)和(3a,+∞)上是减函数,在(a,3a)上是增函数. 当时,取得极小值,; 当时,取得极大值,; ( ),其对称轴为. 因为,所以. 所以在区间上是减函数. 当时,取得最大值,; 当时,取得最小值,. 于是有即.又因为,所以. ( )当时,. ,由,即, 解得,即在上是减函数, 在上是增函数,在上是减函数. 要使在[1,3]上恒有两个相异实根,即在(1,2),(2,3)上各有一个实根, 于是有即解得. 18.( )见解析( ) 【分析】( )连结BD,根据题意可知BD⊥AC,EF∥AC,从而得到,又因为PB⊥面ABC,得到PB,利用线面垂直的判定定理,证得平面PBD; ( )根据题意,建立适当的坐标系,根据题中所给的边长,确定对应点的坐标,分别求出两个平面的法向量,再由夹角公式求二面角的余弦值,从而求得结果. 【详解】( )证明:连接BD、在 ABC中,∠B=90 . ∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC. ∵E、F分别为AB、BC的中点,∴EF∥AC, ,又∵PB⊥面ABC,EF平面ABC,∴PB, 平面PBD; ( )∵∴PB=BC=2 如图建立空间直角坐标系, 则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则 =(-1,2,0), =(-1,0,2) 设平面PEC的一个法向量为=(x,y,z), 则 =0, =0 即 令x=2,得y=1,z=1 ∴=(2,1,1),由已知可得,向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量 ∴cos<,>== , ∴二面角E-PC-B的余弦值为 .. 19.(1) (2) 【分析】(1)设点,其中,利用点差法可得出,由已知条件可得出、的值,即可得出双曲线的方程; (2)分析可知,直线不与轴重合,设点、,设直线的方程为,将直线的方程与双曲线的方程联立,列出韦达定理,由两角差的正切公式以及已知条件分析得出,将此关系式代入韦达定理可求得的值,即可得出直线的方程. 【详解】(1)解:设点,其中,则,可得, 易知、,则, 由已知,可得,,因此,双曲线的方程为. (2)解:由(1)可知,则点,易知、, 若直线与轴重合,此时直线交双曲线于、两点,不合乎题意, 设点、,设直线的方程为, 联立可得, 由题意可得,可得, 由韦达定理可得,, 因为过点的直线交双曲线的右支于、两点, 则,可得, ,可得, 因为点在第一象限,则 , 同理可得 , 因为,可得,因为,则, 所以,,可得,可得, ,解得, 所以,直线的方程为,即. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $