6.1 平面向量的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.1　平面向量的概念 学习目标 1.通过对力、速度、位移的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　向量的概念 1.向量:在数学中,我们把既有　　　　又有　　　　的量叫做向量. 在物理上称为矢量 2.数量:把只有　　　　没有　　　　的量称为数量.    　　　　　 在物理上称为标量 大小 方向 大小 方向 思考辨析 在物理中,位移与路程是同一个概念吗?为什么? 提示 不是,位移既有大小,又有方向,路程只有大小. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)向量既有代数特征又有几何特征,大小是其代数特征,方向是其几何特征.(　　) (2)因为温度有正有负,所以温度是向量.(　　) √ × 2.给出下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功; ⑧电流强度;⑨体积.其中不是向量的有(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 A 解析 看一个量是不是向量,就要看它是否具备向量的两个要素:大小和方向. ②③④既有大小也有方向,是向量,①⑤⑥⑦⑧⑨只有大小没有方向,不是向量.故选A. 知识点2　向量的几何表示及相关概念 1.有向线段 (1)有向线段:具有　　　　　的线段叫做有向线段.以A为起点、B为终点的有向线段记作　　　　　  有向线段的图示 (2)有向线段的长度:线段AB的　　　　　叫做有向线段的长度,记作　　　　　    注:表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面 (3)有向线段的三要素:　　　　　、 　　　　　、　　　　　.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了  方向　 　　 长度 　|| 起点 方向 长度 2.向量的表示方法 (1)向量的 字母表示 向量可以用字母a,b,c,…表示,书写用,,,…表示 (2)向量的 几何表示 向量可以用有向线段表示,我们把这个向量记作向量　　　　.有向线段的长度||表示向量的　　　,有向线段的　　　表示向量的方向  　　 大小 方向 3.向量的相关概念 (1)向量的模 向量的大小称为向量的　　　　(或称　　　　), 记作　　　　　  (2)零向量 长度为　　　　　的向量叫做零向量,记作0(书写时不要忘记箭头,要写成)  (3)单位向量 长度等于　　　　　个单位长度的向量,叫做单位向量  思考辨析 0有方向吗?它与0有什么区别和联系? 长度 模 　|| 0 1 提示 0有方向,但方向不确定;0与0不同,0表示数量,是一个实数,0是一个向量,既有大小又有方向.0与0之间的联系是|0|=0. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)用有向线段表示向量,使向量有了直观形象.(　　) (2)有向线段 和有向线段 的长度相等.(　　) (3)向量的模一定是正数.(　　) (4)单位向量的模等于1个单位长度.(　　) √ √ × √ 2. 对下面图形的表示恰当的是(　　) C 3.在如图的方格纸上,每个小正方形的边长为1,则||=　　　　　.  3 知识点3　相等向量与向量共线 1.方向　　　　　　　的　　　　向量叫做平行向量.向量a与b平行,记作　　　　　　.平行向量也叫做共线向量.  2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a. 3.　 　　相等且　 　　相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记作　　　　　.  名师点睛 1.向量既有大小又有方向,不能比较大小,但向量的模可以比较大小. 2.相等向量也叫做同一向量,可看作一个向量在两个不同位置. 3.我们学习的向量为自由向量,可进行平移,故平行向量也叫做共线向量. 相同或相反 非零 a∥b 长度 方向 a=b 思考辨析 两个向量相等,这两个向量共线吗? 提示 相等的两个向量若为非零向量,则它们的方向相同,故为共线向量;若它们都为零向量,由规定知也共线. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两个向量的大小相等,这两个向量就相等.(　　) (2)若两个向量是共线向量,则表示这两个向量的有向线段所在的直线可以平行,也可以重合.(　　) × √ 2.下列命题正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.模为0的向量与任意非零向量共线 C.平行向量不一定是共线向量 D.向量相等 B 解析 对于A,单位向量模相等,但方向不一定相同,故A错误;对于B,零向量与任意非零向量共线,故B正确;对于C,平行向量即共线向量,故C错误;对于D,向量方向相反,它们不相等,故D错误.故选B. 3.如图,在四边形ABCD中,如果 ,那么四边形ABCD是平行四边形吗? 重难探究·能力素养速提升 探究点一　　平面向量的相关概念 【例1】 下列命题: ①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同; ②若非零向量 是共线向量,则A,B,C,D四点共线; ③若a∥b且b∥c,则a∥c; ④任一向量与它的平行向量不相等. 其中真命题的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 A 解析 相等向量起点相同时,终点必相同,故①错误; 向量的共线不同于有向线段共线,故当 共线时,A,B,C,D四点不一定共线,即②错误; 当b=0时,推不出a∥c,故③错误; 因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等,所以任一向量与它的平行向量可能相等,故④错误. 规律方法　明确向量及其相关概念的联系与区别 (1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关. (2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,起点、方向、长度.向量的要素只有两个,大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关. (3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的,零向量的方向是任意的. (4)平行向量也叫向量共线,当两向量共线的方向相同且模相等时,两向量为相等向量. (5)向量之间不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 变式训练1给出以下说法:①若 ,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;②零向量的长度为零,方向是任意的;③有向线段就是向量;④单位向量大于零向量.其中正确说法的序号是　　　 .  ② 解析 A,B,C,D可能共线,故①错误;由零向量的定义可知②正确;有向线段可以用来表示向量,但它不是向量,故③错误;单位向量的模大于零向量的模,但不能说单位向量大于零向量,向量之间不能比较大小,故④错误. 探究点二　　平面向量的表示 【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量: 规律方法　1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点. 2.注意事项:在书写字母表示向量时不要忘记字母上的箭头. 变式训练2如图所示(图中1个单位长度表示100 m),某人从点A出发,向西走了200 m后到达B点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了 100 m到达C点,最后又改变方向,向东走了200 m到达D点,发现D点在B点的正北方. 探究点三　　寻找相等向量和向量共线 【例3】 如图,四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.以图中的点A、点B、点C、点D、点E为起点和终点的所有有向线段表示的向量中, (1)写出与向量相等的向量; (2)写出与向量共线的向量. 解 (1)∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形, ∴,∴. 故与向量相等的向量是. (2)由共线向量的条件知,与共线的向量有. 规律方法　相等向量与向量共线的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与已知向量长度相等的向量,再确定哪些与已知向量同向. (2)寻找向量共线:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. 变式训练3 如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形BDCE为平行四边形,以图中点A、点B、点C、点D、点E为起点和终点的所有有向线段表示的向量中, (1)写出与向量相等的所有向量; (2)写出与向量共线的所有向量; (3)写出与向量相等的所有向量. 解 (1)与向量相等的向量有. (2)与向量共线的向量有. (3)因为四边形BDCE为平行四边形,所以CE∥DB且CE=DB,所以与向量相等的向量为. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念:零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量). 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:零向量和单位向量的方向容易混淆. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1. 下列说法正确的是(　　) ①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线. A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 6 D 解析 ①长度为0的向量都是零向量,故正确; ②零向量的方向任意,故错误; ③单位向量只是模都为1的向量,方向不一定相同,故错误; ④任意向量与零向量都共线,故正确.故选D. 1 2 3 4 5 2.下列结论正确的个数是(　　) ①向量的模是一个正实数; ②若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量; ③若|a|>|b|,则a>b. A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析 ①错误,0的模等于0;②正确;③错误,向量不能比较大小. 6 1 2 3 4 5 3.(多选题)下列说法错误的为(　　) A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的起点相同 ABC 解析 对选项A,这两个向量的方向可能相反,故选项A错误;对选项B,这两个向量只要方向和大小分别相同即可,起点也可以不同,故选项B错误;对选项C,向量 所在的直线也可以重合,故选项C错误;选项D正确.故选ABC. 6 1 2 3 4 5 4.设点O是等边三角形ABC的中心,则向量 是　　　　　.(填上正确的序号)  ①平行向量;②模相等的向量;③相等向量. ② 6 1 2 3 4 5 5.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则 =　　　　　.  6 1 2 3 4 5 6.(北师大版教材例题)如图,点D,E,F分别是等边三角形ABC的边AB,BC,AC的中点.在以点A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中: 6 1 2 3 4 5 6 A.AB B.|AB| C. D.|| 提示 是平行四边形.因为,所以AB∥DC,AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形. (1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向; (2),使||=4,点B在点A正东方向; (3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向. 解 如图中的. (1)作出向量; (2)求向量的模. 解 (1)如图,即为所求. (2)如图,作向量,由题意可知,四边形ABCD是平行四边形, ∴||=||=100 m. C.若,则一定有直线AB∥CD D.若向量共线,则点A,B,C必在同一直线上 与向量 解析 由点O是等边三角形ABC的中心,知点O到三个顶点A,B,C的距离相等,但三个向量的方向既不相同也不相反,所以的模相等. 解析 易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1. 在Rt△ABO中,易得||=,则||=2||=2. || 2 (1)找出与向量相等的向量; (2)找出与向量共线的向量. (2)在以点A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,与向量共线的向量有:. 解 根据三角形的中位线定理,得 (1)在以点A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,与向量相等的向量有:; $