14.2.5第5课时　用“HL”判定两个直角三角形全等 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

第5课时 用 ''HL'' 判定直角三角形全等 学习目标 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，培养学生的观察、归纳能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力. 能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等. 复习导入 判定方法 简称 图示 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA “斜边、直角边”或“HL” 追问1：如图，已知在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,∠C = ∠C’=90°, AC = A’C’，如果添加的条件是 AB = A’B’ ，△ABC≌△DEF成立吗？ 注意：显然我们知道，证明一般的三角形全等不存在 “ SSA”定理. 我们可以通过画图试试看. 已知两条线段(这两条线段长不相等) ,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 2cm 3cm 步骤: 1.画一条线段AB,使它等于2cm ; 2.画∠MAB =90°(用量角器或三角尺); 3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C; 4.连结BC.△ABC即为所求. A B C M “斜边、直角边”或“HL” 画图 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 想一想 △A'B′C′与△ABC能够完全重合 因而△A'B'C′≌△ABC. 基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ “斜边、直角边”或“HL” 注意 (1)用“HL”证明直角三角形全等的格式和一般三角形全等不同：①写条件时要注明“Rt△”；②大括号中含两个条件；③结论要注明“Rt△” (2)“HL”定理的特殊性：应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt” 判定三角形全等方法小结 常用思路如下： 已知条件 寻找的条件 选择的判定方法拓展 两角 夹边或其中一组等角的对边 ASA或AAS 一角及其对边 任一角 AAS 一角及其邻边 角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角 SAS或 ASA或AAS 两边 夹角或另一边或直角 SAS或SSS或HL 寻找三角形全等的条件的方法： 要结合图形，挖掘其中的隐含条件，如公共边、对顶角、中点、角平分线、高所带来的相等关系，以及等线段加(或减)同线段或等线段的和(或差)相等. 课堂评价 C 8 例1 如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由. 解 ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt △ACD中, ∴Rt△ABD≌Rt △ACD（HL）， ∴BD=CD. AB=AC, ∠ADB=∠ADC , 1.如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？ A B C D E 分析：CA=CB CD=CE ∠A=∠B=90° 1.如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？ A B C D E 解：D,E与线段AB的距离相等. ∵C是路段AB的中点， ∴AC=BC. ∵DA⊥AB ， EB⊥AB ， ∴∠A=∠B=90°. CD=CE， AC=CB， 在Rt△ADC 和Rt△BEC 中， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△BEC (HL). ∴　AD =BE. ∴ D,E与线段AB的距离相等. 2.如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE =BF．求证：（1）AE =DF ; （2）CD//AB. A B C D E F 分析： CE-EF=BF-EF,即CF=BE Rt△ABE ≌ Rt△DCF（HL） 　AE=DF ∠B=∠C 　CD//AB 2.如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE =BF．求证：（1）AE =DF ; （2）CD//AB. A B C D E F 证明：∵CE=BF， ∵AE⊥BC ， DF⊥BC ， ∴∠AEB=∠DFC=90°. AB=DC， CF=BE， 在Rt△ABE 和Rt△DCF 中， ∴　 Rt△ABE ≌ Rt△DCF （HL）． ∴　AE=DF ， ∠B=∠C. ∴　CD//AB. ∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE. 3.如图，已知AB=AC，AE=AF， AE⊥EC，AF⊥BF， 垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2. A B C E F 1 2 证明：∵　AE⊥EC，AF⊥BF ， ∴∠E=∠F=90°. 在Rt△AEC 和 Rt△AFB 中， AC =AB， AE =AF， ∴Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）. ∴∠EAC=∠FAB. ∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC. ∴∠1=∠2. 4．如图，在△ABC中，已知AD⊥BC于D，要使△ABD ≌△ACD，若根据HL直接判定，还需要添加一个条件是 　 　．  　AB＝AC　 5．如图，要用HL判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是( ) A．AC＝A'C'，BC＝B'C‘ B．∠A＝∠A'，AB＝A'B' C．AC＝A'C'，AB＝A'B‘ D．∠B＝∠B'，BC＝B'C' C 6.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF. 求证：AE=DF. A B C E D F 证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠DFC=∠AEB=90°. ∵CE=BF，CE-EF=BF-EF， ∴CF=BE. 在Rt△DFC和Rt△AEB中， CD=BA， CF=BE， ∴Rt△DFC≌Rt△AEB (HL)， ∴AE=DF. Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),从而DE=EC. 7.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A．SSS　 B．ASA C．SSA　 D．HL 8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D， BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm D C 9.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (H.L.). CE=BD, BC=CB . 设BD于EF交于点G，即证EG=FG. ∴BF＝DE ∴△GBF≌△GDE (AAS) ∠BFG＝∠DEG ∠BGF＝∠DGE 10.如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF. A F C E D B G 证明：在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL). 在 △GBF 和 Rt△GDE 中， BF＝DE ∴GF=GE，即BD平分EF. 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， 11.如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE. AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 直角三角形全等的判定 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在直角三角形中 内容 “斜边、直角边” 只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 前提条件 使用方法 $