利用导数解决解析几何问题策略讲义-2026届高三二轮专题复习

利用导数解决解析几何问题策略讲义 导数是高中数学的重点知识和精华内容，它不仅拓展了学生学习的领域,使学生能以导数为工具,更加深入地研究中学数学出现的有关问题,加强同学们对高中数学知识的深刻理解和直观认识.导数的出现和引入大大丰富了高中数学的知识体系,拓宽了解决解析几何问题的思路,特别对研究曲线的切线和有关最值问题开辟了新的途径,带来了极大的便利.因为导数的几何意义是曲线上某点处切线的斜率，所以解析几何中的有关切线和最值问题如果用导数来处理，就能避免解析几何中的一些繁琐的计算而使问题迅速获解.本文结合经典实例以导数为工具,可巧妙解决解析几何中的一些常见热点问题，供同学们参考与借鉴. 类型一、求圆锥曲线的切线方程 例1.已知抛物线方程为.(1)求抛物线在点处的切线方程；(2)求过点的抛物线的切线方程. 【解析】(1)由于点在抛物线上,即为切点.对求导,得.则切线的斜率,故抛物线在点处的切线方程为. (2)显然点不在抛物线上,设切点,且.由,知抛物线在点处的切线斜率为,则所求切线方程,即.又点在切线上,代入有,解得,故所求切线方程为. 【点评】导数与解析几何的结合是通过导数的几何意义将两者实现了完美的融合,求曲线切线的斜率或切线方程是导数在解析几何中的重要应用之一,也是高考考查的重点,应熟练掌握.采用导数求切线要比常规方法(即判别式法)简捷得多,注意题中两个问题的区别,是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”,前者是切点,而后者不一定是切点. 类型二、求动点到定直线距离的最小值 例2.已知点是抛物线上的一个动点,直线的方程为.试确定点的坐标,使点到直线的距离最小,并求出最小距离是多少? 【解析】设平行于且与抛物线相切的直线为,此时的切点到直线的距离最小,则该切点就是满足条件的点,设切点.由,得,则切线的斜率,解得,而,即所求点,且点到直线的距离最小. 【点评】对于这种求曲线上的动点到定直线距离的最值问题,是先设出平行于定直线且与曲线相切的直线,再设出切点坐标,并利用导数的几何意义及题中条件将切点坐标求出,最后将问题转化为求切点到该定直线的距离这样的简单事情而获解,可看出导数的魅力无限. 类型三、求方程中待定系数的值 例3.已知直线与抛物线和分别相切于点和点,且.求的值. 【解析】设切点,且,.由,得易得曲线在点处的切线方程是即.同理,曲线在点处的切线方程是.因为直线是的公切线,所以在点处的切线方程与在点处的切线方程相同,从而比较两个方程中对应的系数得,且,由题意知，解得.则公切线的斜率,于是,化简得,解得,或(舍去).故. 【点评】在利用导数的几何意义求出切线的斜率关于切点坐标的表达式后,还需抓住两曲线有公切线这个解题转折点才能得到切点坐标关于所求待定系数的表达式,而利用弦长公式或两点间的距离公式将表示为关于待定系数的方程是问题获解的关键环节. 类型四、证明圆锥曲线的一些几何性质 例4.设抛物线的焦点为,准线为,过点作一直线与抛物线交于两点,再分别过点作抛物线的切线,这两条切线的交点记为.(1)求证:切线与互相垂直,且点在准线上；(2)若为坐标原点,求证:为一定值. 【证明】(1)依题意设切点,.由,得,则切线 的斜率分别为,得切线方程,即 ①；同理,切线方程 ②.由①②解出,,即得交点.又,设直线方程为,代入方程中,整理得,由韦达定理得.设切线的斜率分别为,且,即.而点的纵坐标,准线方程为,故交点在准线上. (2)由(1)知,为定值. 【点评】对于这种条件中涉及两条切线问题的各类题型,利用导数为工具来证明或求解的确具有得天独厚的优势,可大大简化运算过程而使问题迅速获解. 类型五、求一些常见的最值问题 例5.如图,曲线段上的点满足方程,轴于点,曲线段上一点处的切线交轴于点,交线段于点.(1)试用表示切线的方程；(2)试用将的面积表示为,求的最大值,并求出此时点的坐标. 【解析】(1)由得则切线的斜率故切线的方程为,即. (2)易知.由,令,得,即；令,得,即.于是 ,则.易知:当时,；当时,.从而得在上递增,在上递减.故当时,,此时点. 【点评】在解析几何中常会遇到求三角形、四边形面积的最值,求两点之间距离或弦长的最值等,对于这类求面积或长度的最值问题,一般是将所求对象表示成以某字母为自变量的函数,若用常规方法不易求出该函数的最值时,可借助导数为工具来求解会得心应手. 【跟踪练习题】 1.已知曲线和相交于一点.求两曲线在点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是多少? 2.已知点是曲线上的一个动点,直线.求点到直线的距离的最小值. 3.已知抛物线方程为,若直线和抛物线在处相切，求常数的值. 4.设抛物线方程为,为直线上任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.求证:三点的横坐标成等差数列. 5.已知点,在曲线上有一动点.试求两点之间的距离的最小值,并求出此时点的坐标. 6.如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为.(1)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域；(2)求面积的最大值. 跟踪练习题答案及解析 1.解:易解得两曲线和的交点.由,得,知曲线在点处的切线斜率,得其切线方程为.由,得,知曲线在点处的切线斜率,得其切线方程为.由于与轴分别相交于和,则.故为所求. 2.解:设平行于且与曲线相切的直线为,并设切点.由,得,则切线的斜率,且,解得,而.故切点到直线的距离为所求最小值. 3.解:设切点.由于切点既在切线上又在抛物线上,依题意知,则,即得.由得则切线的斜率,得.又因为在抛物线上,有,即. 4.证明:依题意设,,且,.由,得,则切线的斜率分别为.于是切线方程为,即；同理切线方程为.又切线都经过点,将坐标代入分别得 ①, ②.将两式相减并化简得,即已证得三点的横坐标成等差数列. 5.解:设,且.则,设,则,且.易知:当时,；当时,.从而得在上递减,在上递增.故当时,,此时点. 6.解:(1)依题意,以的中点为原点建立平面直角坐标系,如图.设点坐标为,则满足方程,解得.所以 ,其定义域为. (2) 记,,则. 令解得.因为当时,；当时,.从而知在上递增,在上递减,所以.因此,当时,取得最大值,.即梯形面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $