提高专题2 利用导数探求参数的范围问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦利用导数探求参数范围专题，覆盖单调性、极值最值、零点三类核心考点，按“方法储备-典例精讲-拓展提升”逻辑架构，通过考点梳理（如分类讨论角度）、方法指导（数形结合等）、真题训练（模拟题等）环节，帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料特色在于对接高考命题规律，采用“问题驱动-方法提炼-分层演练”模式，如考点二通过四个讨论角度培养数学思维，典例中构造函数解决恒成立问题发展数学眼光，拓展练习分梯度保障效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供指导。

【二轮复习—函数与导数】 提高专题2 利用导数探求参数的范围问题 【方法储备】探究一 与单调性有关的参数问题 考点一：函数在某个区间上单调求参数的范围 1.数形结合：对于基本初等函数、分段函数，可结合函数图象列不等式，求参数的取值范围； 2.借助导数：转化为导函数在这个区间上恒大于等于0或者恒小于等于0，借助不等式恒成立的解法即可求出参数的范围. 考点二：含参分类讨论求函数单调性区间 讨论的角度：①讨论最高次幂的系数是否为0；②讨论导函数是否有变号零点；③若导函数有变号零点，讨论变化零点是否在函数定义域或指定区间内；④讨论导函数的变号零点之间的大小关系． 【典例精讲】 例1.(2025·湖南省长沙市·模拟题)已知函数，若在上单调递增，则实数的范围是(    ) A. B. C. D. 解：， ， 若在上单调递增， 则在恒成立， 令 则， 又， 故 ， 所以问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 令， ， 则有，即 解得． 故选：． 例2.(2025·全国·模拟题)已知函数与且在上都是增函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：由题意， 因为且， 所以，即， 又，且在上是增函数， 所以， 所以， 所以，所以， 又， 因为在上是增函数， 所以，即在上恒成立， 所以，即， 结合，解得， 故选B． 【拓展提升】 练1-1.(2025·浙江省·联考题)若函数在上单调递增，则和的可能取值为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 解：，且，且， ， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 要想在上单调递增， 只需，即 对于，， 设， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，当且仅当时等号成立． 所以，所以，即，不合题意； 对于，， 因为，所以，所以，不合题意； 对于，， 则，故，不合题意； 对于，， 则． 构造， 则 ， 所以在上单调递减， 所以，即． 因为，所以，所以， 所以，所以，符合题意． 故选D． 练1-2.(2025·福建省·月考试卷)已知函数． 若函数单调递增，求实数的取值范围； 若函数只有一个极值点，求实数的取值范围． 解：根据题意，，， 则， 若函数单调递增，等价于对任意恒成立， 则，即， 当时，，符合题意； 当时，可得解得； 综上所述：的取值范围为； 依题意，， 则只有一个变号零点， 显然不是的零点，所以， 则有一个变号交点， 令，， 可知函数在和单调递减，在上单调递增， ，且当或时，，当时，， 当时，， 图象如下所示， 若使有一个变号交点， 所以，解得， 所以的取值范围为．  【方法储备】探究二 与极值、最值有关的参数问题 考点一：已知极值（点）求参数 已知函数的极值求参数，往往是通过列方程来求解： 1.求参数的值：①导函数在极值点处的函数值等于0；②极值也是函数值，函数在极值点处的函数值等于极值； 2.验证：极值点都是导函数方程的解，但导函数方程的解不一定是极值点，要使导函数方程的解是极值点，必须满足函数在这个解左右两边的单调性正好相反，因此求出参数后，需带入原函数验证. 考点二：已知极值点个数求参 转化为已知导函数的变号零点个数求参，即求导后讨论导函数的零点个数来求解. 考点三：已知函数的最值求参 一般先求出函数在给定区间上的最值（含参数），根据最值列方程组或不等式组求参数的范围. 不等式恒成立问题，利用参变分离法求参数范围时，要构造新函数求最值从而求出参数的范围. 【典例精讲】  例3.(2025·山东省泰安市·月考试卷)已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：由可知， ， 又在区间上有最小值， 所以在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 所以解得， 故选D． 例4.(2024·浙江省嘉兴市模拟)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是          ． 解：， 若函数有两个极值点，即有两个不同实根， 即有两不同实根，令，则和在上有个交点， 又， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，而时，恒成立， 所以， 故答案为： ． 例5.(2024·江苏省南京市月考)已知函数 ． 当时，求函数的单调递增区间 若函数在的最小值为，求的最大值． 解：当时，， ， 函数和都为增函数且有共同的零点， 所以恒成立， 即的单调递增区间为  当时，， 则在取得最小值，符合题意； 当时，， 因为最小值为，所以得，即； 当时，由可知单调递增，则当时无最小值，不合题意； 当时，， 则有，不合题意； 综上可得，的最大值 ． 【拓展提升】 练2-1.(2024·广东省广州市月考)已知，分别是函数，且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是          ． 解：  至少要有两个零点  和  ， 构造函数  ，对其求导，  ，  若  ，则  在  上单调递增，此时若  ， 则  在  上单调递减，在  上单调递增， 此时若有  和  分别是函数  且  的极小值点和极大值点， 则  ，不符合题意；  若  ，则  在  上单调递减，此时若  ， 则  在  上单调递增，在  上单调递减， 令  ，则  ， 此时若有  和  分别是函数  且  的极小值点和极大值点，且  ，则需满足  ， 即 故  ， 所以  ． 练2-2.(2025·四川省巴中市·模拟题)函数，且在和处取得极值． 求和的值． 若在上的最大值为，最小值为，且，求正实数的值． 设若在上单调递减，求的取值范围． 解：， 由已知得：，得： 此时，， 令，得：或；，得：或； 在处取得极大值；在处取得极小值，符合题意， 故； 由知：，则， 易得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， 又因为，即：， 又，所以：； 因为在上单调递减，则在上 即在上恒成立， 设 则 故在单调递减，单调递增， 且， 故存在，使 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增， 所以， ， 即的取值范围为：． 【方法储备】探究三 与零点有关的参数问题 考点一：函数零点问题中的参数求解 1.图象法：常用于直线与(分段函数、周期函数、对称型函数 )的交点问题； 2.导数法：利用导数研究函数单调性，配合零点存在定理，逐个单调区间判断零点； 3.分离常数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 4.嵌套函数：①换元解套：转化为与的零点；②依次解方程，令，求，代入求出的值或判断图象交点个数. 【典例精讲】 例6.(2025·广东省惠州市·模拟题)已知，若有三个零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：的定义域为， 且， 所以是奇函数， 有三个零点， 等价于方程有三个不相等的实数根， 又是奇函数，可得， ，所以单调递减， 所以有，即， 所以问题等价于方程在上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线有三个不同的交点， 由， 得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 的取值范围为． 故选：． 例7.(2024·江苏省扬州市联考)已知函数． 若，判断函数的单调性，并求出的最值； 若函数有两个零点，求实数的取值范围． 解：易知函数的定义域为， 当时带入可得， ， 当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由此可得，的最小值为，无最大值 令，则，所以在单调递增，且，且与是一一对应关系， 则函数的零点即等价于， 令，则， 令可得， 单调递增 单调递减 又，时，，时，， 因此要想有两个零点，即．  【拓展提升】 练3-1.(2025·辽宁省丹东市·联考题)已知函数，若关于的方程有且仅有个不同的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：因为， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 注意到时，，，时，大致图象如下， 方程因式分解为， 由于，故知有三个解，故须使有一个不同的实数解， 由图象知． 故选：．    练3-2.(2025·广东省·联考题)已知函数的导函数为． 当时，求的图象在处的切线方程； 若有三个不同的零点，求实数的取值范围； 已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 解：当时，，则， 所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即． 由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为． 由题知，，其定义域为， 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以， 不妨设，则， 所以，所以 所以 ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 共13页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $