精品解析：江西吉安市井冈山市2025年下半年期末质量监测八年级数学试卷

2025年下半年期末质量监测八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 16的平方根是（ ） A. B. 4 C. -4 D. 2. 下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 两直线平行，同位角相等 D. 对顶角相等 3. 已知a，b，c为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 4. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 5. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6. 一次函数与正比例函数（为常数，且），它们在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点向右平移1个单位长度后的点的坐标是_____． 8. 若有意义，则x满足的条件是______． 9. 甲、乙两人10次射击成绩如图所示，从中可以发现这两人10次射击成绩的方差较大的是__________（填“甲”或“乙”） 10. 如图，已知一次函数与一次函数的图象相交点的横坐标为1，则方程组的解是_____． 11. 如图，若，且，，，则______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点且在第一象限，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，则点坐标为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程组：． 14. 如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点，，，，且，．求证：． 15. 已知的立方根是2，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 16. 图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为4（画出一个即可）； （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为（画出一个即可） 17. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线经过点和点． （1）求直线的解析式， （2）直线与坐标轴的交点坐标； （3）求的面积． 19. 如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余． （1）试说明：； （2）作的平分线交于点H，若，求的度数． 20. 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买， 两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 220 3 2 310 （1）求A，B两种型号智能机器人的单价． （2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，因实际需要，A型号智能机器人不少于6台，设购买型号机器人台，购买费用为万元．则该企业如何购买能使费用最少？购买费用最少是多少？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 乙 丙 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______； （2）若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适？请说明理由； （3）在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为和，则与的大小关系为：______． 22. 阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么A，B两点的距离，则． 例如：若点，则， 若点，且，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点，则两点间的距离是_____． （2）若点，且，则__________． （3）若点，点B在轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且． （1）________，________． （2）点是线段CD上一点，作交AB于点N，连接MN，求点N的坐标； （3）若为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下半年期末质量监测八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 16的平方根是（ ） A. B. 4 C. -4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 2. 下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 两直线平行，同位角相等 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意； B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，为假命题，不符合题意； C、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意； D、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 3. 已知a，b，c为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、C选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、D选项． 【详解】解：A、，且， ，故为直角三角形，本选项不符合题意； B、， 故为直角三角形，本选项不符合题意； C、， ，故不能判定是直角三角形，本选项符合题意； D、∵， ，故为直角三角形，本选项不符合题意． 故选：C． 4. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 5. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据折叠的性质得出，从而可得，再利用勾股定理列出关于的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故选：B． 6. 一次函数与正比例函数（为常数，且），它们在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，判断一次函数的图象，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据正比例函数（为常数，且）的图象排除A、C，再根据一次函数，分，两种情况讨论一次函数的特征，确定正确的选项．​ 【详解】解：对于正比例函数（）， ∵， ∴其图象必过原点，从左向右上升，经过第一、三象限， A、C都不符合，B、D符合． 对于一次函数， ∴其图象恒过定点． 当时​，的图象经过第一、三、四象限， 没有符合的选项． 当时​，的图象经过第一、二、四象限， 选项D符合， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点向右平移1个单位长度后的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求点沿x轴、y轴平移后的坐标，由平移方式确定点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变． 【详解】解：因为点向右平移1个单位长度， 所以横坐标变为，纵坐标不变，仍为1， 所以平移后的点坐标为． 故答案为：． 8. 若有意义，则x满足的条件是______． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,就可以求解. 【详解】解:式子有意义,得 x-3≥0, 解得x≥3, 故答案为:x≥3. 【点睛】本题主要考查二次根式的性质和分式的意义,要求被开方数大于等于0,分母不为0. 9. 甲、乙两人10次射击成绩如图所示，从中可以发现这两人10次射击成绩的方差较大的是__________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查箱线图，方差，根据箱线图判断哪组数据更集中即可． 【详解】解：从图中的箱线图可以看出：甲的成绩分布更分散（箱型更宽、数据波动范围更大），而乙的成绩相对集中，因此甲的方差较大． 故答案为：甲． 10. 如图，已知一次函数与一次函数的图象相交点的横坐标为1，则方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据一次函数与一次函数的图象相交点的横坐标为1，将横坐标代入一次函数中求得，即可得出方程组的解． 【详解】解：因为一次函数与一次函数的图象相交点的横坐标为1， 所以， 所以一次函数与一次函数的图象相交点的坐标为， 即方程组的解是， 故答案为：． 11. 如图，若，且，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，根据，得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点且在第一象限，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，则点坐标为_____． 【答案】，或 【解析】 【分析】分、两种情形，两种情形再分别分为锐角三角形、为钝角三角形两种情况，分别求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， 如图，过点P作轴于点C， 则，，， 又轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， 当时， 若是锐角三角形，如图， ， ∴， ∴此时， ∴点P的坐标为； 若是钝角三角形，为钝角，如图， 在中，， ∴； ∴点P的坐标为； 当时， 若为锐角三角形，如图， 则， 此时， ∴点P的坐标为； 若为钝角三角形，则为钝角， 此时点在第二象限，不符合； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，则点坐标为，或， 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，坐标系中的动点问题（不含函数），根据矩形的性质与判定求线段长，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先化简第1项与计算后面的乘法，再计算减法； （2）将方程①乘以2后与方程②相加，消去y求得x，再将求得的x的值代入方程②求得y即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ，得③， ，得， 解得：， 把代入②， 得， 解得：， ∴方程组的解为． 14. 如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点，，，，且，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，根据平行线判定与性质证明等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用平行线的判定得出，再利用平行线的性质得出与，从而可得出结论． 【详解】略 15. 已知的立方根是2，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，无理数的大小估算，求一个数的平方根，求一个数的算术平方根，已知一个数的立方根，求这个数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先利用立方根的意义、算术平方根的意义分别求得m，n，再利用无理数的大小估算得出d的值； （2）根据（1）中求得的字母的值，代入代数式求值，再求出它的平方根． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 解得：，； 又∵，是的整数部分， ∴， 综上，，，． 【小问2详解】 解：因为，，， 所以， 所以的平方根为． 16. 图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为4（画出一个即可）； （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为（画出一个即可） 【答案】（1）如图①，即为所求． （2）如图②，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）取格点C，连接，得到，则，即为所求； （2）取格点D，连接，得到，则，得出，故得等腰直角三角形且，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据题意易得到，在中，根据勾股定理得到，据此列方程，解方程即可． 【详解】解：设， 、 在中，由勾股定理得 解得 因此，秋千绳索的长度为尺． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线经过点和点． （1）求直线的解析式， （2）直线与坐标轴的交点坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）直线与轴交点为，与轴交点为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）设直线解析式为，把点和点代入，得到关于待求字母的方程组求解，从而可得出直线解析式； （2）取，求得函数值，得出与y轴的交点坐标；取，求得自变量的值，得出与x轴的交点坐标； （3）x轴将分为两个三角形：和，求出这两个三角形的和即可． 【小问1详解】 解：设直线解析式为， 把点和点代入， 得， 解得：， 所以直线解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 解得：， 所以直线与轴交点为，与轴交点为． 【小问3详解】 解：设直线与的交点为， 则， 所以被x轴分割为和， ， 所以的面积． 19. 如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余． （1）试说明：； （2）作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ， 与互余， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质及角平分线的有关计算． （1）由平行得，结合已知求出即可证出结论； （2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ， ，平分， ， ． 20. 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买， 两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 220 3 2 310 （1）求A，B两种型号智能机器人的单价． （2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，因实际需要，A型号智能机器人不少于6台，设购买型号机器人台，购买费用为万元．则该企业如何购买能使费用最少？购买费用最少是多少？ 【答案】（1）A型机器人单价为70万元，B型机器人单价为50万元 （2）该企业购买A型号机器人6台B型号机器人4台能使费用最少，最少为620万元 【解析】 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点． （1）设型机器人单价为万元，型机器人单价为万元，根据题意列出方程组求解； （2）根据题意列出一次函数，再利用增减性求出最小． 【小问1详解】 解：设型机器人单价为万元，型机器人单价为万元， ， 解得∶， 答：A型机器人单价为70万元，B型机器人单价为50万元． 【小问2详解】 解：由题意得， 因为A型号智能机器人不少于6台，且， 所以， ∵， ∴w随的增大而增大， ∴当时，w的值最小，此时， 台， 答：该企业购买A型号机器人6台B型号机器人4台能使费用最少，最少为620万元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 9 乙 丙 8 根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______； （2）若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适？请说明理由； （3）在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为和，则与的大小关系为：______． 【答案】（1）9， （2） 解：选甲更合适，理由如下： 由表格结合（1）可知，甲、乙、丙三人的平均数相同，则 甲的方差为，乙的方差为，丙的方差为， 由于， 则甲的方差最小，说明甲的成绩最稳定， 因此选甲更合适； （3） 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数、方差的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． （1）根据乙5次游泳成绩条形统计图计算中位数即可，根据丙5次游泳成绩扇形统计图计算平均数即可； （2）根据表格，结合平均数和方差的意义进行分析即可； （3）根据方差公式进行计算数据处理前后的方差，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：由乙5次游泳成绩条形统计图可知，乙的成绩排序为：7、9、9、9、10， 则中位数为9； 由丙5次游泳成绩扇形统计图可知，有2次成绩为10分，有3次成绩为8分， 则丙5次游泳成绩的平均数为：， 故答案为：9，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①甲“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：， 甲的方差为， 因此甲同学游泳成绩的方差分别为、， 则，即； ②乙“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：， 乙的方差为， 因此乙同学游泳成绩的方差分别为、， 则，即； ③丙“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：， 丙的方差为， 因此丙同学游泳成绩的方差分别为、， 则，即； 综上所述，与的大小关系为：． 故答案为：． 22. 阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么A，B两点的距离，则． 例如：若点，则， 若点，且，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点，则两点间的距离是_____． （2）若点，且，则__________． （3）若点，点B在轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． 【答案】（1） （2）0或2 （3）或 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离，利用平方根解方程，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式计算即可； （2）根据，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）设，根据两点间的距离公式列出方程进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，， 即， ∴， ∴或； 【小问3详解】 设， 由题意，， 解得或， ∴或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且． （1）________，________． （2）点是线段CD上一点，作交AB于点N，连接MN，求点N的坐标； （3）若为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4，2 （2）； （3）直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求出，由全等三角形的性质可得； （2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴点， ∴， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，2； 【小问2详解】 解：设直线对应的函数表达式为：， ∵， ∴， 把代入得， 解得， ∴直线对应的函数表达式为， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 【小问3详解】 解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形． ∵为直线上的点， ∴， ∴， ①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点， ∵， ∴轴，，点M的纵坐标为2，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴Q点的纵坐标为3， 把代入中得：， ∴点； ②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点． 则， ∴N点的横坐标为1， 则， ∵是以E为直角顶点的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M点的纵坐标为1， ∴Q点的纵坐标为1， 把代入中得：， ∴； 综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $