山东省泰安市2026年一模数学复习二次函数通关检测

山东省泰安市2026年一模复习二次函数通关检测 一、单选题（共48分） 1．（本题4分）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题4分）如图，已知函数与的图象交于两点，当时，的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 3．（本题4分）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中的运行路线是抛物线的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A．5米 B．4米 C．3米 D．2米 5．（本题4分）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（   ） 0 1 2 3 1 3 4 3 A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 6．（本题4分）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线是（    ） A． B． C． D． 7．（本题4分）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向下 B．函数图象与轴交点坐标为 C．函数图象的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 8．（本题4分）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　） A．B．C． D． 11．（本题4分）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A． B． C． D． 12．（本题4分）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 从表中可知，下列说法中正确的是（   ） A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点为 C．函数的最小值为1 D．当时，y随x增大而减小 二、填空题（共24分） 13．（本题4分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ． 14．（本题4分）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为 ． 15．（本题4分）已知二次函数，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ． 16．（本题4分）如图，二次函数的部分图象与轴交于，该函数图象的顶点坐标为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标为 ． 17．（本题4分）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有 个． 18．（本题4分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 来表示，已知 米，距离 点米处的棚高 为 米，抛物线解析式为 ， 若借助横梁 建一个门，要求门的高度为米，则横梁 的长度是 米． 三、解答题（共78分） 19．（本题9分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 20．（本题10分）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求m和n的值； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 21．（本题11分）已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求二次函数的表达式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； (4)当时，函数值，直接写出n的取值范围 ． 22．（本题11分）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 23．（本题12分）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本题13分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不低于成本价，且不高于100元． (1)直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果企业要使每天的销售利润不低于4000元，则每天的销售量最少应为多少件？ 25．（本题12分）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A，B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A，B，C三点，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用交点确定不等式的解集，关键要学会结合图象进行分析，找出x的取值范围．结合图象进行分析可知：当或时，对应的函数的图象在函数的图象下方，即可求解． 【详解】解：已知两函数图象交于、两点， 由图可知，当或时，对应的函数的图象在函数的图象下方， ∴当时，或． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则每件的利润为元，销售数量为件，再根据总利润等于每件的利润与销售数量的乘积即可求解． 【详解】解：设每件降价元，每星期售出商品的利润为元， 根据题意，得， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可． 【详解】解：令， 解得或， ∴抛物线与x轴交于点和， ∴水喷出的最远水平距离是（米）． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，增减性，对称轴与顶点坐标，熟记二次函数图象与性质并逐一分析各选项是解本题的关键． 【详解】解：∵当和时，， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相同，即，故A选项正确，不符合题意； ∵ 当时，， ∴ 顶点坐标为，故C选项正确，不符合题意； ∴当时，函数值， ∴ 抛物线开口向下，故D选项正确，不符合题意； ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误，符合题意； 故选：B 6．B 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据函数平移规则“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，得到， 再向上平移1个单位长度，得到． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数顶点式 的性质，分析图象的开口方向、与y轴交点、对称轴和增减性，进而可得答案． 【详解】解：∵是二次函数的顶点式，其中，，， ∴，抛物线开口向上，故A错误； 当时，，与y轴交点为，故B错误； 对称轴为直线，故C正确； ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 8．A 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质， 首先判断出二次函数开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，当时y随x的增大而减小，故对称轴直线需满足． 【详解】解：∵二次函数中二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴． 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过抛物线开口方向、对称轴位置及点A、B的横坐标范围，判断函数值大小及与2的关系，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴开口向上，对称轴， ∵， ∴对称轴满足， ∵点A横坐标满足，点B横坐标满足， ∴， ∴点A在对称轴右侧； 同理， ∴点B在对称轴右侧，函数递增， ∴由，得， 令，解方程，得， 解得：或， ∵， ∴， 当时，， ∵满足，且， ∴， ∵满足， ∴， 综上，， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数的图象，反比例函数的图象， 根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，推出，可得由抛物线与y轴的交点位置确定，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、二、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第一、三象限，由此可对各选项进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 对于一次函数，图象经过第二、三、四象限； 对于反比例函数，图象分布在第二、四象限； 综上，只有选项C的图象符合题意， 故选：C． 11．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，对称轴为直线，可以判断，，的值，进而说明①；再根据对称轴，解答②；将点代入抛物线得，解答③；接下来结合时，，解答④；然后求出抛物线与轴的另一个交点为，根据抛物线的性质解答⑤即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ， ，则①不正确； ， ，则②正确； 将点代入抛物线得，则③正确； 当时，，即，则④正确； 抛物线与轴交于点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当或时，，则⑤正确． 正确的有个． 故选：D． 12．B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据表格数据，确定抛物线的对称轴、与x轴的交点、最值和增减性，逐项判断正误． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为，故选项A错误，不符合题意． ∵点在抛物线上，且对称轴为， ∴点关于的对称点也在抛物线上，即抛物线与x轴的一个交点为，故选项B正确，符合题意． 当时，，为函数的最小值，故选项C错误，不符合题意． ∵抛物线开口向上（时y最小，两侧y值增大）， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，故当时y随x增大而增大，选项D错误，不符合题意． 故选：B． 13． 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标横坐标即为方程的解即可求解． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，由表格可知二次函数的图象与轴交于和两点，故设解析式为，再代入点求出的值，最后展开得一般式即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， 设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， ，即， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数图像开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小． 【详解】解：∵中，对称轴为直线， ∴函数图像开口向上，在对称轴左侧，即当时，函数值y随x的增大而减小． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据对称轴写出与轴的交点坐标是解题的关键． 首先根据顶点坐标得到对称轴，再根据一个与轴的交点写出另一个与轴的交点即可． 【详解】解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与轴交于， ∴另一个交点为， 故答案为：． 17．3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 18． 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；再利用代入解方程即可求出横梁 的长度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过，， 故， 解得：， 故抛物线解析式为：； 当时， ， 解得：，， 故． 故答案为：；． 19．(1)，， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线与图形面积问题，解题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点． （1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）先求出顶点，设抛物线对称轴与轴交于点，则，，，，，再由求解． 【详解】（1）解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 20．(1)0，2 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合、求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将点、代入即可求得m、n的值； （2）先求得抛物线的解析式，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）由（1）可知一次函数与二次函数的图象的交点坐标，然后确定一次函数的图象在二次函数的图象上方部分所对的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点、， ∴，，解得：． （2）解：由（1）可知，， ∵二次函数的图象过点，， 则，解得：， ∴， ∵， ∴当时，有最小值； 当时，有最大值0； ∴当时，． （3）解：一次函数与二次函数的图象相交于点、， ∴由函数图象可得：当时，自变量x的取值范围或． 21．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）先求得顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求得当时，y的最大值与最小值，再计算即可解答； （3）根据函数的增减性，再结合函数图象即可解答； （4）先求得当时，的值，再结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：由图象知，抛物线经过点和， ∴对称轴直线为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为，将代入得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由题意得当时，y有最大值为4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的最大值与最小值的差为； （3）解：由题意得，当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大，∴m的取值范围是； 故答案为：； （4）解：当时，，解得或， 由图可知： 当时，函数值，n的取值范围． 故答案为：． 22．(1) (2)该男生在此项考试中得优秀 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． （2）解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 23．(1) (2)的面积为8 (3)点的坐标为和 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）将点和代入解析式求解即可； （2）然后令解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再将二次函数解析式变为顶点式求出点M，进而即可求解； （3）设的高为h，由求出h，然后代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入， 得，， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴，， ∴． ∵， ∴顶点． 的高为顶点到轴的距离， ∴面积为 ； （3）解：设的高为h， 由，得 解得， 即点P的纵坐标为5或． 当时， 解得或， ∴或． 当时， ， ∴， ∴方程无实数解， 综上所述，存在点P，坐标为和． 24．(1) (2)销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元 (3)每天的销售量最少应为100件 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次不等式的应用． （1）根据销售单价与销售量的变化关系直接写出函数式即可； （2）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出二次函数解析式，转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答即可； （3）根据题意得到，解得，即每天的销售利润不低于4000元时，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵当销售单价为100元时，销售量为50件；销售单价每降低1元，销售量增加5件， ∴设销售单价为元，则销售量， ∵销售单价不低于成本价50元且不高于100元， ∴， ∴； （2）解：设销售利润为元， 由题意得 ， ， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵，对称轴是直线， ∴当时，； 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元； （3）解：∵每天的销售利润不低于4000元， ∴， 解得， 即每天的销售利润不低于4000元时， ∵销售量，y随x增大而减小， ∴当时，y最小，此时， ∴每天的销售量最少应为100件． 25．(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 对于（1），先求出点A的坐标，再将其坐标的代入二次函数关系式可得答案，然后将两个函数关系式联立，求出解可点B坐标； 对于（2），先求出，再根据可得答案； 对于（3），根据二次函数的图象在一次函数图象的上方时的自变量的取值范围即为答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为． 将两个函数关系式联立，得 ， 解得，则， ∴点； （2）解：当时，， ∴点． 当时，， ∴点， ∴ ∴． （3）解：当或时，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $