第04讲 不等式（组）及其应用（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第04讲 不等式（组）及其应用 第二章 方程（组）与不等式（组） 4大考点 4大重难突破 4大中考命题点 15题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 不等式的基本性质 1.理解不等式的概念，掌握不等式的三条基本性质，能区分不等式性质与等式性质的异同。 2.能运用不等式的基本性质对不等式进行变形，判断不等式变形的正误。 基础题型：以选择题或填空题为主，考查对性质的辨析。（如2025·四川绵阳卷，2025·山东济南卷，2025·江苏常州卷等） 易错点：忽略不等式两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向需要改变；混淆“≥“≤"与“>“<”的区别。 考情规律：此考点单独命题难度较低，常与后续解不等式（组）结合考查，是解题的基础。 一元一次不等式的解法 1.理解一元一次不等式的定义（只含一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式）。 2.掌握一元一次不等式的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，能正确求解并在数轴上表示解集。 基础题型：直接求解一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。（如2025·山东滨州卷，2025·陕西卷，2025·河北卷等） 选择题中给出不等式的解集，反求参数的值或取值范围。（如2025·福建卷等） 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 一元一次不等式组的解法及解集表示 1.理解一元一次不等式组的定义，掌握不等式组解集的概念（几个不等式解集的公共部分）。 2.能熟练求解一元一次不等式组，并会用数轴或口诀确定解集；能根据不等式组的解集情况，求参数的取值范围。 基础题型：解答题中直接求解不等式组。（如2025·江苏南京卷，2025·山东东营卷，2025·江苏淮安卷等）；选择题中考查不等式组解集的数轴表示，要求学生能识别正确的数轴图像。（如2025·内蒙古卷等） 进阶题型：已知不等式组的解集,求参数的取值范围。（如2025·黑龙江卷，2025·四川南充卷，2025·四川眉山卷等） 不等式（组）的实际应用 1.能从实际问题中抽象出不等式（组）模型，分析数量关系中的不等关系（如“至少”“最多”“不超过”“不少于”等关键词）。 2.能根据实际问题的意义，检验不等式（组）的解是否合理，并给出符合题意的答案（如整数解）。 多为解答题，难度中等。 方案问题（2025·四川绵阳卷、2025·江苏盐城卷、2025·山东潍坊卷等）； 销售利润问题（2025·山东济南卷、2025·宁夏卷、2025·四川资阳卷等）； 与函数综合题型（2025·黑龙江绥化卷、2025·湖北武汉卷等）。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 不等式与函数的综合应用 1.理解函数与一元一次不等式的关系，能从函数图像的角度，解释不等式的解集； 2.能结合函数的增减性，在不等式（组）的限制下求函数的最值。 多为解答题或选择题，难度中等。与函数相关（2025·陕西卷、2025·青海卷等）； 命题预测 命题趋势：基础运算为载体、实际应用为核心、函数综合为提升 中考对不等式（组）及其应用的考查，将持续以基础运算为载体、实际应用为核心、函数综合为提升的方向发展，基础题型（如不等式性质辨析、一元一次不等式 <组> 求解）占比稳定且难度偏低，侧重对运算规范性和细节的考查；实际应用题型会更贴近生活场景（如环保、消费、校园管理等），强调从文字中提取不等关系的能力；与一次函数的综合题仍是拉分重点，常以方案设计、最值求解的形式作为解答题压轴部分，同时会适度融入参数问题，考查分类讨论和数形结合的思想，整体命题呈现 “基础题保分、中档题区分、压轴题选拔” 的梯度特征。 备考建议：夯实基础 — 突破应用 — 强化综合 通过专项训练熟练掌握不等式的基本性质、解题步骤及数轴表示方法，攻克系数化为 1 时不等号方向变化、参数取值范围等易错点；再聚焦实际应用题型，总结 “设未知数 — 找不等关键词 — 列不等式 < 组 >— 验实际解” 的解题流程，积累不同场景的解题模板；最后加强与一次函数的综合训练，重点掌握利用不等式组确定自变量范围、结合函数增减性求最值的方法，同时通过真题限时训练提升解题速度和规范性，确保基础题不丢分、中档题稳得分、压轴题争得分。 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 不等式的基本性质 不等式的基本性质 性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变； 若 性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 若或 性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 若，则或 性质4： 1.乘除负数时，忘记改变不等号方向 等式两边乘除任意非零数，等式仍成立； 但不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变。 2.盲目对不等式进行相减或相除运算 很多学生类比等式的运算规则，误认为不等式也能直接相减、相除，忽略了性质的适用条件。 易错点 真题 • 实战精炼 本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 解析 考点一 不等式的基本性质 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． C 解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 真题 • 实战精炼 考点一 不等式的基本性质 2．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． D 解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 真题 • 实战精炼 本题主要考查了不等式的基本性质． 根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数𝒄，不等式方向不变，即可求解． 解析 考点一 不等式的基本性质 3．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． A 解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 真题 • 实战精炼 考点一 不等式的基本性质 4．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． A 解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为:． 解：∵，∴， ∴， 知识 • 核心梳理 考点二 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的基本步骤 1.去分母 根据不等式的基本性质，两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 2.去括号 运用乘法分配律去掉括号，注意符号变化：括号前是“—”时，括号内各项要变号。 3.移项 把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号(依据不等式加减性质)。 4.合并同类项 分别合并含未知数的项和常数项，化为的形式。 示例 解不等式， (1)两边乘2得:。 (2)去括号得:。 (3)移项得: (4)合并同类项得:-3 注意： 若最小公倍数为负数，不等号方向要改变； 若分母中有小数，可先化为整数再计算。 5.系数化为1 两边同时除以未知数的系数a,转化为最简形式。 若，不等号方向不变，得(或对应其他符号)； 若，不等号方向必须改变，得(或对应其他符号)。 (5)两边除以-5，不等号变向，得: 真题 • 实战精炼 本题考查求不等式的解集， 在数轴上表示解集， 先求出不等式的解集， 定边界， 定方向， 表示出不等式的解集． 解析 考点二 一元一次不等式的解法 1．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： C 真题 • 实战精炼 本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算零指数幂、立方根和除法，再计算加减法即可； （2）依次去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解不等式． 解析 考点二 一元一次不等式的解法 2．（2025·山东滨州·中考真题） （1）计算：； （2）解不等式：． 解：（1） （2） 去括号，得: ， 移项，合并同类项，得： ， 系数化1，得： ． 真题 • 实战精炼 本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 解析 考点二 一元一次不等式的解法 3．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 解： 去括号得： ， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 知识 • 核心梳理 考点三 一元一次不等式组的解法 1.解组内每一个一元一次不等式 按照一元一次不等式的解法步骤 (去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1), 分别求出不等式组中每个不等式的解集。 注意：系数化为1时，若系数为负数，不等号方向必须改变。 2.利用数轴或口诀确定公共解集 这是解不等式组的关键步骤，有两种常用方法： 方法一：数轴法(直观准确，推荐中考使用) ①画出数轴，标注出每个不等式的解集； ②找出数轴上所有解集重叠的区域，该区域就是不等式组的解集； ③若没有重叠区域，则不等式组无解。 方法二：口诀法（快速判断，适合简单不等式组） 中考常用口诀： 同大取大， 同小取小， 大小小大中间找， 大大小小找不到 知识 • 核心梳理 考点三 一元一次不等式组的解法 不等式组解集类型 口诀对应 示例 最终解集 3.写出不等式组的最终解集 根据公共区域的判断结果，规范写出解集； 若无解，直接注明“不等式组无解”。 注意： 解集的书写要符合规范 如 不能写成 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 无解 真题 • 实战精炼 本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 解析 考点三 一元一次不等式组的解法 1．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为． 在数轴上表示如图 真题 • 实战精炼 考点三 一元一次不等式组的解法 2．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如图： ∴不等式组解集为 真题 • 实战精炼 考点三 一元一次不等式组的解法 3．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集． 解：， 由①得：， 由②得：， 将不等式组的解集在数轴表示： ∴不等式组解集为． 真题 • 实战精炼 考点三 一元一次不等式组的解法 4．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． （1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 真题 • 实战精炼 考点三 一元一次不等式组的解法 4．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 真题 • 实战精炼 本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法；先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可； 解析 考点三 一元一次不等式组的解法 5．（2025·山东威海·中考真题）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： 知识 • 核心梳理 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 ①抓显性关键词： 直接锁定表示不等关系的词汇，如“至少(≥)"“至多(≤)"“超过(>)"“不足(<)”“不低于”“不超过“等，根据关键词确定不等号方向。 ②挖隐性限制条件： 这类条件题干不会直接说明，但必须满足，如“人数为正整数”物品数量为非负整数”“时间/长度为正数”等，这是后续验证解集的重要依据。 ③设未知数： 通常设所求量为x,若有多个相关量，用含x的代数式表示其他量，设未知数时要带单位，表述清晰。 一、核心思路： 转化—求解一验证 三步逻辑 1.第一步：实际问题 不等关系 转化 关键点：从题干中提取显性和隐性的不等条件 知识 • 核心梳理 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 需要用数学符号语言翻译第一步找到的不等关系。 ①列不等式（组）： 用含未知数的代数式表示各量，结合不等关键词列出不等式；若有多个不等条件，需列出不等式组。 ②解不等式（组）： 按照一元一次不等式（组）的解法步骤求解，系数化为1时注意判断系数正负，不等号方向是否需要改变；解不等式组时取各不等式解集的公共部分。 2.第二步：不等关系 转化 不等式（组）求解 知识 • 核心梳理 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 这是解题的关键收尾步骤，也是中考的高频丢分点。 验证逻辑：数学解集是理论范围，必须结合实际问题的意义筛选，比如人数、物品件数只能是正整数或非负整数，单价、时间只能是正数。 得出结论：若解集为连续范围，需提取其中符合实际的整数解；若题目要求“设计方案”，需列出所有符合条件的解；若要求“最值”，需在整数解中找到最大或最小值。 转化 3.第三步：数学解集 实际意义验证 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 1．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售； 超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售； 超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 1．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售； 超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售； 超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ 1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 1．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售； 超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售； 超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数，∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册， 方案1所需费用最少，为850元． 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 2．（2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 2．（2025·湖北武汉·中考真题） 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 解：建立模型：将点，代入得： ， 解得， ∴与的函数解析式： ． 应用模型： （1）令， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 2．（2025·湖北武汉·中考真题） 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【应用模型】 （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，； 当时，， ∴， 解得， 所以的取值范围为． 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 3．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ， 解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 3．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ （2）解：设购买“蜀宝”个，则： 购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一： 购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二： 购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三： 购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 3．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ （3）解：由题意，得： ， ∴随着的增大而增大， ∴当时， 即方案一需要的资金最少， 最少资金是： （元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 4．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ （1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．由题意可得： ， 得． 答：A型挂面每袋20元， B型挂面每袋30元． 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 4．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得： ． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案， 最低费用为900元． 真题 • 实战精炼 考点四 一元一次不等式（组）实际应用 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． （1）解：∵， ∴当时， ； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得： ， 解得：， 又∵， ∴． 答：芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间．   不等式及其基本性质 命题点一 ►题型01 不等式的解集 ►题型02 利用不等式的基本性质判断等式是否正确 ►题型03 数轴与不等式综合 本题主要考查了解不等式、解集的表示． 根据数轴表示的不等式解集，与不等式的解集对比即可得到答案． 解析 ►题型01 不等式的解集 【典例】（2025·河北邢台·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 解：由题意，得解集为． ∵， 则， ， ， B ►题型01 不等式的解集 【变式1】（2025·四川绵阳·三模） 下列各项中是满足不等式的无理数的是（    ） A． B． C． D．1 A 解：A、∵，∴， 是无理数，故此选项符合题意； B、∴，∴， ∴，故此选项不符合题意； C、，是有理数，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 本题考查方程的解、绝对值的意义、算术平方根和不等式的解，掌握以上知识的计算是关键． 解析 ►题型01 不等式的解集 【变式2】（2025·山东烟台·二模）设，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． C 解：A、把代入得到左边， 右边，不成立； B、把代入得到， 右边，故不成立； C、把代入得到左边， 右边，故成立； D、把代入得到，故不成立． ►题型01 不等式的解集 【变式3】（2025·河南商丘·二模）在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． A 解：A． 玩家位置范围为，危险区域范围为， 两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域； B． 玩家位置范围为，危险区域范围为， 两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； C． 玩家位置范围为，危险区域范围为， 两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； D． 玩家位置范围为，危险区域范围为， 两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； 本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 解析 ►题型01 不等式的解集 【变式4】（2025·山东淄博·一模）下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． C 解： A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意；  ►题型02 利用不等式的基本性质判断等式是否正确 利用不等式基本性质判断不等式是否成立，核心是紧扣性质条件，逐一验证变形过程是否符合规则，尤其注意乘除负数变号和性质适用范围两大关键点。 一、核心判断步骤 1.明确已知不等式关系 先确定题干给出的基础不等式(如a>b),以及附加条件(如c>0、c<0或c=0)。 2.分析变形方式 观察待判断不等式是由已知不等式经过加减、乘除、移项中的哪种变形得到的。 3.对照性质验证 结合不等式的基本性质，判断变形过程是否合规： 加减变形：两边同时加减同一个数/式，不等号方向一定不变； 乘除变形：乘除正数，不等号方向不变；乘除负数，不等号方向必须改变；乘除0，不等式变等式； 传递性/同向相加：仅适用于同向不等式，异向不等式无此性质。 4.得出结论 变形符合性质则不等式成立，不符合则不成立。 此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质． 根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 解析 ►题型02 利用不等式的基本性质判断等式是否正确 【典例】（2025·江苏苏州·模拟预测） 如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 解：∵∴， 不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， A正确，不符合题意； ∵， 不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ， 不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意； D ►题型02 利用不等式的基本性质判断等式是否正确 【变式1】（2025·上海·模拟预测） 若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 解： A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意． C ►题型02 利用不等式的基本性质判断等式是否正确 【变式2】（2025·山东济南·中考真题） 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． D 解： A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， ►题型02 利用不等式的基本性质判断等式是否正确 【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，那么 C 解： A. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意； B. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意； C. 当 取负数时， 不一定成立。 例如，取 ，满足 ，但此时 ， 不满足 ，故该选项说法错误，符合题意； D. 如果，，那么，故该选项说法正确，不符合题意； 本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键： 正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变， 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 解析 ►题型02 利用不等式的基本性质判断等式是否正确 【变式4】（2025·浙江台州·三模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 解 、∵，∴， 原选项错误，不符合题意； 、∵，∴， 原选项错误，不符合题意； 、∵，∴， 原选项正确，符合题意； 、∵，∴， 原选项错误，不符合题意； C 本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可． 解析 ►题型03 数轴与不等式综合 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解：观察数轴可知： ，，，， ∴， ∴，， ，， ∴A，B，C选项均错误，D选项正确， D ►题型03 数轴与不等式综合 【变式1】（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 解： 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 该题考查了数轴，不等式的性质， 根据数轴得出a<b<0，即可得2a+b<0， 从而解答． 解析 ►题型03 数轴与不等式综合 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）如图，数轴上有两个点，记作点A，点B，分别表示的数为a，b，点O为坐标原点，则的值可能为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 解：根据点A，点B都在坐标原点O的左边， ∴， ∴， ∴， 故的值可能为， D ►题型03 数轴与不等式综合 【变式3】（2025·河南郑州·三模）不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则盖住的符号是（   ） A． B． C． D． 解：由题意得：不等式的解集为：， ， ，则盖住的符号是． B 【变式4】（2025·吉林长春·二模）实数在数轴上对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（　　） A． B． C．0 D．2 解：根据题意得到，， ∴， ∵，∴，∴结合选项，的值可以是 A 一元一次不等式的解法 命题点二 ►题型01 一元一次不等式的解在数轴上表示 ►题型02 解一元一次不等式（计算题） ►题型03 已知一元一次不等式解集的情况求参数 ►题型04 列一元一次不等式 ►题型01 一元一次不等式的解在数轴上表示 第一步：准确求解一元一次不等式的解集 这是数轴表示的前提，若解集计算错误，后续数轴标注必然出错。 1.按照一元一次不等式的标准解法步骤计算： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.核心注意点：系数化为1时，必须判断系数的正负 ——系数为正，不等号方向不变； ——系数为负，不等号方向改变。 核心思路：先求解集，再规范标注 本质：将抽象的代数解集转化为直观的数轴图形， 关键：把握点的类型（空心/实心）和射线方向两大要素。 具体解题思路分为三步： ►题型01 一元一次不等式的解在数轴上表示 第二步：依据解集，对照选项逐项排除 拿到解集后，从两个关键维度验证选项， 不符合任一维度即可直接排除： 维度1：判断关键点的标注类型 (空心圆圈/实心圆点) 规则：带等号(≥、≤)→实心圆点； 不带等号(>、<)→空心圆圈。 维度2：判断射线的延伸方向 规则：大于(>、≥)→向右画射线； 小于(<、≤)→向左画射线。 第三步（验证）：代入特殊值，确认选项正确性 若排除后仍有模糊选项，可选取选项数轴上的一个点代入原不等式验证： 若点在解集内，代入后不等式应成立； 若点不在解集内，代入后应不成立。 解集x <2 →关键点2处是空心圆圈， 选项中若标实心圆点，直接排除。 解集x<2 →从2的空心圆圈向左延伸， 选项中若向右延伸，直接排除。 示例 维度1： 维度2： ►题型01 一元一次不等式的解在数轴上表示 【典例】（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： C ►题型01 一元一次不等式的解在数轴上表示 【变式1】（2025·浙江丽水·二模） 不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 解：， ， ， ∴， D ►题型01 一元一次不等式的解在数轴上表示 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 解：， 解得：， 在数轴上表示为：   D ►题型01 一元一次不等式的解在数轴上表示 A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖北·模拟预测） 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） 解：∵不等式， ∴ 解得：， 在数轴上表示，如图所示： B ►题型01 一元一次不等式的解在数轴上表示 【变式4】（2025·浙江·模拟预测） 不等式的解在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 解得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： A ►题型02 解一元一次不等式（计算题） 解一元一次不等式的计算步骤与解一元一次方程类似，但因不等号方向的变化规则，衍生出专属易错点，这些也是中考计算题的主要丢分点，具体归纳如下： 1.漏乘不含分母的项 去分母时，两边需同乘所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，包括常数项和不含分母的项，学生易忽略常数项的乘法运算。 2.分母为负数时，未变不等号方向 若不等式两边同乘负数去分母，不等号方向必须改变，常忽略这一规则。 解不等式， 两边乘2，错误得： 正确解法： 两边乘2，得。 错误示例 1.漏乘不含分母的项 解不等式， 两边乘-3,错误得：x<-6; 正确解法： 两边乘一3，不等号变向，得： x>－6。 2.分母为负数时，未变不等号方向 ►题型02 解一元一次不等式（计算题） 解一元一次不等式的计算步骤与解一元一次方程类似，但因不等号方向的变化规则，衍生出专属易错点，这些也是中考计算题的主要丢分点，具体归纳如下： 3.为负数时，未改变不等号方向 这是解不等式计算的头号丢分点，学生常照搬解方程的思路，忽略“乘除负数要变号”的规则。 关键提醒： 系数化为1前，先判断系数正负 系数正，不等号方向不变； 系数负，不等号必须变向。 错误示例 3.为负数时，未改变不等号方向 解不等式， 两边除以-4，错误得： ； 正确解法： 两边除以-4，不等号变向， 得：。 根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可． 本题考查求一元一次不等式的非负整数解，正确计算不等式的解集是解题的关键． 解析 ►题型02 解一元一次不等式（计算题） 【典例】（2025·西藏·模拟预测）解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 解：去分母得： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为得： ， 非负整数解为：，，． ►题型02 解一元一次不等式（计算题） 【变式1】（2025·陕西榆林·模拟预测） 解不等式：，并写出该不等式的最大整数解． 解：去分母，得： ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得： ， ∴该不等式的最大整数解为． 【变式2】（2025·陕西榆林·三模） 解不等式：，并写出该不等式的非负整数解． 解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并，得： 系数化1，得： ∴原不等式的非负整数解为0，1． 本题主要考查了解一元一次不等式、求不等式的整数解等知识点，根据不等式的解集确定最大整数解是解题的关键． 先解不等式求得解集，然后再根据不等式的解集确定最大整数解即可． 解析 ►题型02 解一元一次不等式（计算题） 【变式3】（2025·陕西西安·二模） 解不等式，并写出满足不等式的最大整数解． 解：， ， ， ， ； 则不等式的最大整数解为． ►题型02 解一元一次不等式（计算题） 【变式4】（2025·江苏·一模） 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： 【变式5】（2025·安徽淮南·二模）解不等式：，并在数轴上表示出其解集． 解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示出解集，如图所示： 本题考查一元一次不等式的非负整数解问题． 首先解不等式得到x的范围，再根据非负整数解的个数确定参数a的取值范围． 解析 ►题型03 已知一元一次不等式解集的情况求参数 【典例】（2025·河南商丘·三模）关于x的不等式的非负整数解仅有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． C 解：解不等式，得． 题目要求非负整数解仅有2个， 即x的非负整数解为0和1． 当时，x的非负整数解为0和1， 恰好满足2个解，因此． 若，则x的非负整数解为0、1、2，共3个， 不符合题意，因此． 综上，a的取值范围为， ►题型03 已知一元一次不等式解集的情况求参数 【变式1】（2025·江苏南通·一模） 关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． A 解：解不等式得： ， ∵关于的不等式恰有三个非负整数解， ∴， 解得：， 本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点， 能得出关于m的不等式是解此题的关键． 根据题意将方程组相减得𝒙−𝟐𝒚=𝟑𝒎−𝟐，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解． 解析 ►题型03 已知一元一次不等式解集的情况求参数 【变式2】（2025·广东广州·一模） 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 B 解：， 得： ， ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为4， ►题型03 已知一元一次不等式解集的情况求参数 【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模） 若实数2不是不等式的解，则可取的最大整数为 ． 2 解：∵若实数2不是不等式的解， ∴实数2是不等式的解， ∵解不等式得： ， ∴ ， ∴， ∴可取的最大整数为2， ►题型03 已知一元一次不等式解集的情况求参数 【变式4】（2025·江苏宿迁·一模） 若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是 ． 解：由不等式可知： ， ∵关于的不等式的最小整数解是2， ∴， 解得：； 本题考查列一元一次不等式，根据做成清明粿质量超过20斤，列出不等式即可． 解析 ►题型04 列一元一次不等式 【典例】（2025·浙江金华·二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（   ） A． B． C． D． 解：由题意，可列出不等式为： ； C 本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 解析 ►题型04 列一元一次不等式 【变式1】（2025·浙江·二模）某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． A 解：根据题意可得导火索燃烧完的时间为，人跑开的时间为． ∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域， ∴导火索燃烧完的时间要大于人跑开的时间， 即， ►题型04 列一元一次不等式 【变式2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图是某道路的限速标志，规定小型汽车在该路段行驶的速度不超过．若用表示小型汽车的速度，则符合该路段限速规定的不等式是（    ） A． B． C． D． 解：∵小型汽车在该路段行驶的速度不超过， ∴， A 【变式3】（2025·河北·一模）某中学男子跑的原记录是，嘉嘉在本次校田径运动会上打破了该项记录，设嘉嘉比赛中跑步的平均速度为，则下列符合题意的不等式为（   ） A． B． C． D． A 解：∵嘉嘉比赛中跑步的平均速度为， 要打破原记录，嘉嘉所跑的路程要大于， ∴， 一元一次不等式组的解法 命题点三 ►题型01 一元一次不等式组与数轴结合 ►题型02 解一元一次不等式组（计算题） ►题型03 已知一元一次不等式组整数解求参数 ►题型04 已知一元一次不等式组有无解求参数 ►题型05 已知一元一次不等式组解的情况求参数 ►题型01 一元一次不等式组与数轴结合 【典例】（2026·辽宁阜新·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 解：∵， ∴由得， ∴由得， 该不等式组的解集在数轴上表示为： A 本题考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来； 分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可． 解析 ►题型01 一元一次不等式组与数轴结合 【变式1】（2025·山东枣庄·模拟预测） 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 解：解不等式，得； 解不等式，得； 则不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： A ►题型01 一元一次不等式组与数轴结合 A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西·一模） 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， A 在数轴上表示如下图： ►题型01 一元一次不等式组与数轴结合 【变式3】（2025·山东泰安·一模）解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 解：根据数轴表示，该不等式组的解集表示为， 对于A，，解得： ，不满足题意； 对于B，，解得：，满足题意； 对于C，，解得：，不满足题意； 对于D，，解得：，不满足题意； B 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可得到答案． 解析 ►题型01 一元一次不等式组与数轴结合 A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖北·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） 解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ►题型02 解一元一次不等式组（计算题） 核心： 先解单个不等式， 再取公共解集, 错误示例 解不等式-2x>4, 错误得：x>-2; 正确结果：x<-2。 1.系数化为1时，乘除负数忘变号 易错点： 单个不等式求解错误、 公共解集判断偏差 细节规范失误 具体梳理如下： 一、解单个不等式时的“连带错误” 这类错误会直接导致后续公共解集判断全部出错，是最基础也最易忽略的问题。 1.系数化为1时，乘除负数忘变号 解组内单个不等式时，若系数为负，不等号方向必须改变，学生常照搬解方程思路，忽略变号规则。 2.去分母漏乘常数项、去括号漏变号 去分母时未给不含分母的项乘最小公倍数，或括号前早负号时，括号内部分项未变号，导致单个不等式解集错误。 ►题型02 解一元一次不等式组（计算题） 二、公共解集判断的核心易错点 这是解不等式组的专属易错点，也是中考丢分重灾区。 1.混淆口诀适用场景，错判公共解集 对“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀理解模糊，尤其含等号时易出错。 正确判断：属于“大大小小找不到”,不等式组无解。 关键提醒：判断前先把每个解集整理成或的形式，再对比大小。 2.数轴标注时，空心圆圈与实心圆点混淆 用数轴找公共解集时，把“>、<”对应的空心圆圈，和“≥、≤”对应的实心圆点搞混，导致公共范围判断失误。 正确规则：带等号用实心，不带等号用空心。 3.遗漏“等号”对公共解集的影响 忽略等号是否包含在解集中，导致解集边界错误。 错误示例 解不等式组, 错误解集： 在数轴上表示解集x>3 错误标成：实心圆点； ，错误认为无解； 正确解集：无解 2.空心圆圈与实心圆点混淆 1.错判公共解集 正确标成：空心圆圈 正确解是： 3.遗漏“等号” ►题型02 解一元一次不等式组（计算题） 【典例】（2026·陕西西安·一模） 解不等式组：． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为： ． 【变式1】（2025·江苏连云港·二模） 解不等式组 解：， 由①得：； 由②得：； ∴不等式组解集为： ． 本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键． 先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可． 解析 ►题型02 解一元一次不等式组（计算题） 【变式2】（2025·山西·一模）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图： ►题型02 解一元一次不等式组（计算题） 【变式3】（2025·黑龙江·一模） 解不等式组． 【变式4】（2025·江苏·一模） 解不等式组：． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为： ． ►题型03 已知一元一次不等式组整数解求参数 【典例】（2025·云南丽江·模拟预测）若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 解：∵ ∴解得：， 解得：， 原不等式组恰有2个整数解， 这2个整数解必然是5，6， ， 解得：， ►题型03 已知一元一次不等式组整数解求参数 【变式1】（2025·四川成都·三模） 已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为 ． 解：解不等式组得：， ∴正整数的值为4、5、6、7， 解分式方程得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴分式方程有整数解的概率为， ►题型03 已知一元一次不等式组整数解求参数 【变式2】（2025·四川绵阳·三模）若关于x的不等式组共有4个整数解，则a的取值范围是 ． 解： 解不等式①得 解不等式②得 则不等式组的解集为 ∵不等式组只有4个整数解 ∴整数解是，，，1． ， 解得： ►题型03 已知一元一次不等式组整数解求参数 【变式3】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知关于x的不等式组只有两个整数解，则m的取值范围是 ． 解：， 由①得， 由②得， ∵原不等式组有且只有两个整数解， ∴，且的整数值为，， ∴． ►题型03 已知一元一次不等式组整数解求参数 【变式4】（2025·四川泸州·二模）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是 ． 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组只有4个整数解， 为2，1，0，， ∴， ∴． ►题型04 已知一元一次不等式组的解集（有无解）求参数 【典例】（2025·黑龙江大庆·三模）若关于的不等式组无解，则所有满足条件的正整数的和为 ． 解：， 解不等式得，， 不等式组无解， ∴， ∴正整数的值为或． ∴所有满足条件的正整数的和为； ►题型04 已知一元一次不等式组的解集（有无解）求参数 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 解： 由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， ►题型04 已知一元一次不等式组的解集（有无解）求参数 【变式2】（2025·黑龙江大庆·一模）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，， 解③得， 则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，， 解③得为任意实数， 则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，， 解③得， 则， 解得； 综上所述，的取值范围为， ►题型04 已知一元一次不等式组的解集（有无解）求参数 【变式3】（2025·河南周口·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组有解， ， ►题型04 已知一元一次不等式组的解集（有无解）求参数 【变式4】（2024·重庆·一模）若数 a既使得关于x的不等式组 无解，又使得关于y的分式方程 的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为 ． 解：， 由①得， 由②得， 不等式组无解， ， 解得， ， ， ， 方程的解不小于1， ， ， ， ， 满足条件的所有整数为： 4，3，2，1，0，，，，， ， 满足条件的所有整数的和是， ►题型05 已知一元一次不等式组解的情况求参数 【典例】（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 解：解不等式得：； 解不等式得：， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解：0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， ∴， 解得：． ►题型05 已知一元一次不等式组解的情况求参数 【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 解： 解不等式得， 解不等式得， 关于的不等式组的解集是， ， ►题型05 已知一元一次不等式组解的情况求参数 【变式2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）关于的不等式组的解集为，则所有正整数的和为 ． 10 解： 解①得： 解②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， ∴ 则正整数有1，2，3，4， ∴， ►题型05 已知一元一次不等式组解的情况求参数 【变式3】（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 解：解不等式得，， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ，， 可以取任意实数， 那么的解必然能使该不等式成立， ∴满足条件． 当，即时 不等式 其解为． ∵的解都能使成立， ∴．解不等式： ，结合前提， 这种情况满足条件． 当，即时 不等式 其解为． 要使的解都能使 成立， 那么． 解不等式： ，结合前提， 得到． 综合以上三种情况． ►题型05 已知一元一次不等式组解的情况求参数 【变式4】（2025·重庆开州·二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 解： 两边同时乘以6得： 解得：， ， 解得：， ∵不等式组的解集为， ∴，解得：； ∵分式方程的解为整数， ∴且， 解得：且， 所以满足条件的整数为： ，，2，3，4，5， 它们的和为： ，  通分得到： 解得：， 一元一次不等式（组）的实际应用 命题点四 ►题型01 销售利润问题 ►题型02 方案问题 ►题型03 从图像中获取信息 ►题型01 销售利润问题 销售利润类应用题是中考的高频题型， 核心解题思路： 梳理利润公式 →提取不等关系 →建立不等式模型 →结合实际求解, 一、先掌握核心公式(解题基础) 解决利润问题的前提是熟记以下公式，避免因公式混淆导致列式错误： 1.单件利润=单件售价-单件进价(成本) 2.总利润=单件利润×销售数量 拓展公式：总利润=总销售额-总成本 3.常见限制条件：销售数量为非负整数；售价≥进价(保证不亏本) 关键： 理清成本、售价、销量、利润之间的数量关系， 结合： 题干中的“最多”至少”“不超过“等关键词列出不等式(组)。 ►题型01 销售利润问题 二、四步解题法(核心逻辑) 1.审：梳理题干信息，提取关键条件 ●找出已知量：进价、售价、固定销量/销量与售价的关系、利润目标等； ●圈画不等关键词：确定不等关系，常见表述有 ①利润“不低于"/"至少”达到多少元 →总利润≥目标利润 ②利润“不超过”多少元 →总利润≤目标利润 ③进货量“最多”/“最少”为多少 →进货数量≤/≥限定值 ●明确未知量： 通常设进货数量或调价后的售价为x。 2.设：合理设未知数，表示相关量 ●若题干涉及两种商品，设其中一种商品的进货量为x,另一种用含x的代数式表示(如两种商品共进货100件，设甲x件，则乙(100-x)件); ●若涉及售价调整，设调价后售价为x,则单件利润为(x—进价)。 3.列：根据不等关系，建立不等式（组） 这是解题的核心步骤，结合总利润公式和不等关键词列不等式： 基本模型： 单件利润×销售数量≤/≥目标利润 若有多个限制条件（如进货总量限制+利润限制），则列出不等式组。 ►题型01 销售利润问题 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测） 某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 解：（1）根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为： ； （2）结合（1），可知每日销售利润 ； ►题型01 销售利润问题 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测） 某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ （3）根据公司规定： 正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润 ， ∵， ∴该函数图像开口向下， 且对称轴为， ∴当时，取最大值， （万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． ►题型01 销售利润问题 【变式1】（2025·黑龙江·模拟预测） 某校开设智能机器人编程的校本课程，打算购买两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元； (2)若学校预计用不少于14000元且不高于14400元的资金购买两种型号的机器人共40台，则学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型机器人模型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 解：（1）设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴， 答：A型机器人模型的单价是500元， B型机器人模型的单价是300元； （2）设A型机器人模型购买m台，则B型机器人模型购买台，根据题意可得： ， 解得：， ∵m为整数，∴，11，12； 答：学校共有3种购买方案； ►题型01 销售利润问题 【变式1】（2025·黑龙江·模拟预测） 某校开设智能机器人编程的校本课程，打算购买两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元； (2)若学校预计用不少于14000元且不高于14400元的资金购买两种型号的机器人共40台，则学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型机器人模型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ （3）解：设购买两种机器人的花费为y元，由题意得： ， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时， 元， ∴ 购买A型机器人模型10台， B型机器人模型30台时花费最少， 最少花费是11200元． ►题型01 销售利润问题 【变式2】（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ （1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元，由题意得： ， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； ►题型01 销售利润问题 【变式2】（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ，随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ，且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． ►题型01 销售利润问题 【变式3】（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ （1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得 ：， 解得， ∵种植1亩甲作物需要7名学生， ∴种植甲作物的亩数是整数， ∴a的最大值为． 答：至多种植甲作物亩． ►题型01 销售利润问题 【变式4】（2025·湖南长沙·模拟预测）《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道．店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！ 任务1（密码谜题）： 店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价加密成了一道门锁密码．线索如下： 线索卡：周一用“2份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱； 线索卡：周二用“5份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱． 你的目标：通过线索卡和，破解两种小吃的单价密码． 任务2（经营策略）： 店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件： 1．资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份． 2．人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑份． 3．营收目标：当日总销售额元（已知单价来自任务1）． 挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐？此时需搭配多少份糖油粑粑？ ►题型01 销售利润问题 【变式4】（2025·湖南长沙·模拟预测）《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道．店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！ 任务1（密码谜题）： 店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价加密成了一道门锁密码．线索如下： 线索卡：周一用“2份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱； 线索卡：周二用“5份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱． 你的目标：通过线索卡和，破解两种小吃的单价密码． 任务1：解：设每份“臭豆腐”的单价密码是元， 每份“糖油粑粑”的单价密码是元， 根据题意：， 解得：， 答：每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元， ►题型01 销售利润问题 【变式4】（2025·湖南长沙·模拟预测）《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道．店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！ 任务2（经营策略）： 店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件： 1．资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份． 2．人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑份． 3．营收目标：当日总销售额元（已知单价来自任务1）． 挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐？此时需搭配多少份糖油粑粑？ 任务2：解：设每天限供“臭豆腐”的数量为份，则每天限供“糖油粑粑”的数量为份，根据题意： ， 解得：， 当时，糖油粑粑销量为： （份）， 答：最多能卖出份臭豆腐，此时需搭配份糖油粑粑． ►题型02 方案问题 【典例】（2025·四川成都·二模） 某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ （1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据题意得： ， 解得 ． 答：毛巾的单价是2元， 扫把簸箕套装的单价是6元． ►题型02 方案问题 【典例】（2025·四川成都·二模） 某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ， 解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ∵该不等式组无解， ∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． ►题型02 方案问题 【变式1】（2025·上海·二模） 一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件 ①：若选A方案，则减一次价， ②：选A、B方案没有实际区别， 请用t表示n，并求出n的取值范围． （1）解：∵， ∴A方案的实际支付额为： （元）； ∵， ∴B方案的实际支付额为： （元）． 答：A方案的实际支付额为642元， B方案的实际支付额为600元； ►题型02 方案问题 【变式1】（2025·上海·二模） 一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件 ①：若选A方案，则减一次价， ②：选A、B方案没有实际区别， 请用t表示n，并求出n的取值范围． （2）①当时， ， 解得：， ， 即， ∴，； ②当时， ， 解得：， ． 综上所述， ，； 或，． ►题型02 方案问题 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）某商场准备购进A和B两种款式的书包，每个A款式书包比B款式书包的进价多25元，用元购进A款式书包的数量与用元购进B款式书包的数量相同，请解决下列问题： (1)A款式书包和B款式书包每个的进价各是多少元？ (2)若每个A款式书包的售价为140元，每个B款式书包的售价为100元，商场决定同时购A款式书包、B款式书包共个，且全部售出，请求出所获利润y（单位：元）与A款式书包的数量x（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于元且不高于元的资金购进A和B两种款式的书包，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费元，其余部分全部再次购进A、B两种款式的书包送给福利院，请直接写出捐赠A款式书包、B款式书包各是多少个？ ►题型02 方案问题 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）某商场准备购进A和B两种款式的书包，每个A款式书包比B款式书包的进价多25元，用元购进A款式书包的数量与用元购进B款式书包的数量相同，请解决下列问题： (1)A款式书包和B款式书包每个的进价各是多少元？ （1）解：设A款式书包每个的进价为a元， 则B款式书包每个的进价为元． 根据题意，得：， 解得： ， 经检验，是所列分式方程的根， （元）． 答：A款式书包每个的进价为100元，则B款式书包每个的进价为75元． ►题型02 方案问题 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）某商场准备购进A和B两种款式的书包，每个A款式书包比B款式书包的进价多25元，用元购进A款式书包的数量与用元购进B款式书包的数量相同，请解决下列问题： (2)若每个A款式书包的售价为140元，每个B款式书包的售价为100元，商场决定同时购A款式书包、B款式书包共个，且全部售出，请求出所获利润y（单位：元）与A款式书包的数量x（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于元且不高于元的资金购进A和B两种款式的书包，则有几种购买方案？ （2）由题意可得购买B款式书包个，则 ， ∴y与x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， ∵x为整数， ∴有种购买方案． ►题型02 方案问题 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）某商场准备购进A和B两种款式的书包，每个A款式书包比B款式书包的进价多25元，用元购进A款式书包的数量与用元购进B款式书包的数量相同，请解决下列问题： (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费元，其余部分全部再次购进A、B两种款式的书包送给福利院，请直接写出捐赠A款式书包、B款式书包各是多少个？ （3）∵，∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大， y最大， （元）， 设购买A款式书包m个、B款式书包n个， 则， 经整理，得， 该方程的正整数解为， ∴捐赠A款式书包2个、B款式书包4个． ►题型02 方案问题 【变式3】（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ （1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴原方程的根是． 答：一月份甲型号手机每台售价为4500元； ►题型02 方案问题 【变式3】（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ （2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台，由题意得： 解得， ∵y为整数，∴y=8，9，10，11，12， ∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8， ∴有五种购货方案： 一、甲型手机8台，乙型手机12台； 二、甲型手机9台，乙型手机11台； 三、甲型手机10台，乙型手机10台； 四、甲型手机11台，乙型手机9台； 五、甲型手机12台，乙型手机8台； ►题型02 方案问题 【变式3】（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ （3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元， ∴甲型手机每台盈利500元， 乙型手机每台盈利800元， 则方案一盈利： （元）； 方案二盈利： （元）； 方案三盈利： （元）； 方案四盈利： （元）； 方案五盈利： （元）； ， 答：购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大． ►题型02 方案问题 【变式4】（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． （1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒， 根据题意，得， 解得 ， 答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒． ►题型02 方案问题 【变式4】（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． （2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得 ， 解得：， ∵m是正整数， ∴， ∴， 不合题意， 故不存在符合要求的分装方案． ►题型02 方案问题 【变式5】（2025·宁夏中卫·三模） 为推动新能源汽车的发展，某城市计划建设一批新能源汽车充电桩．有两种类型的充电桩可供选择，快充充电桩和慢充充电桩，据了解建设一个快充充电桩的费用比建设一个慢充充电桩的费用高2万元．如果建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元． (1)求建设一个快充充电桩和一个慢充充电桩的费用各是多少万元？ (2)该市准备用不超过万元的资金建设快、慢两种型号的充电桩共个，其中慢充电桩的数量不超过快充电桩数的，该市共有几种建设方案？ （1）解：设建设一个慢充充电桩的费用为万元， 则建设一个快充充电桩为万元， 根据题意得 ， 解得：， ， 答：建设一个慢充充电桩的费用为万元， 则建设一个快充充电桩为万元； ►题型02 方案问题 【变式5】（2025·宁夏中卫·三模） 为推动新能源汽车的发展，某城市计划建设一批新能源汽车充电桩．有两种类型的充电桩可供选择，快充充电桩和慢充充电桩，据了解建设一个快充充电桩的费用比建设一个慢充充电桩的费用高2万元．如果建设个快充充电桩和个慢充充电桩，总费用为万元． (1)求建设一个快充充电桩和一个慢充充电桩的费用各是多少万元？ (2)该市准备用不超过万元的资金建设快、慢两种型号的充电桩共个，其中慢充电桩的数量不超过快充电桩数的，该市共有几种建设方案？ （2）解：设建设快充充电桩个，建设慢充充电桩为个，根据题意得 ， 解得 ， 即 ， ∵取整数， ∴取值为，，， 答：该市共有3种建设方案 ►题型03 从图像中获取信息 【典例】（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ ►题型03 从图像中获取信息 【典例】（2025·云南·模拟预测）经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； （1）解：当时， 设与之间的函数关系式是， 把代入得， ，解得， 当时， 与之间的函数关系式是； 当时， 设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； ►题型03 从图像中获取信息 【典例】（2025·云南·模拟预测） (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ，解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 ►题型03 从图像中获取信息 【变式1】（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ （1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克， 所以函数关系式为：， 当甲种水果质量千克时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， 将，和，分别代入函数关系式得： ， 解得：， ， 当时，与的函数关系式应为： ． ►题型03 从图像中获取信息 【变式1】（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ （2）解：设甲种水果的质量为千克 ，则乙种水果的质量为千克， 乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍， ，解得：， 的范围为：， 当时， ， 此时当最小时，最小， 即当时，有最小值元， 当时， ， 此时当时，离对称轴最远，最小， 即当时， 有最小值 元， ， 当时总费用最少，为元， 此时千克 故购买甲种水果千克， 乙种水果千克时， 总费用最少，最少为元． ►题型03 从图像中获取信息 【变式2】（2024·云南·三模）云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下   进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 (1)求a，b的值； 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元． (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ （1）解：依题意得 ， 解得： ， 答：a的值为，b的值为6； ►题型03 从图像中获取信息 【变式2】（2024·云南·三模）云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下   进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ （2）解：∵购进花糯玉米x斤， ∴购进白糯拇指玉米斤， 依题意得， 解得， ∵全部售完后的销售利润为y元， ∴ ， ∵，∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为 ， 此时． 答：老王应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元． ►突破一 利用等式与不等式综合 【典例】（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． C 解： A：由，两式相加， 得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加， 得，正确，不符合题意； C：由得，代入， 可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入， 可得，即，正确，不符合题意； ►突破一 利用等式与不等式综合 【变式1】（2023·安徽宣城·二模）若实数满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 C 解：联立， 由得，， 把代入得，，解得， 把代入得，， ，的值未定， 无法确定正负性，即无法确定，故A选项结论不符合题意； 若，则，故B选项结论不符合题意； ，故C选项结论符合题意； 若，则，故D选项结论不符合题意． ►突破一 利用等式与不等式综合 【变式2】（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， A 解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 又 ∵ ，∴ ， ∴； ， ， 由可知， 则， 又， 故， ； 综上， 且 ． 【变式3】（2025·安徽·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． ►突破一 利用等式与不等式综合 解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴， ∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但 故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但 故C错误，不符合题意； D、， ∵，∴ ∵，∴， D ∴， 故D正确，符合题意； ►突破二 利用不等式求最值 【典例】（2025·江苏宿迁·二模）已知a、b、c均为正数，且，则的最小值为 ． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c均为正数，∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． ►突破二 利用不等式求最值 【变式1】（2025·四川达州·二模）已知，，且，则的最小值为 ． 解：∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴的最小值为， ►突破二 利用不等式求最值 【变式2】（2024·浙江嘉兴·一模）已知 ，当取最小值时，S的取值范围是 ． 解： ， ， ， ， ， ， 当时，取最小值， ， ， ， ►突破三 不等式组与方程组综合 【典例】（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． A 解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． ►突破三 不等式组与方程组综合 【变式1】（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， ►突破三 不等式组与方程组综合 【变式2】（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． D 解： ， 用第一个方程减去第二个方程， 可得： 去括号得： 合并同类项得： 两边同时除以，得到． ∵，∴． ，对于， 当时，； 当时，． ∵的取值范围是大于小于， ∴的取值范围是． ►突破三 不等式组与方程组综合 【变式3】（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 C 解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【典例】（2025·四川遂宁·一模）遂宁市凭借独特的观音文化和迷人的自然景观，如灵泉寺、观音湖等，大力推进“引客入遂”战略，旅游产业蓬勃发展．2023年“灵泉寺-观音湖”旅游环线接待游客50万人次．景区通过不断完善设施与丰富文化活动，去年游客接待量在2023年增长的基础上再次增长，且这两年的增长率相同，预计今年（2025年）共接待游客72万人次． (1)求该旅游环线游客接待量的年平均增长率． (2)为了满足游客需求，遂宁市准备在旅游旺季为“灵泉寺-观音湖”旅游环线调配A、B两种类型的观光巴士．A型巴士可载30人，租金为每趟400元；B型巴士可载20人，租金为每趟300元．某节假日预计该旅游环线游客量有200人，调配巴士的预算最多为2800元．问有几种调配方案，怎样调配能使租车费用最低，最低费用是多少？ （1）解：设该旅游环线游客接待量的年平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得:，（不合题意，应舍去）． 答：该旅游环线游客接待量的年平均增长率为． ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【典例】（2025·四川遂宁·一模） (2)为了满足游客需求，遂宁市准备在旅游旺季为“灵泉寺-观音湖”旅游环线调配A、B两种类型的观光巴士．A型巴士可载30人，租金为每趟400元；B型巴士可载20人，租金为每趟300元．某节假日预计该旅游环线游客量有200人，调配巴士的预算最多为2800元．问有几种调配方案，怎样调配能使租车费用最低，最低费用是多少？ （2）解：设A型巴士调配m辆， 根据题意可列不等式组， 解之得， ∵m为A型巴士的辆数，应为整数，∴x可取的值只能是4、5、6即对应三种方案． 从上表可以看出， ， 所以方案三， 即调配A型6辆，B型1辆时费用最低， 最低费用为2700元． 方案 A型巴士 B型巴士 费用 一 4 4 元 二 5 3 元 三 6 1 元 ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【变式1】（2025·广西南宁·模拟预测）【项目化学习】 【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物就开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系 【研究步骤】．取一桶桶装水，打开置于空气中；．每天测量并记录桶装水中的菌落总数；．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数． 【问题解决】 (1)求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式； (2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过50 ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 （1）解：设与之间的函数关系式为 （、为常数，且）， 将，和， 分别代入， 得，解得， 与之间的函数关系式为． 【变式1】（2025·广西南宁·模拟预测）【项目化学习】 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数． 【问题解决】 (1)求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式； (2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过50 （2）解：根据题意，得 ， 解得， 桶装水打开后超过天不能饮用． ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【变式2】（2025·广东汕尾·二模）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 背景问题 汕尾市陆河县是“中国青梅之乡”，陆河青梅外皮光滑、果大肉脆、肉多核小、含酸度高，还富含多种有机酸、维生素和微量元素，具有很高的营养价值．近年来，陆河县着力扩大话梅、蜜汁梅等成品生产． 素材1 某商场用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅． 素材2 话梅的件数是蜜汁梅件数的1.5倍，每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元． 素材3 每件话梅的售价比每件蜜汁梅的售价少40元，全部售出后，商场获利不少于7400元． 问题解决： 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出该商场话梅和蜜汁梅各自采购的件数． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每件话梅的售价至少为多少元？ （任务1）解：设该商场采购蜜汁梅x件，则采购话梅件． 根据题意，得： ， 解得． 经检验，是所列方程的解． ∴． 答：该商场采购蜜汁梅40件，采购话梅60件． ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【变式2】（2025·广东汕尾·二模）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 背景问题 汕尾市陆河县是“中国青梅之乡”，陆河青梅外皮光滑、果大肉脆、肉多核小、含酸度高，还富含多种有机酸、维生素和微量元素，具有很高的营养价值．近年来，陆河县着力扩大话梅、蜜汁梅等成品生产． 素材1 某商场用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅． 素材2 话梅的件数是蜜汁梅件数的1.5倍，每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元． 素材3 每件话梅的售价比每件蜜汁梅的售价少40元，全部售出后，商场获利不少于7400元． 问题解决： 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出该商场话梅和蜜汁梅各自采购的件数． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每件话梅的售价至少为多少元？ （任务2） 解：设每件话梅的售价为m元． ∵蜜汁梅的进价为（元）， ∴话梅的进价为（元）． 根据题意，得 ， 解得． 答：每件话梅的售价至少为200元 ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【变式3】（2024·山东临沂·二模）【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【问题探究】 数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为______． 【类比探究】 （2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数______的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为______． 【拓展应用】（3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集______． ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【变式3】（2024·山东临沂·二模）【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【问题探究】 数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为 ． （1）解：由图象可知， 两个图象的交点坐标为， 的解集， ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【变式3】（2024·山东临沂·二模）【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【类比探究】（2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数 的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为 ． （2）解：∵，∴， ∴需要借助函数和函数的图象来求解， 作函数的图象，如图所示， 由图象可知，不等式的解集为：或； 或 ►突破四 一元一次不等式组中探究问题 【变式3】（2024·山东临沂·二模）【问题提出】 在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式． 【拓展应用】（3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集 ． （3）解：∵，∴， 如图3，作函数的图象，由图象可知， 的解集为或， ∵， ∴， 由图象可知，的解集:， ∴不等式组的解集为， ． 感谢聆听! $