广东省中山市第一中学2025-2026学年八年级上学期阶段数学试卷（1月份）

2025-2026学年广东省中山一中八年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    ) A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 3，6，10 2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.如图是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列图形中具有稳定性的是(    ) A. 四边形 B. 三角形 C. 长方形 D. 正方形 4.若，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.下列各分式是最简分式的是(    ) A. B. C. D. 6.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，，，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明与全等，则还需要添加一个条件是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，AD平分，交BC于D，，则点D到AB的距离是(    ) A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 9.如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为(    ) A. B. C. D. 10.如图，已知中，，，边BC的垂直平分线分别交BC，AC于点E，F，点D为直线EF上一点，则的周长最小值为(    ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.要使分式有意义，则x的取值范围为          . 12.如图，       13.分解因式：      . 14.如图，点D、A、E在直线m上，，，于点D，于点E，且若，，则______. 15.如图，的面积为，BP平分，于P，连接PC，则的面积为        三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 计算： 17.本小题7分 已知：如图，点A，C，D，B在同一条直线上，，，求证： 18.本小题7分 如图，在平面直角坐标系中，B，C三点在格点上，每个小方格的边长为 画出关于y轴对称的； 直接写出关于x轴对称的的各顶点坐标. 19.本小题9分 已知中，， 作图：作的高AD交BC于点用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 求证： 20.本小题9分 【阅读理解】若x满足，求的值. 解：设，， 则，， 【解决问题】 若x满足，则______； 若x满足，求的值； 已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且，，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF正方形，求阴影部分的面积. 21.本小题9分 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时中又有公因式，于是可以提出，即，我们称这种方法为分组法.请你利用分组法解答下列问题： 解决问题：分解因式 拓展运用：已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由. 22.本小题13分 如图1，中，，，点P从点B出发沿线段BA移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿AC的延长线移动，并与点P同时停止.已知点P，Q移动的速度相同，连接PQ与线段BC相交于点不考虑点P与点A，B重合时的情况 求证：； 求证：； 如图2，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度是否变化？如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由. 23.本小题14分 定义：如题图1，若P是内部一点，且，则称点P为的勃罗卡点，同时称为的勃罗卡角. 如图2，P为等边内部一点.其中，，请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； 如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； 如图4，在的条件下，作点P关于AB的对称点，连接与AB相交于点O，连接，，记的勃罗卡点为M，的勃罗卡点为N，求证：为等边三角形. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，能组成三角形，故本选项符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； 故选： 根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断． 本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可． 2.【答案】C  【解析】解：C选项中的图形是轴对称图形，符合题意； A、B、D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选： 根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：根据三角形具有稳定性，四边形没有稳定性． 故选： 三角形不容易产生变形，因此三角形是最稳定的；四边形没有稳定性． 此题考查的是对三角形稳定性，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4.【答案】A  【解析】解：， ， 则 故答案为： 先将化成，再代入式子求值即可． 本题考查分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、是最简分式，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选： 分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式，据此逐一进行判断即可． 本题主要考查最简分式，掌握最简分式的概念是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：A中，故选项运算错误，不符合题意； B中，故选项运算正确，符合题意； C中，故选项运算错误，不符合题意； D中，故选项运算错误，不符合题意； 故选： 根据0次幂的意义，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，同底数幂的除法法则逐一判断各选项即可． 本题主要考查0次幂的意义、整式幂的运算．熟练掌握运算法则是关键． 7.【答案】C  【解析】解：从图中可知AB为和的斜边，也是公共边．  根据“HL”定理，证明，  还需补充一对直角边相等，  即或，  故选： 根据“HL”证明，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可． 本题考查了直角三角形全等的判定，牢记“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：如图，过D点作于点E，则DE即为所求， ，AD平分交BC于点D， 角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ， 故选 根据角平分线的性质定理得出，代入求出即可． 本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 9.【答案】B  【解析】解：用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积各为：和， 可得， 故选： 图②的面积可以整体表示为，也可将各部分求和表示为由此可得此题结果． 此题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义． 10.【答案】C  【解析】解：垂直平分BC，  、C关于EF对称，  当F和D重合时，的值最小，最小值等于AC的长，  ，，  周长的最小值是  故选： 根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点D与点F重合时，的最小值等于AC的长，根据AB，AC的长度即可得到周长的最小值． 本题考查了轴对称-最短路径问题，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为根据分式有意义的条件可得，解这个不等式即可求出答案． 【解答】 解：由题意可知：， ， 故答案为 12.【答案】300  【解析】解：由条件可得，， 故答案为： 根据三角形内角和定理可得，，，计算即可得出答案． 本题主要考查了三角形内角和，熟练掌握三角形内角和定理进行求解是解决本题的关键的关键． 13.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 利用提公因式法因式分解即可． 本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14.【答案】8  【解析】解：直线m，直线m， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 故答案为： 根据直线m，直线m得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“AAS”可判断≌，根据全等三角形的性质即可得解． 此题考查了全等三角形的判定与性质，根据“AAS”判断≌是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，延长AP交BC于点E， ， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ，  ， 故答案为： 延长AP交BC于点E，证明≌，得到，则，，再推出，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16.【答案】解：   【解析】根据平方差公式，单项式乘多项式的法则分别计算即可． 本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键． 17.【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌，   【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于求出 求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等证明即可． 18.【答案】解：如图，即为所求； 关于x轴对称的的各顶点坐标：，，  【解析】利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； 利用轴对称变换的性质解决问题． 本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 19.【答案】解：如图， AD即为所求； 证明： 中，，， ，， ， ， ，   【解析】利用尺规即可作的高AD交BC于点D； 根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明 本题考查了作图-基本作图、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握特殊角的性质． 20.【答案】5  5  28  【解析】设，，则， ， ， 故答案为：5； 设，，则， ， ； 由题意得，正方形GFDH的边长为，正方形MFRN的边长为， 长方形EMFD的面积是48，即， ， ， 阴影部分的面积为： 设，，则，结合，再由完全平方公式的变形计算，即可求解； 设，，则，结合，再由完全平方公式的变形计算，即可求解； 根据题意得：正方形GFDH的边长为，正方形MFRN的边长为，再由长方形EMFD的面积是48，可得，设，，则，，可得，再利用平方差公式即可求解． 本题主要考查了应用新运算解决问题，掌握完全平方公式的意义，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键． 21.【答案】解：原式 ； 为等腰三角形，理由如下： ，b，c分别为的三边， ，即， 已知等式整理得：， 分解因式得：，即， ，即， 则为等腰三角形．  【解析】原式两项两项结合，利用平方差公式及提公因式法分解即可； 已知等式左边结合，分解因式后利用非负数的性质 此题考查了因式分解的应用，以及因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22.【答案】证明：点P，Q移动的速度相同，它们同时出发， ， ， ， ； 证明：过点P作，交BC于点F，如图， ， ， ， ， ， 点P，Q移动的速度相同，它们同时出发， ， ， 在和中， ， ≌， ； 解：在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度不变化，理由： 过点P作，交BC于点F，如图， 由知：，≌， ， ，， ， ， 在点P，Q移动的过程中，线段DE的长度不变化，  【解析】利用点P，Q移动的速度相同，它们同时出发，得到，再利用已知条件和等式的性质解答即可； 过点P作，交BC于点F，利用平行线的性质，等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； 过点P作，交BC于点F，利用的结论，等腰三角形的三线合一的性质，等式的性质解答即可得出结论． 本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过点P作，交BC于点F，构造全等三角形是解题的关键． 23.【答案】点P不是等边的勃罗卡点，理由如下： ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是AB的中垂线， 平分， ， ， 点P不是等边的勃罗卡点  等边的勃罗卡角的度数为  点P，关于AB对称， 为的中垂线， ， 为等腰三角形， ， 由可知， ， ， 为等边三角形，同理可得为等边三角形， 如图，在内部作交BO于点N，连接， 为的中垂线， ， ， ， ， ， 点N为的勃罗卡点，且， 在内部作交AD于点M， 同理可证点M为的勃罗卡点，且， ， ， 为等边三角形  【解析】解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下： ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是AB的中垂线， 平分， ， ， 点P不是等边的勃罗卡点； 解：点P为等边的勃罗卡点， ， ， 即， ， 同理可得， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， 等边的勃罗卡角的度数为； 证明：点P，关于AB对称， 为的中垂线， ， 为等腰三角形， ， 由可知， ， ， 为等边三角形，同理可得为等边三角形， 如图，在内部作交BO于点N，连接， 为的中垂线， ， ， ， ， ， 点N为的勃罗卡点，且， 在内部作交AD于点M， 同理可证点M为的勃罗卡点，且， ， ， 为等边三角形． 利用等边对等角得出，再利用等边三角形性质，中垂线的性质得出即可得出结论点P不是等边的勃罗卡点； 利用点P为等边的勃罗卡点，求出，证明≌，即可求出等边的勃罗卡角的度数； 先证明为等腰三角形，再证出，为等边三角形，在内部作交BO于点N，连接，可证得点N为的勃罗卡点，且，同理可证点M为的勃罗卡点，且，进而得出最后结论． 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，对于题目中给出的勃罗卡点定义的理解与运用是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $