7.1 条件概率与全概率公式（3知识点+6考点+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教A版

7.1 条件概率与全概率公式 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：条件概率 1、条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本的空间，因此条件概率仍然具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设B和互为对立事件，则 注意：（1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率； （2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。 （24-25高二下·重庆·月考）某地天气预报资料显示，近段时间中一天下雨的概率是0.8，连续两天都下雨的概率是0.6.已知某天下雨，则随后一天也下雨的概率是（    ） A．0.75 B．0.48 C．0.8 D．0.6 【答案】A 【解析】设某天下雨的事件是A， 随后一天也下雨的事件是B，则， 所以某天下雨，则随后一天也下雨的概率.故选：A 知识点2：事件的相互独立性 1、事件A与事件B相互独立 从必修的内容中我们已经知道，A与B相互独立（简称为独立）的充要条件是，而且A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. 2、条件概率与独立性的关系 当时，当且仅当事件A与B相互独立性，有 （24-25高二上·河北盐山·月考）已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 【答案】C 【解析】因为事件与独立，且， 所以，故， 所以.故选：C. 知识点3：全概率公式与贝叶斯公式 1、全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. 2、全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 4、贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，． （24-25高二下·江苏南京·月考）一份数学试卷中有8道单选题，小王对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.8，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小王从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”. 则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为： 故选：D. 题型一：利用定义求条件概率 例1．（24-25高二下·四川达州·期末）已知事件发生的概率，事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件概率公式可得：,故选：A. 【变式1-1】（24-25高二下·重庆·期末）某电商平台的客户中，使用货到付款的比例为0.6，使用在线支付的比例为0.5，使用货到付款或在线支付的比例为0.7.从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是（    ） A．0.3 B． C． D．0.4 【答案】B 【解析】设事件：使用货到付款，设事件：使用在线支付， 则，，， 故， 则， 故从所有客户中随机抽取一名， 则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是.故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记“学生近视”为事件，“学生每天玩手机超过”为事件， 由题意可得：，，， 因为，则， 所以.故选：A. 【变式1-3】（24-25高二下·辽宁·月考）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，黑球在第1，2，3箱中分别占，，.已知某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球，则该黑球取于第3箱中的概率为 . 【答案】 【解析】设事件为“某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球”，事件为“黑球取于第3箱中”， 则，， 故. 题型二：乘法公式的应用 例2.（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由概率的乘法公式可得.故选：C. 【变式2-1】（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故，而，故， 故，同理， 故，故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·上海·月考）某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（    ） A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16 【答案】A 【解析】设第一关通过为A，第二次通过为B， 则，， 所以.故选：. 【变式2-3】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（    ） A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995% 【答案】A 【解析】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则， 故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为 ，故选：A 题型三：条件概率的性质及应用 例3.（24-25高二下·福建福州·月考）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以.故选：B 【变式3-1】（24-25高二下·广东中山·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误.故选：C. 【变式3-2】（24-25高二下·河南商丘·期中）（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 故选：BC． 【变式3-3】（24-25高二下·四川广安·月考）（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，， 解得，故A错误； 对于B，，解得， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误.故选：AD． 题型四：条件概率与独立性的关系 例4.（24-25高二下·山东威海·期中）已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为事件与独立，所以， 因为，所以， 所以（事件与独立，故事件与独立）.故选：C 【变式4-1】（24-25高二下·山西吕梁·期中）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以.故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·广东东莞·月考）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 C． D． 【答案】D 【解析】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含（个）样本点，它们等可能， 事件A含有的样本点个数为， 则， 同理， 事件AB含有的样本点个数为，则， 事件AC含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件A与B不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件A与C不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：D 【变式4-3】（24-25高二下·河北沧州·月考）（多选）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． 【答案】BCD 【解析】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案， 甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言， 各有种方案，∴； 甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案，∴； 甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有种方案， ∴， 对于A，∵，∴事件A与B不相互独立，故A错误； 对于B，∵，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 题型五：全概率公式的应用 例5.（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（    ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【解析】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件， 取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ．故选：D 【变式5-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，设事件为“零件为第i台车床加工”（1，2，3），事件B为“零件为次品”. 由全概率公式： .故选：A 【变式5-3】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球， 记事件从乙箱中取出的球是黑球，则，，，， 由全概率公式可得.故选：D. 题型六：贝叶斯公式的应用 例6.（24-25高二下·广东湛江·期末）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件为“取出的红球在i号箱中”，事件B为“取出的球为红球”， 则组成了完整的样本空间，且两两互斥． 由题意有 ，． 则由全概率公式，， 则在取出的球为红球的条件下， 其取自3号箱的概率为．故选：A． 【变式6-1】（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ，故选：B． 【变式6-2】（24-25高二下·天津·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【解析】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间， 事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二下·天津河西·月考）科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为 ；在大文已经出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为 . 【答案】； 【解析】设大文进行有氧运动为事件，进行力量训练为事件， 进行平衡性训练为事件，大文出现运动损伤为事件， 由题意知，，， ，，. 由全概率公式知 . 由贝叶斯公式知，. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【解析】由，可得， 则.故选：C. 2．（24-25高二下·湖南邵东·期中）已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，相互独立 B．若，相互独立，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A：因为，所以与不独立，故A错误； 对于B：若，相互独立，则，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确. 故选：D 3．（24-25高二下·甘肃威武·期中）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对， 则总共有种可能，所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：，所以， 所以.故选：A. 4．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.15，邻居浇水的概率为0.8.则该人回来盆栽枯萎的概率为（    ） A．0.785 B．0.28 C．0.765 D．0.67 【答案】B 【解析】记A为事件“盆栽枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”， 由题意可得，，，， 由全概率公式可得，故选：B 5．（24-25高二下·河北邢台·月考）某工厂为了了解车间的生产情况，从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，其中一等品分别为5，6，8个.现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，则该产品是一等品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记“随机选定的车间为甲、乙、丙车间分别为事件”，“该产品为一等品”为事件， 依题意可知，且； 所以该产品是一等品的概率为．故选：B 二、多选题 6．（24-25高二下·浙江·月考）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，，，所以，所以，B选项正确； ，C选项错误； ，A选项正确； ，D选项正确；故选：ABD. 7．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·期末）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则（    ） A．第1次抽到舞蹈节目的概率为 B．第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为 C．第2次抽到语言类节目的概率为 D．在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 【答案】ACD 【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，第二次抽到语言类节目为事件. 对于A，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为， 根据分步计数原理有， 所以，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，故D正确.故选：ACD. 8．（24-25高一下·山东烟台·期末）袋子中有个大小、质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中任取个球，设事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”，则（    ） A．事件与互斥 B．事件与互为对立事件 C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 【答案】AC 【解析】A选项：事件“取出的个球既有红球又有黄球”， “取出的个球全是红球”不能同时发生，两事件互斥，A选项正确； B选项：事件“取出的个球至少有一个红球”， “取出的个球全是红球”，能同时发生，所以两事件不是对立事件，B选项错误； C选项：事件“取出的个球至多有一个红球”， “取出的个球既有红球又有黄球”， 则，， 即两事件相互独立，C选项正确； D选项：事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球全是红球”， ，， 即两事件不是相互独立，D选项错误；故选：AC. 三、填空题 9．（24-25高二下·安徽合肥·期末）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 . 【答案】 【解析】事件A：“取到的2个数之和为偶数”，则事件A包含的基本事件个数为， 又事件B：“取到的2个数均为偶数”，则事件A与事件B同时发生包含的基本事件个数为， 所以. 10．（24-25高二下·山西·月考）已知随机事件A，B满足，且，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 整理得，因为， 所以，所以， 所以． 11．（24-25高二下·江西宜春·月考）在一个名为“奇幻冒险岛”的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角色．根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏后，都有可能触发“神秘宝藏”事件．已知战士、法师和猎人触发“神秘宝藏”事件的概率分别为0.2，0.5，0.1，现在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为 ． 【答案】 【解析】设事件“玩家触发神秘宝藏”，事件“玩家选择战士”， 事件“玩家选择法师”，事件“玩家选择猎人”， 根据题意，有， 根据全概率公式，得 ， 因此，随机选择一名玩家，该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为0.26． 四、解答题 12．（24-25高二下·安徽合肥·月考）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？ 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设事件表示“取到的产品为正品”，，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知，，， ，，． 由全概率公式得：． （2）由贝叶斯公式得． 13．（24-25高二下·山东临沂·期中）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区， 记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . （2）由条件概率公式可得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 条件概率与全概率公式 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：条件概率 1、条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本的空间，因此条件概率仍然具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设B和互为对立事件，则 注意：（1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率； （2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。 （24-25高二下·重庆·月考）某地天气预报资料显示，近段时间中一天下雨的概率是0.8，连续两天都下雨的概率是0.6.已知某天下雨，则随后一天也下雨的概率是（    ） A．0.75 B．0.48 C．0.8 D．0.6 知识点2：事件的相互独立性 1、事件A与事件B相互独立 从必修的内容中我们已经知道，A与B相互独立（简称为独立）的充要条件是，而且A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. 2、条件概率与独立性的关系 当时，当且仅当事件A与B相互独立性，有 （24-25高二上·河北盐山·月考）已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 知识点3：全概率公式与贝叶斯公式 1、全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. 2、全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 4、贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，． （24-25高二下·江苏南京·月考）一份数学试卷中有8道单选题，小王对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.8，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小王从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（    ） A． B． C． D． 题型一：利用定义求条件概率 例1．（24-25高二下·四川达州·期末）已知事件发生的概率，事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·重庆·期末）某电商平台的客户中，使用货到付款的比例为0.6，使用在线支付的比例为0.5，使用货到付款或在线支付的比例为0.7.从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是（    ） A．0.3 B． C． D．0.4 【变式1-2】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·辽宁·月考）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，黑球在第1，2，3箱中分别占，，.已知某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球，则该黑球取于第3箱中的概率为 . 题型二：乘法公式的应用 例2.（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·上海·月考）某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（    ） A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16 【变式2-3】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（    ） A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995% 题型三：条件概率的性质及应用 例3.（24-25高二下·福建福州·月考）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·广东中山·月考）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·河南商丘·期中）（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·四川广安·月考）（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：条件概率与独立性的关系 例4.（24-25高二下·山东威海·期中）已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·山西吕梁·期中）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·广东东莞·月考）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·河北沧州·月考）（多选）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件 C． D． 题型五：全概率公式的应用 例5.（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（    ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【变式5-1】（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（    ） A． B． C． D． 题型六：贝叶斯公式的应用 例6.（24-25高二下·广东湛江·期末）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·天津·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【变式6-3】（24-25高二下·天津河西·月考）科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为 ；在大文已经出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为 . 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 2．（24-25高二下·湖南邵东·期中）已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，相互独立 B．若，相互独立，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二下·甘肃威武·期中）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.15，邻居浇水的概率为0.8.则该人回来盆栽枯萎的概率为（    ） A．0.785 B．0.28 C．0.765 D．0.67 5．（24-25高二下·河北邢台·月考）某工厂为了了解车间的生产情况，从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，其中一等品分别为5，6，8个.现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，则该产品是一等品的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·浙江·月考）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·期末）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则（    ） A．第1次抽到舞蹈节目的概率为 B．第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为 C．第2次抽到语言类节目的概率为 D．在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 8．（24-25高一下·山东烟台·期末）袋子中有个大小、质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中任取个球，设事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”，则（    ） A．事件与互斥 B．事件与互为对立事件 C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 三、填空题 9．（24-25高二下·安徽合肥·期末）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 . 10．（24-25高二下·山西·月考）已知随机事件A，B满足，且，则 . 11．（24-25高二下·江西宜春·月考）在一个名为“奇幻冒险岛”的游戏中，玩家可以选择战士、法师和猎人这三种不同的角色．根据游戏设定，一名玩家选择战士、法师和猎人的概率分别为0.4，0.3，0.3，每种角色在进入游戏后，都有可能触发“神秘宝藏”事件．已知战士、法师和猎人触发“神秘宝藏”事件的概率分别为0.2，0.5，0.1，现在随机选择一名玩家进入游戏，则该玩家触发“神秘宝藏”事件的概率为 ． 四、解答题 12．（24-25高二下·安徽合肥·月考）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？ 13．（24-25高二下·山东临沂·期中）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $