10.1.2 事件的关系和运算 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.2 事件的关系和运算 一、必备知识基础练 1.(探究点二)给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则( ) A.A⊆B B.A⊇B C.A与B互斥 D.A与B互为对立事件 2.(探究点三)某人打靶3次,设事件Ai=“击中i次”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示( ) A.全部击中 B.至少有1次击中 C.至少有2次击中 D.全部未击中 3.(探究点二)掷一枚骰子,设事件A=“落地时向上的点数是奇数”,B=“落地时向上的点数是3的倍数”,C=“落地时向上的点数是2”,D=“落地时向上的点数是2的倍数”,则下列说法错误的是( ) A.A和B有可能同时发生 B.A和D是对立事件 C.B和C是对立事件 D.A和C是互斥事件 4.(探究点三)甲、乙两人对同一个靶子各射击一次,设事件A=“甲击中靶子”,事件B=“乙击中靶子”,事件E=“靶子未被击中”,事件F=“靶子被击中”,事件G=“恰有一人击中靶子”,对下列关系式(表示A的对立事件,表示B的对立事件):①E=,②F=AB,③F=A∪B,④G=A∪B,⑤G=(B)∪(A),其中正确的关系式的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.0 5.(探究点一)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件: 事件A:恰有1件次品; 事件B:至少有2件次品; 事件C:至少有1件次品; 事件D:至多有1件次品. 并给出以下结论: ①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C. 其中正确结论的序号有( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②③ 6.(探究点三)在随机抛掷一颗骰子的试验中,事件A=“出现不大于4的偶数点”,事件B=“出现小于6的点数”,则事件A∪的含义为 ,事件A∩B的含义为 . 7.(探究点三)某射手进行射击测试,设A=“射中10环”,B=“射中9环”,C=“射中8环”. (1)“射中10环或9环”可表示为 ; (2)“不够8环”可表示为 . 8.(探究点二)某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有 .(填序号) ①“恰有1名男生”和“全是男生”; ②“至少有一名男生”和“至少有一名女生”; ③“至少有一名男生”和“全是男生”; ④“至少有一名男生”和“全是女生”. 9.(探究点一)抛掷一枚硬币3次,记“至少有一次正面向上”为事件A,“一次正面向上,两次反面向上”为事件B,“两次正面向上,一次反面向上”为事件C,“至少一次反面向上”为事件D,“3次都正面向上”为事件E. (1)试判断事件A与事件B,C,E的关系; (2)试求AD,B∪C所包含的样本点,并判断AD与B∪C的关系. 二、关键能力提升练 10.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为( ) A.一个是5点,另一个是6点 B.一个是5点,另一个是4点 C.至少有一个是5点或6点 D.至多有一个是5点或6点 11.一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的3个黄球和4个蓝球,从口袋内任取3个球,那么互斥不对立的事件是( ) A.“恰有一个黄球”与“恰有一个蓝球” B.“至少有一个黄球”与“都是黄球” C.“至少有一个黄球”与“都是蓝球” D.“至少有一个黄球”与“至少有一个蓝球” 12.从1,2,3,4,5中任取2个数,设事件A=“2个数都为偶数”,B=“2个数都为奇数”,C=“至少1个数为奇数”,D=“至多1个数为奇数”,则下列结论正确的是( ) A.A与B是互斥事件 B.A与C是互斥但不对立事件 C.B与D是互斥但不对立事件 D.C与D是对立事件 13.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},下列关系不正确的是( ) A.A⊆D B.B∩D= C.A∪C=D D.A∪B=B∪D 14.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为 ,拨号不超过3次而接通电话可表示为 . 15.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是 . ①A与C互斥 ②B与C互斥 ③任何两个均互斥 ④任何两个均不互斥 三、学科素养创新练 16.某连锁火锅城开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前20位顾客可参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品,最高120元,每人只能参加一次这个活动.记事件A=“获得不多于30元菜品或饮品”. (1)求事件A包含的基本事件; (2)写出事件A的对立事件,以及一个与事件A互斥的事件. 参考答案 1.C 由互斥事件的定义知C正确. 2.B A1∪A2∪A3表示的是A1,A2,A3这3个事件中至少有1个发生,即至少有1次击中,故选B. 3.C 依题意,事件A={1,3,5},B={3,6},C={2},D={2,4,6}, 对于A,因为A∩B={3},所以A正确; 对于B,事件A和D不能同时发生,但必有一个发生,则A和D是对立事件,B正确; 对于C,事件B和C不能同时发生,但可以同时不发生,则B和C不是对立事件,C错误; 对于D,事件A和C不能同时发生,它们是互斥事件,D正确. 故选C. 4.A 由题可得①E=,正确;②事件F=“靶子被击中”,AB表示甲、乙同时击中,F=(AB)∪(B)∪(A),所以②错误;③F=A∪B,正确,④A∪B表示靶被击中,所以④错误;⑤G=(B)∪(A),正确. 正确的是①③⑤. 故选A. 5.A 事件A∪B表示的事件:至少有1件次品,即事件C,所以①正确;事件D∪B表示的事件:至少有2件次品或至多有1件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B= ,③不正确;事件A∩D表示的事件:恰有1件次品,即事件A,所以④不正确. 6.出现2,4,6点 出现2,4点 易知=“出现6点”,则A∪=“出现2,4,6点”,A∩B=“出现2,4点”. 7.(1)A∪B (2) 8.①④ ①是互斥事件,“恰有一名男生”的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生,它与“全是男生”不可能同时发生;②不是互斥事件;③不是互斥事件;④是互斥事件,“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生. 9.解(1)事件A为“至少有一次正面向上”,包含“一次正面向上,两次反面向上”“两次正面向上,一次反面向上”“3次都正面向上”三个样本点,所以B⊆A,C⊆A,E⊆A,A=B∪C∪E. (2)“至少一次反面向上”为事件D,包含“一次正面向上,两次反面向上”“两次正面向上,一次反面向上”“3次都反面向上”三个样本点,可以看出事件A与事件D有相同的两个样本点,即“一次正面向上,两次反面向上”“两次正面向上,一次反面向上”,所以AD=B∪C. 10.C 同时掷甲、乙两枚骰子,可能出现的结果共有36个,“都不是5点且都不是6点”包含16个,其对立事件是“至少有一个是5点或6点”. 11.A 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球,不同的样本点有以下4个: ①3个球全是黄球; ②2个黄球1个蓝球; ③1个黄球2个蓝球; ④3个球全是蓝球. 对于A,“恰有一个黄球”是③,“恰有一个蓝球”是②, ∴“恰有一个黄球”与“恰有一个蓝球”是互斥不对立的事件,故A正确; 对于B,“至少有一个黄球”包括①②③,“都是黄球”是①, ∴“至少有一个黄球”与“都是黄球”能同时发生,不是互斥事件,故B错误; 对于C,“至少有一个黄球”包括①②③,“都是蓝球”是④, ∴“至少有一个黄球”与“都是蓝球”是对立事件,故C错误; 对于D,“至少有一个黄球”包括①②③,“至少有一个蓝球”包括②③④,∴“至少有一个黄球”与“至少有一个蓝球”能同时发生,不是互斥事件,故D错误. 故选A. 12.A 根据题意得, ={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}, A={(2,4)},B={(1,3),(1,5),(3,5)}, C={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}, D={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),(2,5),(4,5),(2,4)}, 则A∩B= ,所以A与B是互斥事件,A正确; A∩C= ,A∪C= ,所以A与C是互斥且对立事件,B错误; B∩D= ,B∪D= ,所以B与D是互斥且对立事件,C错误; C∩D={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),(2,5),(4,5)},所以C与D不是对立事件,D错误. 故选A. 13.D 用(x1,x2)表示试验的结果,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,以1表示击中,0表示没中,则样本空间 ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. 由题意得A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)}, 则A⊆D,A∪C=D,且B∩D= ,即ABC都正确; 又B∪D= ,A∪B={(0,0),(1,1)}≠ , 所以A∪B≠B∪D,故D不正确. 故选D. 14. A3 A1∪A2∪A3 15.①③④ 从一批产品中取出三件产品, 设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”, 在①中,A与C能同时发生,∴A与C不是互斥事件,故①错误; 在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②正确; 在③中,A与C不是互斥事件,故③错误; 在④中,B与C互斥,故④错误. 16.解(1)事件A包含的基本事件为{获得10元菜品或饮品},{获得20元菜品或饮品},{获得30元菜品或饮品}. (2)事件A的对立事件是=“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”,与事件A互斥的一个事件为“获得40元菜品或饮品”. 8 学科网(北京)股份有限公司 $