10.1.2 事件的关系与运算（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 10.1.2 事件的关系与运算 第十章 概率 学习目标 1 2 3 了解事件的关系，培养数学抽象的核心素养 能够利用维恩图理解随机事件当中的（和事件、积事件）运算 能结合实例进行随机事件的并、交运算，培养数学运算的核心素养. 复习回顾 1. 样本空间有关概念： (2)样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示. 2. 随机事件有关概念： (1)基本事件:只包含一个样本点的事件. (3)事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现. (4)必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生. Ω为必然事件. (5)不可能事件：在每次试验中都不会发生. 为不可能事件. (2)随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集. (1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示. 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算. 新课导入 探究 在掷骰子的试验中, 观察骰子朝上面的点数, 我们可以定义许多事件, 例如： Ci = “点数为i” , i =1, 2, 3, 4, 5, 6； D1 = “点数不大于3” , D2 = “点数大于3” ； E1 = “点数为1或2” , E2 = “点数为2或3” ； F = “点数为偶数” , G = “点数为奇数” ；…… 你还能否写出这个试验中其他的一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ C1 ={1}；C2={2}； C3={3}；C4 ={4}；C5={5}；C6={6}； D1={1,2,3}； D2={4,5,6}； E1={1,2}； E2 ={2,3}; F={2,4,6}; G={1,3,5}; 事实上, 利用样本空间的子集表示事件, 使我们可以利用集合的知识研究随机事件, 从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法, 下面我们按照这一思路展开研究. 新知探究 问题1 用集合的形式表示事件C1 =“点数为1 ”和事件G =“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的关系如何？ C1 = {1}和G = {1, 3, 5} 如果事件C1发生，那么事件G一定发生. 集合表示： 即事件G包含事件C1. 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作 如图示. 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即 则称事件A与事件B相等，记作A=B. A B Ω 新知探究 问题2 用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？ D1 = {1, 2, 3}, E1 = {1, 2}和E2 = {2, 3}. 事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生. 集合表示： 这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件. 一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 (如右图所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件) A B Ω 并事件（和事件） 新知探究 问题3 用集合的形式表示事件C2=“点数为2 ”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？ C1={2}, E1={1, 2}, E2={2, 3}. 事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生， 集合表示: 这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件. 交事件（积事件） 一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作 (如右图所示的蓝色区域) A B Ω 新知探究 问题4 用集合的形式表示事件C3=“点数为3 ”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系是什么？ C3={3}，C4={4} 事件C3与事件C4不可能同时发生. 集合表示： 这时我们称事件C3与事件C4互斥. 互斥事件 一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）. （如右图所示） A B Ω （1）事件A与事件B在任何一次 试验中不会同时发生。 （2）两事件同时发生的概率为0。 注：事件A与事件B互斥时 新知探究 问题5 用集合的形式表示事件F=“点数为偶数 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这两个事件之间的联系如何？ F={2, 4, 6}，G={1, 3, 5} 在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一. 集合表示： F∩G= 且F∪G=Ω 称事件F与事件G互为对立事件 一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=，我们就称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记作 .（如右图所示） 对立事件 A Ω 追问 具有这种关系的事件还有那些？ D1与D2. （1）事件A与事件B在任何一次 试验中有且仅有一个发生。 注：事件A与事件B对立时 （2）AB为不可能事件， AB为必然事件 （3）对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件不一定是对立事件。 新知探究 问题6 “对立事件”、“互斥事件”都是指不会同时发生的事件，那么这两种事件之间的关系有什么异同呢？ ①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言. ②从定义上看， 两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，就是不可能同时发生；对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生. 因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件. 归纳小结 综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下： 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B= 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=,A∪B=Ω 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，例如，对于三个事件A, B, C，A∪B∪C (或A+B+C)发生当且仅当A, B, C中至少一个发生，A∩B∩C (或ABC)发生当且仅当A, B, C同时发生，等等. 典例分析 例5 如图示， 由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效. 设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”. (1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件； (3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件 ，并说明它们的含义及关系. 乙 甲 解： (1) 用x1, x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则 可以用(x1, x2)表示这个并联电路的状态. 用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为 Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. (2) 根据题意, 可得 A = {(1, 0), (1, 1)}, B = {(0, 1), (1, 1)}， = {(0, 0), (0, 1)}, = {(0, 0), (1, 0)}. 典例分析 例5 如图示， 由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效. 设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”. (1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件； (3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件 ，并说明它们的含义及关系. 乙 甲 ∴A∪B 和 互为对立事件. (3) A∪B = {(0,1), (1,0), (1,1)}, = {(0, 0)}; A∪B表示电路工作正常， 表示电路工作不正常. 典例分析 例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1 = “第一次摸到红球”，R2 = “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”， G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”. (1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ (3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？ 事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ 解：(1) 所有的试验结果如图所示. 用数组(x1, x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间为 Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}. R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)}, R2 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)}, R = {(1,2), (2,1)}, G={(3,4), (4,3)}, M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}， N = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2) }. 典例分析 例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1 = “第一次摸到红球”，R2 = “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”， G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”. (2) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ (3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？ 事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ 解： (2) ∵R⊆R1, ∴R1包含事件R； ∵R∩G =, ∴事件R与事件G互斥； ∵M∪N = Ω, M∩N =， ∴事件M与事件N互为对立事件. (3) ∵R∪G = M， ∴事件M是事件R与事件G的并事件. ∵R1∩R2 = R， ∴事件R是事件R1与事件R2的交事件. 学以致用 教材P89 1. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ). (A) 至多一次中靶 (B) 两次都中靶 (C) 只有一次中靶 (D) 两次都没有中靶 D [变式1] 某人连续射击3次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　) A．恰有一次击中 B．三次都没击中 C．三次都击中 D．至多击中一次 D [变式2]把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.以上都不对 B 学以致用 教材P235 2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： Ci = “点数为i ”，其中i=1, 2, 3, 4, 5, 6； D1= “点数不大于2”，D2= “点数大于2”, D3= “点数大于4”； E= “点数为奇数”，F= “点数为偶数”. 判断下列结论是否正确. (1) C1与C2互斥； (2) C2 , C3为对立事件； (3) C3 D2； (4) D3 D2； (5) D1∪D2=Ω, D1D2=∅； (6) D3=C5∪C6； (7) E= C1∪C3 ∪C5； (8) E, F为对立事件； (9) D2∪D3=D2； (10) D2∩D3=D3. √ ╳ √ √ √ √ √ √ √ √ 能力提升 题型一 事件的关系 例题1 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，观察3个球的颜色，设事 件 “1个红球和2个白球”，事件 “至少有1个红球”，则( ) A. B. C. D. B [解析] 事件 个红球和2个白球，2个红球和1个白球，3个红球 ， . 能力提升 题型一 事件的关系 例题2 (多选题)从分别写有1,2,3,4,5以及 , , , 的9张纸条中任意抽取两张， 有如下随机事件： “恰有一张写有数字”； “恰有一张写有字母”； “至少有一张写有数字”； “两张都写有数字”； “至多有一张写有字母”. 下列结论正确的有( ) A. B. C. D. [解析] 事件 “一张写有数字一张写有字母”， 事件 “一张写有数字一张写有字母”， 事件 “一张写有数字一张写有字母或两张都写有数字”， 事件 “两张都写有数字”， 事件 “一张写有数字一张写有字母或两张都写有数字”， 所以 ， ， ， ，故选 . ABD 能力提升 题型二 事件的运算 例题3 盒子里有3个红球，2个白球，现从中任取3个球，设事件 “3个球中有1个红 球2个白球”，事件 “3个球中有2个红球1个白球”，事件 “3个球中至少有 1个红球”，事件 “3个球中既有红球又有白球”. (1)求事件与事件,的运算关系； (2)求事件 与事件 的交事件； (3)把红球记为1,2,3,白球记为 , ,试用集合的形式表示 . [解析](1) 对于事件 ,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,故 . (2)对于事件 ,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球,故 . (3) . 方法总结 能力提升 解题感悟 事件 与事件 的交事件发生是指当且仅当 ， 同时发生，事件 与事件 的并事件发生是指 ， 中至少一个发生，可以借助集合列举符合条件的样本点. 能力提升 题型三 事件的互斥与对立 例题4 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系. (1)“恰有1名男生”与“全是男生”； [解析] 用数字1,2,3表示3名男生,用4,5表示2名女生,用 表示选出的参加演讲比赛 的2名同学，则试验的样本空间 , , . (1)设事件 “恰有1名男生”，事件 “全是男生”， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 因为 ，且 ，所以事件 与事件 互斥. 能力提升 题型三 事件的互斥与对立 例题4 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系. (2)“至少有1名男生”与“全是男生”； (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； (2)设事件 “至少有1名男生”， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 因为 ，所以 . (3)设事件 “全是女生”， 则 ， 因为 ，且 ，所以事件 和事件 互为对立. 能力提升 题型三 事件的互斥与对立 例题4 (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系. [解析] 设事件 “至少有1名女生”， 则 ， ， ， ， ， ， ， 因为 ， ， ， ， ， ， 所以事件 与事件 不互斥. 方法总结 判断互斥事件与对立事件的方法 能力提升 （1）利用基本概念判断： ①互斥事件不同时发生； ②对立事件有且仅有一个发生. （2）利用集合的观点判断： 设事件 与事件 所包含的结果组成的集合分别是 ， ， 为全集. ①事件 与事件 互斥，则集合 ； ②事件 与事件 互为对立，则集合 且 ，即 或 . 课堂小结 事件的关系及运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B= 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=,A∪B=Ω 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$