2026届高三一模提分数学周周练（四）

2026届高三一模提分数学学科周周练（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，， 则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（    ） A．1080 B．1560 C．2640 D．3960 6．函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 7．已知是上的偶函数，当且时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．在棱长为6的正方体中，，过的平面将该正方体分成体积为的两个部分，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．偶函数 C．图象关于点中心对称 D．在区间上单调递减 10．已知函数，且，为曲线上不同的两点，则（    ） A．时，曲线在处的切线方程为 B．时，有最小值1 C．若,关于点对称，则 D．若,关于点对称，且恒成立，则 11．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ） A．存在四条直线，使 B．存在直线，使弦的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．椭圆与抛物线有共同的焦点，点是椭圆与抛物线其中的一个交点，轴，则椭圆的离心率为 ． 13．已知正数，，满足，则的最小值为 ；的最小值为 14．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量.某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 14 17 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程； (2)若某户家庭人口数为8，预测该户茶产业年收入. 参考公式：经验回归方程，其中，. 16．在平面四边形中，，将沿翻折至，满足． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线、的斜率分别为、，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19．设函数且. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)证明：“”是“”的充分不必要条件； (3)若不存在零点，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026届高三一模提分数学学科周周练（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B B C A B BC BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据题意求，，进而逐项分析判断即可. 【详解】因为集合，， 则，， 可得，，故A正确，B错误； 且，集合不是集合的子集，故CD错误； 故选：A. 2．D 【分析】将直接代入求得即可. 【详解】因为，代入得：， 所以虚部为， 故选：D. 3．B 【分析】利用换元法令，求函数解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 4．B 【分析】根据双曲线方程得到其渐近线方程，结合示意图分析条件求出点坐标，利用向量的坐标运算得到点坐标，代入渐近线方程，化简计算即可求得离心率. 【详解】 由双曲线可知渐近线方程为， 因为，所以， 在中，，，可得. 即， 则 又因为点在渐近线上，所以，解得，可得. 故选：B. 5．B 【分析】根据分类加法计数原理和部分平均分组计数方法计算即得. 【详解】依题意，可分为两类情况：第一类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法； 第二类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法. 故由分类加法计数原理，共有种不同分法. 故选：B. 6．C 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 7．A 【分析】由函数的对称性和单调性，可将不等式化为，进而可求解. 【详解】因为是上的偶函数，所以的图象关于直线对称， 当且时，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则不等式可化为， 即或，解得或， 故原不等式的解集为． 故选：A 8．B 【分析】根据直线是长方体的体对角线，所以截面将长方体截成体积相等的两部分，进而可得截正方体的两部分体积的范围，从而可得所求值的最大值. 【详解】如图：由，得是的中点，是的三等分点（靠近A点）. 构造长方体是其体对角线，其体积. 设线段的中点为，过的平面为， 则平面将长方体分成的两个几何体关于点对称，体积都为. 而正方体的体积. 不妨设，则，， 当且仅当截面过四点时取得最大值. 故选：B 9．BC 【分析】化简函数的解析式，可得出，再利用余弦函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，， 所以函数， 所以函数是周期为的偶函数，A错误，B正确． 函数的图象关于点中心对称，C正确， 函数在区间上不单调，D错误． 故选：BC． 10．BCD 【分析】对于选项A，先求出时的函数表达式，然后对函数求导进而求出切线方程；对于选项B，求出函数的导数，判断函数的单调区间，进而求出最小值；对于C，根据点的对称性条件可列出相关等式，然后对所设函数进行求导、判断单调性，进而求出的取值范围；对于选项D，根据已知条件列出不等式，然后对所设函数求导和判断单调性，分情况讨论的范围，最后得出正确的答案. 【详解】对于A： 时，由， 得，，， 故曲线在处的切线方程为，故A错误. 对于B： 时，， 记，则0， 所以在区间上单调递增，又， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故有最小值，故B正确. 对于C： 由题意可得，由对称性不妨设，则. 又，即. 记，则， 又，，所以， 所以在区间上单调递增，所以，即. 要证明，即证，有解. 记，则， 取，则， 所以，使得，所以，故C正确； 对于D，由题意可转化为，即. 记，则，， 求导得 ，. 设，则， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，即， 故，当且仅当时取等号. 若，则， 所以在区间上单调递减，所以，符合题意. 若，时，， 所以在区间上单调递增，所以，不符合题意. 综上所述，，故D正确. 故选：. 11．ACD 【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可. 【详解】对于A，通径，实轴故有四条， 对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为， 设直线的方程为，与联立得： 恒成立. 所以， ， 所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上， 故不存在这样的直线l，故B错误. 对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：， 代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确； 对于D，设直线l方程为：. 联立得：，恒成立. 所以，，则，. 若A、B都在该双曲线的右支上，则， 即，所以，解得，故D正确； 故选：ACD. 12．/ 【分析】依题根据椭圆与抛物线的共性用椭圆的半焦距表示点坐标，代入椭圆方程即可得到的齐次方程，解之即得. 【详解】 如图，设点，则，因轴，把代入中， 解得：. 不妨取，再代入中，整理得：， 化简得：，即：， 解得：，因，则. 故答案为：. 13． 1 2 【分析】利用常数换元齐次化后，分离常数，利用基本不等式求得①；先固定，利用基本不等式使最大化，进而化简，换元，进一步化简，最后利用二次函数的性质得到②. 【详解】对于空①： ，当且仅当时取等号，所以的最小值为； 对于空②： 记，先固定，，由基本不等式的性质知，,当且仅当 时去等号，取到相对于固定的时的最大值. 因为 ，所以 . 表达式变为：, 设，则 ，，， , 设. 由二次函数的性质知当且仅当 时取得最大值。 因此 的最小值为 . 由，即 ，，. 所以， 故答案为：1；2 14．/ 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．(1) (2)25.7万元 【分析】（1）由已知表格中的数据结合给定公式求得的值，代入回归直线方程即可； （2）在（1）求得的线性回归方程中，将代入，求得值即可. 【详解】（1）由题知，. ，. 所以， ， 所以关于的经验回归方程为. （2）当时，， 故当某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为25.7万元. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明，可得面，再结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，进而求解夹角的余弦值. 【详解】（1）在平面四边形中， ， ， 在空间中，由得平面 又平面， 平面平面，得证． （2）以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 因为平面平面，所以轴平面， 则． 所以． 设平面一个法向量为，则， 即，令，则． 设平面一个法向量为，则， 即，令，则． 设平面与平面的夹角， 则. 17．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合与前8项和列方程组，求解首项与公差，得到数列的通项公式. （2）将裂项为，利用裂项相消法对数列的前项和进行累加计算. 【详解】（1）设的公差为， 由题知，解得或（舍去）， 所以， 即数列的通项公式为； （2）由（1）知， . 18．(1) (2)是，0 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义及椭圆的几何性质，结合椭圆过点的坐标代入方程计算即可得； （2）通过联立直线与椭圆方程，可得两交点横坐标有关的韦达定理，然后再表示出，，结合韦达定理计算即可. 【详解】（1）由题意可知，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）设，，如图， 联立，消去得， ，解得， 所以，， 则，， 所以 ， 即为定值0. 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先判断充分性，当时，等价于，设，，，利用导数分析函数的单调性，进而判断即可，再举例判断必要性即可求证； （3）求导得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 故， 则函数在点处的切线方程为. （2）当时，，故等价于. 设，，，则， 令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 故，即充分性成立； 当时，满足，但，， 显然不满足，即必要性不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. （3）由，则. 若，即，此时或恒成立，则在上单调， 当时，，此时，所以，所以； 当时，，此时，所以，所以. 综上所述，， 所以由零点存在定理可知，当时，在区间上存在一个零点，不符合题意，当时，在区间上存在一个零点，不符合题意. 若，即，令，解得，即， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 若，则存在零点，不符合题意； 若，则为的零点，不符合题意； 故，即，又， 故，即，则. ①当时，等价于，故. 由（2）可知，当时，单调递增，且，此时的取值范围是； ②当时，等价于，故. 由（2）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 故此时的取值范围是. 综上所述，的取值范围是. 答案第8页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $