精品解析：2025-2026学年九年级上学期数学学情自测（2026年1月10日）

2026年1月10日初中数学作业 一、单选题 1. 观察如图所示圆柱体和正方体，从前面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看得到的图形是解题的关键． 根据主视图的概念求解即可． 【详解】解：从正面看，左边是一个矩形，右边是一个正方形． 故选：B． 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是( ) A. B. C. k > 2 D. k < 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1−2k＜0即可解得答案． 【详解】∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴1−2k＜0， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 3. 在中，，下列选项中的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 4. 若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（ ） A. －3 B. －4 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求出两根之和． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，且a＝1，b＝﹣3， ∴x1+x2＝＝3． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意； B、，图象的顶点坐标是，故此选项不符合题意； C、当时，，函数图象与轴交于正半轴，故此选项符合题意； D、，开口向上，有最小值，最大值为，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 把抛物线y＝x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出抛物线y＝x2+1的顶点，再根据平移规则写出顶点平移后的对应点，由此可写出平移后的解析式. 【详解】解：抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），把（0，1）先向右平移3个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为（3，﹣4），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣4． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的平移.求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是根据平移口诀“左加右减，上加下减”，直接写出平移后的解析式. 7. 反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A(2，m)，过点A作y轴的垂线交y轴于点B．当点C在x轴正半轴上运动时△ABC的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 先变大后减小 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：把x＝2代入y＝得：y＝3， ∴A（2，3）， ∵AB⊥y轴， ∴AB∥x轴， ∴B（0，3），即OB＝3， ∴S△ABC＝AB•OB＝×2×3＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征、坐标与图形、平行线之间的距离相等，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是解答的关键． 8. 如图，在中，，过点作于点，交于点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．依据可得，再根据，即可得到相似比为，即可得到的值．解题的关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应边上的高之比等于相似比． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 即． 故选：D． 9. 第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 二、填空题 11. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是____________． 【答案】####1.75 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根得到即，计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程有两个相等的实数根时是解题的关键． 12. 已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，该二次函数的对称轴为直线，开口向上，则当时，函数有最小值为，又，故当时，函数有最大值为，从而得出的取值范围，熟练运用二次函数的性质求解函数值的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是_______（写出一个符合要求的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，随着的增大而减小，可得的取值范围． 【详解】解：二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴ ∴的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． 14. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在中，对角线，交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理可得，，作交于，则，，得出，，结合，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图，作交于， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题 16. 已知二次函数图象的最高点是A（4，3），且经过点B（2，-1），求该函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象的最高点是A(4，3)，设二次函数表达式为，然后将点B(2，-1)代入求解即可得到该函数的表达式． 【详解】解：设二次函数表达式为， 把B(2，-1)代入得， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查求二次函数的表达式，熟练掌握二次函数的顶点式和待定系数法是解题的关键． 17. 小明同学解一元二次方程：的过程如下： 解：原方程可化简为： ① ∴ ② 解得： ③ （1）小明的求解过程从第　　　　步开始出现错误，错误的原因是　　　　　　　　； （2）写出这个方程的正确解答过程． 【答案】（1）②，如果则两边不能同时除以 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）依据等式的基本性质判断即可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：小明的解答过程是从第②步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以， 故答案为：②，如果则两边不能同时除以； 【小问2详解】 解：， ∴， ， 则或， 解得，． 18. 明月山景区在2021年寒假期间，共接待游客达2万人次，预计在2023年寒假期间，将接待游客达2.88万人次． （1）求景区2021至2023年寒假期间接待游客人次的平均增长率； （2）景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价24元，则平均每天可销售200杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售20杯，店家决定进行降价促销活动，当每杯售价定为多少元时，利润最大？ 【答案】（1） （2）每杯售价定为元时，利润最大为元 【解析】 【分析】（1）设景区至年春节长假期间接待游客人次的平均增长率是，可得一元二次方程，即可解得平均增长率； （2）设每杯售价定为元，利润为元，可得：，由二次函数性质可得答案. 【小问1详解】 解：设明月山景区至年寒假期间接待游客人次的平均增长率是， 根据题意得：, 解得：或(舍去), 答：明月山景区至年寒假期间接待游客人次的平均增长率是； 【小问2详解】 设每杯售价定为元，利润为元，根据题意得： ， ∵, ∴时,取最大值, 最大值是, 答：当每杯售价定为元时，利润最大为元. 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程和函数关系式. 19. 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，已知． （1）求证：； （2），求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示： 四边形是矩形， ， ， 于点， ， 在中，， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）3． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质， 矩形的性质是解决问题的关键． （1）先证明，再证明，然后根据相似三角形的判定即可得出结论； （2）在中，由勾股定理得，由三角形面积公式得，在中，由勾股定理得，再根据和相似得，由此得，求出，进而即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， ， ， ， ． 20. 王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度与水平距离之间的关系可以表示为，铅球从出手到落地的路线如图所示． （1）求铅球出手点的离地面的高度是多少米？铅球推出的水平距离是多少米？ （2）求铅球推出的水平距离是多少米时铅球到达最高点？ 【答案】（1）铅球出手点离地面的高度是2米，铅球推出的水平距离是12米；（2）铅球推出水平距离是4米时到达最高点，最高点是米 【解析】 【分析】（1）要求OA，只需求A点坐标，由点Azaiy轴上，x=0，可求；铅球推出的水平距离OB，求B点坐标，点B在x轴上，让y=0解之即可， （2）把给的抛物线解析式配方变为顶点式即可． 【详解】解：（1）当时，， ∴铅球出手点离地面的高度是2米． 令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴铅球推出的水平距离是12米． （2）， ， ∴最高点坐标为， 答：铅球推出水平距离是4米时到达最高点，最高点是米． 【点睛】本题考查二次函数的实际问题，关键熟悉二次函数的知识，求轴上点的坐标方法，对称轴，顶点式，即顶点式中各代数式表示的意义． 21. 如图在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为． （1）求一次函数的解析式； （2）观察图象直接写出使得的的取值范围； （3）设一次函数的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足的面积是4，直接写出P点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键． （1）根据点经过反比例函数的图象，求得，再把点代入一次函数，可得，即，即可求解； （2）根据当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方即可求解； （3）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加． 【小问1详解】 解：∵点经过反比例函数的图象， ∴， ∴， ∴， ∵点过一次函数的图象， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴由图可得，当时，； 【小问3详解】 解：∵一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为， ， ∴， 解得． 则P点坐标为． 22. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 23. 已知抛物线经过点，与轴交于点． 求这条抛物线的解析式； 如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； 如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ;（2）点的坐标为；（3） 【解析】 【分析】（1） 用待定系数法即可得到答案; （2）连接，设点，由题意得到．即可得到答案. （3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案. 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得 抛物线解析式为； 如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为，由题意得， ， ， ， ． ，开口向下，有最大值， 当时，四边形的面积最大， 此时，，即． 因此当四边形的面积最大时，点的坐标为． ， 顶点． 如图2，连接交直线于点，此时，的周长最小． 设直线的解析式为，且过点，， 直线的解析式为． 在中，． 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 由图可知 设直线的函数解析式为， 解得： 直线的解析式为． 解得： ． 【点睛】本题考查一次函数和勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月10日初中数学作业 一、单选题 1. 观察如图所示圆柱体和正方体，从前面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是( ) A. B. C. k > 2 D. k < 2 3. 在中，，下列选项中的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（ ） A. －3 B. －4 C. 3 D. 4 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 6. 把抛物线y＝x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，所得函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 7. 反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A(2，m)，过点A作y轴的垂线交y轴于点B．当点C在x轴正半轴上运动时△ABC的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 先变大后减小 8. 如图，在中，，过点作于点，交于点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是____________． 12. 已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是_______（写出一个符合要求的值即可）． 14. 抛物线的顶点坐标是________． 15. 如图，在中，对角线，交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，则的长为________． 三、解答题 16. 已知二次函数图象的最高点是A（4，3），且经过点B（2，-1），求该函数的表达式． 17. 小明同学解一元二次方程：的过程如下： 解：原方程可化简为： ① ∴ ② 解得： ③ （1）小明的求解过程从第　　　　步开始出现错误，错误的原因是　　　　　　　　； （2）写出这个方程的正确解答过程． 18. 明月山景区在2021年寒假期间，共接待游客达2万人次，预计在2023年寒假期间，将接待游客达2.88万人次． （1）求景区2021至2023年寒假期间接待游客人次的平均增长率； （2）景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价24元，则平均每天可销售200杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售20杯，店家决定进行降价促销活动，当每杯售价定为多少元时，利润最大？ 19. 如图，在矩形中，于点，点是边上一点，已知． （1）求证：； （2），求的长． 20. 王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度与水平距离之间的关系可以表示为，铅球从出手到落地的路线如图所示． （1）求铅球出手点的离地面的高度是多少米？铅球推出的水平距离是多少米？ （2）求铅球推出的水平距离是多少米时铅球到达最高点？ 21. 如图在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为． （1）求一次函数的解析式； （2）观察图象直接写出使得的的取值范围； （3）设一次函数的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足的面积是4，直接写出P点的坐标． 22. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 23. 已知抛物线经过点，与轴交于点． 求这条抛物线的解析式； 如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； 如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $