精品解析：浙江省金华兰溪市实验中学共同体学校2025-2026学年九年级上学期数学期末试题

兰溪市实验中学共同体2025学年第一学期第三次学业水平反馈 九年级数学学科 2026年1月 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 2. “水中捞月”这个事件是（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：“水中捞月”这个事件是不可能事件， 故选：A． 3. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 4. 已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ） A. 2.7m B. 1.8m C. 0.9m D. 2.5m 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，， h=2.7m， 故选：A． 5. 如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 2或 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线必定与y轴有1个交点，另一个交点在x轴，关键二次函数与一元二次方程的关系解题． 【详解】解：由题意得，当抛物线与y轴有1个交点，与x轴只有1个交点时，则 解得 当图象过原点并和x轴有2个交点时，则 0= a−2 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 7. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP长为x），则x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】点P是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 8. 如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．根据含的直角三角形的性质以及勾股定理求出、、的长度，画出三角板绕原点顺时针旋转，过点作轴于点，然后证明，即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、作轴、轴于点、， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵轴、轴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴，， ∴点的对应点的坐标为， 故选：D． 9. 已知直线是二次函数（是实数，且）的图象的对称轴，点和点为其图象上的两点，且，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象及二次函数上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：直线是二次函数，，是实数，且的图象的对称轴， ， ， ， 点，和点，为其图象上的两点， ，， 当，即， ， 整理得：， ， ，故A，B不符合题意； 当，即， ， 整理得：， ， ，故C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象及二次函数上点的坐标特征，解题关键是逐个判断即可得出正确的答案． 10. 如图，点在以为直径的半圆上，，点是的中点，平分交于点，当时，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识．由为直径，可得，由F是的中点，可得，由平分，可得，可求，根据，计算求解即可；，连接，，则，，由，可得，，则，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，证明，则，据此计算求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：A． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）． 11. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________． 【答案】（-1，-3） 【解析】 【分析】将抛物线的一般式转化为顶点式，再根据顶点式即可求出结论． 【详解】解：y＝2x2＋4x－1=2（x＋1）2－3 ∴抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为：（-1，-3）． 【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握将抛物线的一般式转化为顶点式是解决此题的关键． 12. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式的应用，圆锥的侧面积公式为，其中r是底面半径，l是母线长． 【详解】解：∵，母线长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 13. 如图，在中，直径，弦，交于点，若，则弦__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．连接，由题意易得，然后根据垂径定理和勾股定理，即可得答案． 【详解】解：连接， 直径， ， ， ， 弦， ， ， 故答案为：． 14. 如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为______，（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质可得，求出是等边三角形，求出，即可求出，再根据阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵将半径为2，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点D处，点C的对应点为点E， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，弧长计算等知识点，如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的弧长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到． 【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最大，即最大， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. （1）已知，求的值； （2）． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用比例的性质进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∴； （2） ． 18. 图①，图②均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上．仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法） （1）如图①，已知经过点B，作出所在圆的圆心O． （2）在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． 【答案】（1）解：如图，点即为所求．． （2）解：如图，点即为所求（画出一个即可）．． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、轴对称的性质、平行四边形的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）根据轴对称的性质和平行四边形的性质找出格点、或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为 人， ，A所对的圆心角度数是 °． （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，30，36 （2） 补全条形图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）等级的人数除以所占的百分比，求出总人数，等级的人数除以总人数求出的值，等级所占的比例，求出圆心角； （2）根据（1）中求出的等级的人数求出总人数； （3）画出树状图进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人），等级的人数为：（人）， ∴， ∴， A所对的圆心角度数是； 故答案为：40，30，36； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 画出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选择一男一女，共有6种等可能的结果， ∴． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． 20. 为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面 的长为6米，通道斜面的坡度． （1）求通道斜面的长为 米； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】(1)过点A作于点N，过点D作于点M，根据已知得出，则，再解Rt，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出； (2)先解Rt，求出，得出，再根据即可求解． 【小问1详解】 过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在Rt中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面AB的长约为米； 【小问2详解】 ∵在Rt中，， ∴， ∴， ∴=米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接，点D为的中点，过D作，交的延长线于点E． （1）求证：是半圆O的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接交于点F． ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是半圆O的切线． （2） 【解析】 【分析】(1)连接，先证明，根据平行线的性质，再证明即可． (2)利用勾股定理求出的长，进而求出，利用三角函数的定义求出的长，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的三线合一，三角函数余弦的计算，熟练掌握圆的基本定理，灵活运用三角函数是解题的关键． 22. 西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 【答案】牌坊的高度11米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似三角形的性质可求出，证明，得出，然后代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 即牌坊的高度11米． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数图象． （1）求平移后图象的函数表达式． （2）若二次函数，当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值，求p的取值范围． （3）若点在图象上，点在图象上，且，求q的最大值． 【答案】（1） （2） （3）q的最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数图形平移，二次函数图象性质，二次函数的最值．掌握二次函数图象平移和二次函数图象性质是解题的关键． （1）利用二次函数图象平移规律：“左加右减，上加下减”求解即可； （2）利用二次函数的对称性和增减性求得当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，从而得出，即可求解； （3）根据点在图象上，得到，根据点在图象上，得到，从而得出，即，然后把代入，得，然后根据求二次函数的最值方法求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数图象为：， 即平移后图象的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴和时函数值相等， ∵，当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵点在图象上， ∴， ∵点在图象上， ∴ ∴ ∴， 把代入，得， ∵ ∴当时，即时，q有最大值，最大值为． 24. 如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结． （1）求证：． （2）当为等腰三角形时，求的长． （3）当当，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）长为6或4或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据（1）的结论分别分析讨论即可求解； （3）由（1）得．进而得出，是等腰直角三角形，根据，得出，，证明，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴． 连接，则，根据等腰三角形三线合一得． ②当时， ∴． ∵， ∴， ∴． ③当时， ∴． 连接，∵， ∴由等腰三角形三线合一得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或． 【小问3详解】 解：由（1）得． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵ ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰溪市实验中学共同体2025学年第一学期第三次学业水平反馈 九年级数学学科 2026年1月 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. “水中捞月”这个事件是（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法判断 3. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ） A. 2.7m B. 1.8m C. 0.9m D. 2.5m 5. 如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 2或 D. 2或3 7. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP长为x），则x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 8. 如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线是二次函数（是实数，且）的图象的对称轴，点和点为其图象上的两点，且，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，点在以为直径的半圆上，，点是的中点，平分交于点，当时，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）． 11. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________． 12. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为 ___________ ． 13. 如图，在中，直径，弦，交于点，若，则弦__________________． 14. 如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为______，（结果保留π） 15. 如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 16. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. （1）已知，求的值； （2）． 18. 图①，图②均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上．仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法） （1）如图①，已知经过点B，作出所在圆的圆心O． （2）在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． 19. 为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为 人， ，A所对的圆心角度数是 °． （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 20. 为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面 的长为6米，通道斜面的坡度． （1）求通道斜面的长为 米； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长．（结果保留根号） 21. 如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，连接，点D为的中点，过D作，交的延长线于点E． （1）求证：是半圆O的切线． （2）若，，求的长． 22. 西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数图象． （1）求平移后图象的函数表达式． （2）若二次函数，当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值，求p的取值范围． （3）若点在图象上，点在图象上，且，求q的最大值． 24. 如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结． （1）求证：． （2）当为等腰三角形时，求的长． （3）当当，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $