数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练-2026届高三数学二轮复习

数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 2526高三上：安徽息阳月考)已知数列Q,的前顾和为S,且S,三 (I)求数列{an}的通项公式： 1 (2)设bn= 一 og,an+1·log3an+2 数列山的前项和为工，证明：工<对 例2.(25-26高三上云南昆明月考)已知数列an}中，41=1，an+1=an+2n, (1)求an: (2)若bn=an+2n-1, 1 b 的前n项和为Sn,证明：Sn<1. 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高二上山东泰安月考)已知等比数列{an}的前项和为Sn,且a=4a4,S,=42. (I)求数列{an}的通项公式： 1 ②若61og4,1og,a,求数列，的前项和Z. 例4.(2026重庆九龙坡一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=9,9a,+a=54 (1)求an和Sn; 1+1++,1<4 (2设6.=1og,4,证明：bb,+b+b.b 2 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式1.(25-26高三上山东德州期末)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn,且Sn1-1=an+2n+Sn. (1)求数列an}的通项公式： 1 (2)已知b,=一 2,+2】记数列b,的前项和为☑，求证：3≤T,<· 变式2.(2026黑龙江大庆二模)已知数列{an}满足a,=2,an1=2an+2,b,=an+2. (1)证明：数列{b}是等比数列，并求数列bn}的通项公式： ②记6,0gbgh若数列c的前项利和为，求证：言，<分 1 61 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式3.(2026河北郴郸模拟预测)设函数g=写+am的图象在x=1处的切线平行于直线2x-y=0,记g 1 的导函数为f(x刘，数列{a,}满足：4=2a=f(a) (I)试判断数列an}的单调性，并给出证明； ②当n≥2，nN时，求证：1<，L+,1+…+ 1<2 1+a11+a21+an 变式4.(2026江苏镇江模拟预测)已知数列{an}是首项为1且公差不为零的等差数列，且a,a2,a成等比数列， 数列bn}的前n项和为Sn n(n+1) 条件①bh,…b,=22，条件②S,=2b-2,条件③6=2，S1=2Sn+2, (I)求{an}的通项公式： (2)选择三个条件中的一个，求{b}的通项公式； 3)若c,=3-2m anant “,求数列c,的前项和7· 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高二上·浙江温州期末)己知数列an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=2 (I)证明：{a}是等比数列； (2)若元S20=a1-a2+a3-a4+…+a1g-020,求1的值； (3)若bn=nan,求{bn}的前n项和T. 例2.2526商二上：四川广安期未)已知数列a的前项和为S,且4=写4=” 1 -an（neN） 3n ①)证明：数列是等比数列： n (2)求数列{an}的通项公式及前项和Sn. 5 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高三上辽宁期末)记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知2a4=a,a2a,Sn+1=2Sn (I)求{an}的通项公式： (2)等差数列bn}满足b2+b4=4,b,b=bbb,,bs>0. (i)求{bn}的通项公式； (i)求{abn}的前n项和Tn. 例4.(25-26高三上新疆喀什月考)记S,为数列{a,}的前n项和，已知a=1, S是公差为的等差数列 (I)求{an}的通项公式： (2)数列(b,}满足b,= n+a,求数列6.}的前n项和 2"1 6 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式1.(2026辽宁沈阳模拟预测)己知数列a}是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列{bn}是公比大于 0的等比数列b=3,b-b2=18 (1)求数列{an},{bn}的通项公式： ②记c,=会aeNn≥，求数列c的前项和S 变式2.(25-26高三上山东济宁.期末)记Sn为正项数列{an}的前项和，已知6Sn=a+3an（n∈N） (I)求{an}的通项公式： (2)令3 slog2b=an+3n∈N),求数列{ab,}的前n项和. 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式3.(25-26高二上广东广州期末)己知数列{an}的前n项和为Sn,且首项a,=2,an1=2Sn+2n∈N. (I)求数列{an}的通项公式： ②)若么，=，令c=a,b,求数列c.的前n项和Z. 变式4.(25-26高二上贵州毕节期末)已知数列an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+nn∈N),正项等比数列{bn}满 足b=a,且b,+b=8(b4+b) (1)求数列{an}和b}的通项公式： (2)已知Cn= ,记数列c的前硕和为，证明：工< anant (同已知成-爱，求数列4的前项和 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点三 分组与并项求和 例1.(25-26高二上河北邢台月考)设数列{an}的前项和为Sn,且a,=1,S1=3Sn+n2+1. (I)证明：{a,+n是等比数列 (2)求Sn 例2.(25-26高二上山东济南月考)已知Sn是数列{an}的前项和，已知对于任意n∈N,都有S,=2-an,数列 {b}是等差数列，b=a,b,=4. (1)求{a}与{b}的通项公式： (2)若数列{《-1)·a}的前项和，求及的最小值： 3)设c,={02b,n为奇数 0b,n为偶数， 求数列cn}的前2n项和Hn 9 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高三上江苏盐城月考)己知等差数列{an}的公差为d,且d≠0，设Sn为{an}的前n项和，数列{bn} 满足bn=2Sn-nneN) (1)若a,=-1,d=1,且bn<an,求n; (2)若数列{√bn}也是公差为d的等差数列 ①求数列{b}的通项公式；②求数列《-1)b}的前n项和工 例4.(2026广西柳州二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a=2,S,=15 (I)求{an}的通项公式： (②)设bn=2+an,求数列bn}的前n项和Tn 9数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.2s26商三上安微保阳月考)已知数列a的前吸和为8，且S-0} (I)求数列{an}的通项公式： 1 (2)设bn= 一， log3al0g3a 数列的前项和为工，证朝：工<兮 【答案】(1)an=3 (2)证明见解析 【详解】D当1时，=a=4弓移项分=故a=3 当≥2时，5-5=a,-}4引侵引 3.3 化简得a,=20,20,即a,=3a, 因此{an}是首项为3、公比为3的等比数列，故a,=3” (2)由an=3”,得log,an+1=n+1,l0g0n+2=n+2, 1 11 则，=n+ln+②n+1n+2 n+1n+2厂2n+2 因、1 >0,故T,<2 1 n+2 例2.(25-26高三上云南昆明月考)己知数列{an}中，41=1，a1=an+2n, (1)求an; (2)若b.=an+2n-1, 的前项和为Sn，,证明：Sn<1. b 【答案】(1)an=n2-n+1 (2)证明见解析 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【详解】(1)由题意，an-a-1=2(n-1),an1-an-2=2(n-2),…,a2-a1=2, 累加得，an-a1=2(1+2+…+n-1)=n(n-1),则an=n2-n+1, 经检验n=1时也成立，所以an=n2-n+1. (2)由(1)得an=n2-n+1,所以bn=an+2n-1, 1111 所以bn=n2-n+1+2n-1=n2+n,所以 n+nnn+1' 1、、1 因为nN,1>0,所以3，<1. n+1 例3.（25-26高二上山东泰安月考)己知等比数列{a}的前项和为Sn,且a=4a,S,=42. (I)求数列{an}的通项公式： 1 (2)若bn= log2an·log20n+1 ，求数列{b}的前项和T. 【答案】()a,=22 @a 【详解】(1)设{an}的公比为9，由a=4a4,得9=4， 由5=42，得01-4 =42,解得a=2 1-4 所以an=a,q-1=2.4=22m-1. (2)由a,=22m1,得 6a%doe4s,2erml2可 所以x--动0得++- 例4.(2026重庆九龙坡一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=9,9a,+a;=54 (1)求an和Sn; 1 (②)设b,=1og,4,证明： 1 十…十 1一<4 b.b2 babs bbn+1 【答案】(I)a,=3”,Sn= 3-3 2 2 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 (2)证明见解析 【详解】(1)由{an}为等比数列，9a1+a=54,可 9a+a,9=54, 即81+9g=54,q2-6g+9=0,解得9=3， 所以4=二=，8=3x3=,531-3 1-3 2 吗号破目》 2 2 因为，中0，所以1点1.从面的 1 1 -十…十 n+1 14 变式1.(25-26高三上山东德州期末)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn,且Sm1-1=an+2n+Sn. (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)已知bn= 。+2n-了，记数列，}的前项和为工，求证：37，<4 3 【答案】(1)a,=n2+1 (2)见详解 【详解】(1)由题得Sm1-Sn=an+2n+1,且Sn-Sn=a1,则有an+1-an=2n+1, an-an =2n+1 递推后联立 an-0-1=2n-1 得an+1-an+an-an-1+…+a2-a1=(2n+)+(2n-)+…+3, a2-a=3 化简得a1-4=2m+)+3n=2+2n,即01=+2n+2,故a,=a-12+20a-+2=r2+1, 2 故数列{an}的通项公式为an=n2+1. o46a西是小w x-0-g…(4 +11 22n+1n+2 311+1 42n+1'n+2 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 因为0，划-。品，0.所以T子 1+1 8商公为照险列，黄无2-行引-片呼7号 1 -XI 故s7<3,得证 1 3 4 变式2.(2026黑龙江大庆·二模)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,bn=an+2. (1)证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式： (2)记cm= l0g2b.l0gb ·若数列c的前项和为，求证名工<兮 【答案】(1)证明见解析，b,=2+ (2)证明见解析 【详解】(1)因为an1=2a,+2,所以an1+2=2(an+2), 又b,=an+2,所以bn1=2bn, 因为a1=2,所以b=a,+2=4≠0， 结合以上递推关系可知，6，+0，则=2， b 所以数列bn}是以b,=a,+2=4为首项，2为公比的等比数列， 所以b,=42-1,所以数列{b}的通项公式为b,=21, (2)由(1)知b,=2, 1 1 11 由c.=10g,b.-log2b1 得c,(n+ln+2n+1n+2 所以z- +…+ 11-111 n+1n+22n+22 1 因为得.=m+1n+2) >0,数列{T}为单调递增数列， 111 所以Tn之T,= 236 所以。工，2 1 6 变式3.(2026河北邯郸模拟预测)设函数g()=}x+ar2的图象在x=1处的切线平行于直线2x-y=0,记gx 的导函数为f(,数列a,}满足：4=2a=f(a,) (1)试判断数列{an}的单调性，并给出证明； 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 ②)当n≥2，neN时，求证：1<，1 ,1+…+,1<2 1+a11+a21+an 【答案】()数列an}单调递增，证明见解析； (2)证明见解析 【详解】(1)数列an}单调递增，证明如下： 2x-y=0→y=2x,因此直线2x-y=0的斜率为2， 所以与直线2x-y=0平行的直线的斜率也是2， g(x)-ix+ar=f(x)-g(x)-x+2@. 3 因为函数8-背+ar的图象在：=1处的切线平行于直线2x-少=0， 所以g0=2→r+2a=2a分即f=+ an1=fan）=a2+an, 1 因为a=2所以a=a+a,可得a,>0, an1-an=ai>0→a+1>an, 所以数列an}单调递增； 111 @因为0ae,+,且0>0所。8。，。P 即 an+1 an an 当n≥2，neN*时，Tn= 1+1+…+ 1 12+4_26>1 。 1+a11+a2 1+an1+a11+a23721 所以1<、1 1 一十 一十…十 1一2 1+a11+a2 1+an 变式4.(2026·江苏镇江模拟预测)己知数列{an}是首项为1且公差不为零的等差数列，且a,a2a成等比数列， 数列{bn}的前项和为Sn, n(n+1) 条件①bb,…b,=22，条件②S=2b.-2，条件③6，=2，S1=2S+2, (I)求{an}的通项公式： (2)选择三个条件中的一个，求{bn}的通项公式： 3)若c,=3-2mb anan 求数列c,}的前项和T, 6 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【答案】(1)a,=2n-1 (2)b。=2” 3)I=2- 21 2n+1 【详解】(1)设数列{an}的公差为d,则d≠0，因为a,a2,a成等比数列，a=1, 所以(1+d)2=1×1+4d),解得d=2, 所以an=1+(n-1)×2=2n-1; 11+ (2)若选①，当n=1时，b=22=2 川n+l) 22 当n22时，b==2”，又6=2=2，所以6，=2°： 221 若选②，当n=1时，S,=2b,-2,又S,=b,所以b=2b-2,解得b=2, 当n≥2时，bn=S,-Sn1=(2b,-2-(2bn-1-2)=2b,-2b-1,整理得bn=2bn-1, 即么=2，所以6是等比数列，公比为2，又=2， 所以bn=22"-1=2”; 若选③，当n=1时，S2=2S,+2,因为S2=b+b2,S,=b,所以b,+b2=2b+2, 又b=2,所以b2=4, 当n≥2时，bn1=Sn1-Sn=(2Sn+2）-(2Sn1+2)=2(Sn-Sn）=2bn, 2时，2，又会-2，所以b是首项为2公比为2的 b 所以b,=22-=2”: (3)由1)(2)c,-3-2m4.3-2m12 3-2n （2n+1)-2(2n-112 a.a2n-02m+1,因为2n-2n+12n-2n+2n2n+1' 2”21 所以c.=2n-12m+1 断信引借居品司 2、21 2n+1 6 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高二上·浙江温州期末)己知数列an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=2 (I)证明：{an}是等比数列； (2)若元S20=a1-a2+a3-a4+…+a1,-a20,求1的值； (3)若bn=nan,求{bn}的前项和Tn 【答案】(1)见解析 回月 3)7,=4-2+n 2-1 【详解】(1)an+Sn=2,当n=1时，a1+S,=2, 即2a=2,解得：a1=1, n≥2时，an+Sn=2,an1+Sn1=2, 两式相减：a,-a-+(S。-S-）=0,即2an=a-1, =1 a2即g=2 :数列{a}是首项为1，公比为，的等比数列 (2):数列{an}是首项为1，公比为，的等比数列， 1 1- 4-4a-Q,…4…0是首项为1，公比为的等比数列， .a1-a2+a3-a4+…+a1g-a20= 郢-g门 1S20=a1-a2+a3-a4+…+a1g-020, 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 -]引- 解得：入=3 (3):数列a}是首项为1，公比为的等比数列， a=”-八即a, {b}的前项和Tn, 江=9+2+++。 两a同时乘以时得：-+2x+3付++n侣 z=4--2小+-a- 理海：=-付++- 里旷：gg =4-=4”.即,4+” 例2.256商二上国广安期未)已知数列a的前顺和为8，且4号4- n(reN) 0证明：数列侣 是等比数列： (2)求数列{a}的通项公式及前项和Sn· 【答案】（①）证明见解析 n 33+2n 44×3" P 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【详解】)数列o中，a=了4= 1 a,则04=0×」 3n n+1n3’ an+l 则n+1 3,又9、1 13' n 所以数列 是首项为公比为的等比数列，· n 3 (2)由(1)可得： n 3 因此a= 3, 123 数列an}前项和为Sn=。 332+3++ , 12 n-1,n =3京+++3+3 两式相减可得5。-行宁+ 11 1231-3n13+2 3”3= 1 1 3时22×3m’ 33+2n 所以S.=44×39 例3.(25-26高三上辽宁期末)记Sn为正项数列an}的前项和，己已知2a4=a,aa3,Sn+1=2Sn. (1)求{an}的通项公式： (2)等差数列{bn}满足b+b=4,，b,b=b,b,b,bs>0. (i)求{bn}的通项公式： (ii)求{a,bn}的前n项和T,. [2,n=1 【答案】(1)an= 2,n≥2 (2)(i)b.=n-1(i)（n-22"+2 【详解】(1)由S1=2S.,S,=a,>0可知{Sn}是公比为2的等比数列， 故Sn=2-a,当n22时，Sn-=2"-2a1,an=Sn-Sn1=2-2a, a1,n=1 故a,-{2a,n≥2于是2a,=8a,aaa=2a,故a=a, 「2，n=1 由an>0可得a1=2,故an= 2m-,n≥2 0 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 (2)(i)记{b}公差为d,由b,+b,=4=2b可知b=2, 故b,b=2b,b,=2(b,-2d)(b+2d=2b,b-4d(b-b)-8d2=2b,b-12d2，即b,b=12d2, 而b,b=(b+d)(b+2d=(2+d(2+2d=4+6d+2d2=12d2, 即(5d+2d-l=0,d=-2或d=1 5 当d:号时，乌=么+a-d=号+台此时，=兰0，不合题意，舍去 当d=1时，b,=b+n-3)d=n-1,此时bs=14>0,符合题意 故{bn}的通项公式为b,=n-1, (ii)当n=1时，T=a,b=2×0=0; 当n≥2时，T,=0+1×2+2×2+…+n-1)×21, 2Tn=0×2+1×22+2×23+…+(n-2)×2-1+(n-1×2", 两式相减，得到=a-×2-2++2）=a--221-2）-a-小-2-2+2=n-2-2+2 1-2 又n=1时，(1-2×2+2=0=T, 综上可得：T,=n-2)2”+2. 例4.(25-26高三上·新疆喀什·月考)记Sn为数列an}的前n项和，己知a1=1， a 无公然为写的等类数列 (1)求{an}的通项公式： 2☒资列6满足么-行Q·求数列6的前项和 【答案】（①a,=mn+D 2 (2)Tn=(n-1)2+1+2 【详解11)由4-=1将子1，又各}无公差为钓等类数列，故8=1+0-》=”2，即8-”子。 a a 3 a 3 当n≥2时，51=+a ,两试减5-5=”兮2。-。8→。 _n+1。 0m-1n-1’ .3.4.5n+1=1.nm+D 累乘得：a.=a123“n-1 2 10