数列：数列插项问题、数列新定义问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

数列：数列插项问题、数列新定义问题专项训练 数列：数列插项问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列插项问题 数列新定义问题 考点一 数列插项问题 例1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列．设． (1)求的通项公式． (2)设，求． (3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式对任意恒成立，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)． 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以，即，又， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以． 根据题意可得． （2）解：，则 记① ②， ①②得， ， 故（或）． （3）解：依题意得． 不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立． 设，则， 所以 ， 又，所以， 所以数列单调递增，则， 所以，即的最大值为． 例2．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交x轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”.是函数关于的“数列”，记. (1)证明：数列为等比数列； (2)证明中不存在个不同的项、、成等差数列； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，设的前项和为，是否存在，当时，恒有?若存在，求的最小值，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，的最小值为，证明见解析 【详解】（1），则在处的切线斜率为， 所以在处的切线方程为. 令，解得， 所以，所以， 即，又， 所以是以首项为-2，公比为2的等比数列. （2），递减.设存在，，成等差数列，则， 有： 两边同时除以，有（**） 因，都是正整数，故上式左侧是偶数，右侧是奇数，等式不可能成立. 故假设不存在，不存在、、成等差数列. （3）显然由得是的第项. 则当时，，此时有，其中. 个相同的数的和为， 当时， ， 当时，，故， 设，， ， 当时，则，，故，即：， 故当时， . 综上有：时，恒有，的最小值为. 例3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 例4．（25-26高三上·天津滨海·月考）已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列. (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ； (3)若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个 2，得到一个新的数列 . 设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）设数列的公比为. 因为成等差数列，所以， 即， 因此，而，所以. 又，所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， 所以， 所以. （3）由题意知， 则当时，，符合题意； 当时，，所以不成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 . 又因为，所以， 即，所以， 如图，结合函数图像可知有三个解，（舍去）， ，，此时， ，符合题意， 又， 所以，又因为，故不符合题意， 即当时，时，； 综上所述，或． 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知正项数列中，为数列的前n项和，满足，设． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)令，在和之间插入k个数构成一个新数列：，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 【答案】(1) (2) (3)223 【详解】（1）由题意，在中， 令，可得， 因为，当时，， 可得，即， 整理得，因为，， 可得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以． （2）由，则， 所以的前项和为： ． （3）因为， 在数列中，项之前（含）共有项，， 所以数列的前30项中包含数列的前7项及数列的前23项， ． 变式2．（25-26高三上·天津和平·月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. (1)求； (2)已知，求数列的前项和； (3)数列的前项和为，对于数列，，在和之间插入数列的前项，组成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，所以， 由，，得， 所以，，故，所以. ，， ； （2）当是奇数时，， 当是偶数时，， 则① ② ①-②得： 即 化简得：. 所以. （3），， ，， 可得， 设， ， 相减可得， 则. 变式3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等比数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②在数列中是否存在不同的3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②不存在，理由见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则； ②不存在，理由如下： 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 变式4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若，求； (2)若，求正整数的最小值； (3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由. 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，且或 【详解】（1），第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ，； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到， 故，故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得，最小值为10； （3）因为， ，依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知数列，定义数列的伴随数列为，其中.记，，其中，表示集合中最大的数，表示集合中最小的数. (1)已知数列，求和； (2)若，，，求的最小值； (3)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2)2 (3)2025 【详解】（1）由题意知，，又， 所以. 故. （2）因为当，，， 所以，且，使得， 所以，， 则. 此时，构造数列为满足等号成立. 所以的最小值为2. （3）对任意实数，若， 则数列的伴随数列，其中，， 所以不妨设数列中最大值为，最小值为0. 记，， 令，， 先设，则 ， 因为，，， 所以， 构造数列为，满足上述式子等号成立. 若，类似地有 . 构造数列为，满足上述式子等号成立. 显然不成立. 综上，的最大值为2025. 例2．（2026·河北邢台·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. (1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； (2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； (3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 【答案】(1)；；；； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）该数列的所有完美子列如下：；；；. （2）数列的完美子列 按首项分类，有如下情况： 若首项为，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；；；，共4个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；，共2个完美子列. 因此，. （3）设等比数列的公比为，易知， ①当时，若，则为非零常数列，即，取出3项后， 由于，即其中任意一项都不等于另外两项之和，因此此时不存在完美子列； 若，则为，易知其亦不存在完美子列； ②当时 ，假设存在完美子列. （i）若，当时，设的一个完美子列为， 则，且， 但事实上，所以上述等式不可能成立，此时不存在完美子列； 当时，此时中项的绝对值随的增大逐渐增大，同理不存在完美子列. （ii）若，由①知不需要讨论的子列中的项全为正数或全为负数的子列， 当的一个完美子列中的项为两正一负时，设该完美子列为， 其中，（点拨：当时，无论的首项是正是负， 数列中的项均为一正一负交替出现，所以不需要再讨论首项与0的大小关系） 此时应有，则，（提示：只有正数中的最大数与负数的和才有可能等于另一个正数）. 若，则， 若，则， 所以等式不可能成立； 同理两负一正的情况也不成立。所以不存在完美子列. 综上，若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 例3．（25-26高三上·北京房山·期末）已知集合，数列：，：， 其中，且当时，，，当时，． (1)若，求的值； (2)当时，若为奇数，分别判断与是奇数还是偶数，并说明理由； (3)若数列中有项为奇数，求的最大值． 【答案】(1) (2)为奇数；为偶数 (3)的最大值 【详解】（1）已知是集合的一个排列，所以，由题意，，所以令可得，，因为，所以，所以. （2）设的前项和为，由递推式，可得，又，定义，，所以，即，所以，因为为偶数，为奇数，所以为奇数， ，若为偶数，则为偶数，若为奇数，则偶数，所以为偶数. （3），因为，若为奇数，则与奇偶性相反，若为偶数，则与奇偶性相同，集合中有个奇数，个偶数，从为奇数，为使数列奇数项尽可能多，应优先使用偶数作为的值，取为中所有的个偶数，则均为奇数，共项，此时偶数已用完，为奇数，则为偶数，为奇数，为偶数，，可知为奇数，共项，因此，奇数项共有项，所以的最大值为. 例4．（25-26高二上·天津·期末）已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推. (1)当，时，求； (2)求的最小值（用含的代数式表示）； (3)记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为为公差为1的等差数列，所以； 又为公差为的等差数列， 所以，解得； （2）因为为公差为1的等差数列，所以； 又为公差为的等差数列，所以； 又为公差的等差数列， 所以； 又为正整数，所以，故的最小值为； （3）记除以的整数部分为，余数为，则， 当时，是公差为的等差数列， 而， 依次类推得， 累加得， 即，即； 当时，， 当时，， 所以， 依题意，当时，， 当时，，也满足上式， 综上，数列的通项公式为. 变式1．（25-26高三上·北京朝阳·期末）设为正整数且，若由实数数对组成的序列满足对任意，均有，则称为一个序列．若对一个序列，存在有序实数组（其中）使得，则称为一个序列． (1)已知序列，判断序列是否为序列？序列是否为序列？说明理由； (2)当时，判断是否存在序列不是序列？若存在，请举出一个符合要求的序列；若不存在，说明理由； (3)若任意序列均是序列，求的所有可能取值． 【答案】(1)序列为序列，也是序列； (2)存在，； (3)的所有可能取值为大于等于3的奇数． 【详解】（1）由可知序列为序列． 取，有 , ， 故，所以序列为序列． （2）存在序列不是序列． 取， 则， 所以此时序列是序列． 对任意有序实数组， 可得， ， 从而． 所以序列不是序列． （3）若为偶数，则． 取， 则对于每个整数均有， 所以此时数对序列是序列． 对任意有序实数组， , . 所以与的奇偶性相同． 所以为奇数，从而． 所以． 所以序列不是序列． 若为奇数，则． 若对于一个序列，将其中的数对更换为， 或者将与对换位置，序列仍然是序列．， 所以不妨设对于任意，均有， 取，则 ①若对于每个，均有，不妨设， 则有． , , . 则有 ②若存在，使得， 则可设． 记，， 当为偶数时， , , 同时, . 当为奇数时， , , 同时, . 综上可得． 由已知条件得及． 则有， 不妨设， 若，则； 若，则． 综上可知，的所有可能取值为大于等于3的奇数． 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组； (3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）解法1：当时，，解得． 当时，两式相减得， 整理得，因为，所以， 所以，从而， 因此， 所以，当时数列为常数列． 由于，因此，即，且和适合上述关系． 因此数列的通项公式为． 解法2：当时，，解得． 当时，两式相减得， 整理得，因为，所以， 所以，从而，累加可得， 由于，因此，即，且和适合上述关系． 因此数列的通项公式为． （2）证明：不妨设，由（1）知数列为递增数列，因此． 充分性：若为三角数组，则．因为、，所以， 所以， 所以为三角数组． 必要性：若为三角数组，则，即， 所以，所以为三角数组． 故为三角数组的充要条件是为三角数组． （3）证法1：由（2）知，从数列的前项中任意取出不同的三项， 这三项为三角数组等价于从前个正整数中依次取出三个不同的数， 这三个数为三角数组．从中一次任取三个数和， 共有种可能． 记从中一次任取三个数为三角数组的可能数为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，，故， 由累加法可得：， 故． 证法2：由（2）知为三角数组的充要条件是为三角数组． 从中任意取出不同的三个数，不妨设，共有种方法． 对于定值， 当，时，为三角数组，记满足条件的三角数组的个数为， 当为奇数时，， 故为偶数时，， 当为偶数时，所有满足条件的三角数组的个数为 ， 此时 当为奇数时，所有满足条件的三角数组的个数为 ， 所以． 故对任意都成立． 证法3：由（2）可知，原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数， 则这三个数为三角数组的概率． 设事件表示“从前个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”， 事件表示“从前个正整数中取出的三个不同的数中最大数为”， 则， 易知，从而， 下面证明：， 由法2的分析可得满足有个，且， 故，又， 故， 下面用数学归纳法证明：， 当时，，故时命题成立； 设，设成立，则成立， 故时，命题也成立， 故对任意． 变式3．（25-26高三上·北京西城·期末）已知项数列的各项均为正整数．若存在，使得满足以下两个条件：①对任意；②对任意奇数．则称数列具有性质． (1)判断下面两个数列是否具有性质；（结论不要求证明） 数列A：1，2，3，1，2，3，2，1；     数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1． (2)已知数列具有性质，且，判断中是否存在5项，其值均为2？若存在，给出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由； (3)若数列具有性质，证明：． 【答案】(1)数列 A 不具有性质；数列 B 具有性质. (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析； 【详解】（1）数列A：1，2，3，1，2，3，2，1； ①对任意；②对任意奇数，数列 A 不具有性质； 数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1；满足①对任意；②对任意奇数，所以数列 B 具有性质. 数列 A 不具有性质；数列 B 具有性质. （2）不存在； 先证明：若，则. 假设, 由条件①，得 . 若 p 为偶数，即为奇数，则当时，假设与条件②矛盾． 当p为奇数，同理矛盾， 所以假设错误，即 . 由条件①，知, 若中有五项均为2，即这16项中有5项均为2, 则项数应满足，这是不可能的． 所以数列中不存在5项均为2. （3）理由如下： 由①知，前9项依次为1,2,…,9；最后9项依次为9,8,7,…,1. 由②知，对任意奇数,为1,2,…,9的一个排列， 所以，且之间至少有7个其他项． 令，由②知：若 i 为奇数，则紧随其后等于k的项为之一；若 i 为偶数，则紧随其后等于 k 的项为之一． 由，得第二个出现的，第三个（假设存在，下同）,第四个； 由 ，得第二个，第三个，第四个，第五个；（*） 由 ，得第二个，第三个，第四个，第五个；（#） 若第二个9为中最后一个9，则最后一个，与（*）不符； 若第三个9为中最后一个9，则最后一个，与（#）不符； 若第四个9为中最后一个9，根据（*），得或或. 若 ，与（#）不符； 若，由，得前一个等于8的项只能是；由，得前一个等于7的项只能是，这显然矛盾； 若，由，得前一个等于8的项只能是；由，得前一个等于7的项只能是，这显然矛盾． 所以数列中至少有5项为9. 故数列至少有项，即 . 变式4．（25-26高三上·北京海淀·期末）对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列. 对有穷数列，令数列. 若，则称为阶完美数列. (1)写出所有的2阶完美数列； (2)若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数； (3)是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)3，1；3，2；1，3；2，3. (2)1 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）2阶完美数列有4个，分别为；；；. （2）设；；. 依题意，， 不妨设，则，即， 若，则，所以， 由知，用表示中的最大值，则， 所以，由知. 若，则，所以， 所以，. 构造：当为或时，符合，其他情况不符合， 所以的元素个数为1. （3）不存在16阶完美数列， 假设存在16阶完美数列. 设，， 用表示中的最大值，用表示中的最小值， 则， 其中， 所以，其中为1，2之一， 设，则， 同理，，其中为1，2，3之一， 设，，则， 重复上述过程，则， 所以， 因为， 所以. 所以， 不妨设， 则当时，，， 设，对进行类似于的研究； 则有，其中， 同理，， 其中当时，， 所以， 因为， 所以， 所以， 又，矛盾， 所以假设不成立， 所以不存在16阶完美数列. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：数列插项问题、数列新定义问题专项训练 数列：数列插项问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列插项问题 数列新定义问题 考点一 数列插项问题 例1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列．设． (1)求的通项公式． (2)设，求． (3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式对任意恒成立，求的最大值． 例2．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交x轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”.是函数关于的“数列”，记. (1)证明：数列为等比数列； (2)证明中不存在个不同的项、、成等差数列； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，设的前项和为，是否存在，当时，恒有?若存在，求的最小值，并证明你的结论. 例3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 例4．（25-26高三上·天津滨海·月考）已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列. (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ； (3)若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个 2，得到一个新的数列 . 设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 的值. 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知正项数列中，为数列的前n项和，满足，设． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)令，在和之间插入k个数构成一个新数列：，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 变式2．（25-26高三上·天津和平·月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. (1)求； (2)已知，求数列的前项和； (3)数列的前项和为，对于数列，，在和之间插入数列的前项，组成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求. 变式3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等比数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②在数列中是否存在不同的3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 变式4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若，求； (2)若，求正整数的最小值； (3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知数列，定义数列的伴随数列为，其中.记，，其中，表示集合中最大的数，表示集合中最小的数. (1)已知数列，求和； (2)若，，，求的最小值； (3)若，，求的最大值. 例2．（2026·河北邢台·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. (1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； (2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； (3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 例3．（25-26高三上·北京房山·期末）已知集合，数列：，：， 其中，且当时，，，当时，． (1)若，求的值； (2)当时，若为奇数，分别判断与是奇数还是偶数，并说明理由； (3)若数列中有项为奇数，求的最大值． 例4．（25-26高二上·天津·期末）已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推. (1)当，时，求； (2)求的最小值（用含的代数式表示）； (3)记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）. 变式1．（25-26高三上·北京朝阳·期末）设为正整数且，若由实数数对组成的序列满足对任意，均有，则称为一个序列．若对一个序列，存在有序实数组（其中）使得，则称为一个序列． (1)已知序列，判断序列是否为序列？序列是否为序列？说明理由； (2)当时，判断是否存在序列不是序列？若存在，请举出一个符合要求的序列；若不存在，说明理由； (3)若任意序列均是序列，求的所有可能取值． 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组； (3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：． 变式3．（25-26高三上·北京西城·期末）已知项数列的各项均为正整数．若存在，使得满足以下两个条件：①对任意；②对任意奇数．则称数列具有性质． (1)判断下面两个数列是否具有性质；（结论不要求证明） 数列A：1，2，3，1，2，3，2，1；     数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1． (2)已知数列具有性质，且，判断中是否存在5项，其值均为2？若存在，给出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由； (3)若数列具有性质，证明：． 变式4．（25-26高三上·北京海淀·期末）对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列. 对有穷数列，令数列. 若，则称为阶完美数列. (1)写出所有的2阶完美数列； (2)若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数； (3)是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $