专题 7.5 幂的乘方与积的乘方（专项练习）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.5 幂的乘方与积的乘方（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）若为正整数，则表示的是（    ） A．3个相乘 B．4个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的定义进行判断即可． 解：若为正整数，则表示的是3个相乘， 故选：A 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆用． 直接逆用积的乘方计算即可． 解：． 故选：D 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可． 解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，选项A正确； ∵ 积的乘方等于乘方的积， ，选项B错误； ∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变， ，选项C错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，选项D错误． 故选：A． 4．（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，根据积的乘方公式，将原式转化为进行计算． 解： ， 故选：C． 5．（25-26七年级上·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，把看作一个整体，先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 解： ， 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，以及积的乘方，根据法则进行计算即可； 解：原式= 故原式可以被5，7，9整除． 故选：D ． 7．（22-23七年级上·广东深圳·期末）已知，，a，b均为正整数，则＝（　　） A．mn2 B．m2n C． D．m2n2 【答案】D 【分析】先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． ∵， ∴． ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法法则的逆用，解答本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方的相关法则． 8．（25-26八年级上·河南南阳·月考）学校的黑板报上写着两个励志的数学式子：“”，“”，这两个式子表明：每天比前一天进步，一年后所得终值约是初值的倍；反之，每天比前一天退步，一年后所得终值约是初值的！如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（   ） A．75 B．500 C．750 D．1500 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方运算性质及平方值的估算应用，解题的关键是将转化为，再用、框定结果范围，排除不符合的选项． 先根据幂的乘方性质把变成，已知，即估算；再计算、，可知在900到1600之间，排除小于900的A、B、C选项，确定D选项． 解：根据幂的乘方性质，得． 已知，则需估算． 计算，，因在30和40之间， 故在900到1600之间． 对比选项，只有选项D符合要求． 故选：D． 9．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列命题中正确的有（    ） ①为奇数时，一定有等式； ②无论为何值，等式都成立； ③三个等式，，都成立； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据乘方、幂的乘方、积的乘方等知识逐个判断即可解答． 解：①当为奇数时，一定有等式，故①正确； ②当为奇数时，等式成立，故②错误； ③，，都成立，故③正确； ④若，，由则，即，解得，故④错误． 正确的共有2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了乘方、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 10．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·山西大同·月考）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方；先依据积的乘方法则，将和分别乘方，再依据幂的乘方法则计算的乘方（指数相乘），最后把常数乘方的结果与字母幂的结果相乘，得到最终答案． 解：． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据，求出 的值，再代入所求代数式计算出答案即可． 解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，将转化为，利用同底数幂相乘的法则，合并指数后代入已知条件计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 解：因为， 所以， 因此， 因为， 所以， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·河南·期末）当时，则 ． 【答案】81 【分析】此题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是关键． 将27和9分别化为以3为底的幂，利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，结合已知条件求解即可． 解：∵，， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， 故答案为：81 15．（2025八年级上·全国·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方． 先计算积的乘方，再利用同底数幂相乘的法则进行运算． ． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·湖北武汉·月考）计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 解： 故答案为：． 17．（24-25八年级上·山东·开学考试）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的应用．首先，根据同底数幂的乘法法则，将变形为，再用幂的乘方法则变形为，最后，将知，代入即可． 解： ∵，， ∴原式 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海闵行·月考）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【答案】128 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·吉林长春·月考）在幂的运算中规定：若（且，、均是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用． （1）首先根据幂的乘方可得：，可得：，根据题意可得：，解方程即可求出的值为； （2）逆用积的乘方的法则，可得：，从而可得：，根据题意可得：，解方程即可求出的值． （1）解：，， ， ， 解得：， 的值是； （2）解：，， ， ， 解得：， 的值是． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山西阳泉·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方计算解答即可； （2）根据积的乘方，整式的加减计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，整式的加减，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）解： ． （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（2025·安徽滁州·二模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，是解题关键． （1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可； （2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，即可证明猜想． （1）解：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ∴第7个等式：. （2）解：猜想：； 证明如下：左边， 右边， ∴左边右边， ∴成立. 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南南阳·月考）李老师在习题课上出了一道题目，下面是小明同学的解题过程． 计算：． (1)请根据小明的批注补全解题过程； (2)请利用小明的解题方法计算：． 【答案】(1)解题过程见解析 (2)1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算（的逆用）和有理数的幂运算，解题的关键是将指数相同的项分组，利用积的乘方逆运算简化计算，降低高次幂运算的难度． （1）先将转化为，使其与指数一致；再用积的乘方逆运算合并这两项，得到；最后拆分为，与再次用积的乘方逆运算合并，计算结果． （2）将指数相同的与、与分别分组；每组用积的乘方逆运算计算，再将两组结果相乘得最终答案． （1）解：原式 ； （2） 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 【答案】（1）4，；（2）32 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法及题意是解题的关键． （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解． 解 ：（1），， 又如果，那么 ； 故答案为：4，； （2）设，， 则，， ， 又如果，那么， ； 故答案为：32． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.5 幂的乘方与积的乘方（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）若为正整数，则表示的是（    ） A．3个相乘 B．4个相加 C．3个相加 D．5个相乘 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）计算：等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 7．（22-23七年级上·广东深圳·期末）已知，，a，b均为正整数，则＝（　　） A．mn2 B．m2n C． D．m2n2 8．（25-26八年级上·河南南阳·月考）学校的黑板报上写着两个励志的数学式子：“”，“”，这两个式子表明：每天比前一天进步，一年后所得终值约是初值的倍；反之，每天比前一天退步，一年后所得终值约是初值的！如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（   ） A．75 B．500 C．750 D．1500 9．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列命题中正确的有（    ） ①为奇数时，一定有等式； ②无论为何值，等式都成立； ③三个等式，，都成立； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级上·广西南宁·期末）《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·山西大同·月考）计算的结果为 ． 12．（25-26八年级上·北京·期中）已知，则 ． 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，则 ． 14．（25-26七年级上·河南·期末）当时，则 ． 15．（2025八年级上·全国·专题练习） ． 16．（23-24八年级上·湖北武汉·月考）计算： ； 17．（24-25八年级上·山东·开学考试）已知，，则 ． 18．（25-26七年级上·上海闵行·月考）规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·吉林长春·月考）在幂的运算中规定：若（且，、均是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山西阳泉·期中）计算： (1)； (2)； 22．（本小题满分10分）（2025·安徽滁州·二模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南南阳·月考）李老师在习题课上出了一道题目，下面是小明同学的解题过程． 计算：． (1)请根据小明的批注补全解题过程； (2)请利用小明的解题方法计算：． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $