2.5 偶函数与奇函数讲义-2026届高考数学一轮复习

专题2.5 偶函数与奇函数 2.5.1 偶函数与奇函数的概念与性质 知识点梳理 1.函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=-f(x)， 那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果f(-x)-f(x)=0或，则函数f(x)为偶函数； （2）如果f(-x)+f(x)=0或，则函数f(x)为奇函数． 2.函数奇偶性的性质 （1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. （2）奇偶函数的图象特征： 函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称； 函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称. （3）若奇函数f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；偶函数f(x)必满足. （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （5）运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论： 奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇； 偶×（÷）偶=偶. ⑥复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 典型例题 例1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． 解：(1)因为a>b，所以a－b>0，由题意得>0，所以f(a)＋f(－b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)． (2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)， 即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]． 例2.设函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 解：由题意可得, 对于A,不是奇函数; 对于B,是奇函数; 对于C,,定义域不关于原点对称, 不是奇函数; 对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选:B. 例3.若为偶函数,则 . 解：因为为偶函数， 为R，所以即 , 则此时 , 所以,又定义域为R, 故为偶函数, 所以. 随堂演练 1.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________. 解：当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即ax2－bx＝－x2－x， ∴a＝－1，b＝1. 2.已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 解：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________________． 解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． ∴f(3)＝f(－3)＝0. 当x>0时，由f(x)<0，解得x>3； 当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0. 故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}． 4.若定义在上的函数满足:对任意有则下列说法一定正确的是( ) A.为奇函数 B.为偶函数 C.为奇函数 D.为偶函数 解：令,则,令, ,则, 所以, 即,为奇函数, 故选：C. 5.函数的图像( ) A.关于原点对称 B.关于直线对称 C.关于轴对称 D.关于直线称 解：因为函数的定义域为,又因为 所以函数 为奇函数, 所以关于原点对称.故选：A. 6.若为偶函数,则( ) A. B. C. D. 解：因为为偶函数,则 当 解得：则其定义域为 关于原点对称. 故此时 为偶函数. 故选: B. 7.设函数(为常数),则“”是“为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解：时,,为偶函数;为偶函数时,对任意的恒成立,., 得对任意的恒成立,从而. 所以“” 是“为偶函数”的充分必要条件,故选：C. 8.若函数为偶函数,则 . 解：由函数为偶函数函数, . 9.若函数为奇函数,则 . 解： 函数 为奇函数,. . . . . . , 即 , 解得: .又 对数式的底数, 则 , . 10.设函数(为常数).若为奇函数,则 ;若是上的增函数, 则的取值范围是 . 解：若函数 为奇函数, 则, , , , , 对任意的 恒成立. ,, 解得 . 若函数 是 上的增函数, 则 恒成立, .即实数 的取值范围是 . 11.已知函数是偶函数,则 . 解：因为,故， 因为为偶函数,故,. 整理得到.故.故答案为: 1. 12.设函数在内有定义,下列函数:①;②;③;④中必为奇函数的有 . (填选所有正确答案的序号) 解：对于①,中与不一定相等，所以①不是奇函数； 对于②, 可以看成两个函数的乘积，其中是奇函数，是偶函数，故②是奇函数； 对于③, 的奇偶性不能确定，故③不是奇函数； 对于④,令,因为,故④为奇函数；故答案为：②④. 2.5.2 偶函数、奇函数组合函数 知识点梳理 运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论： （1）奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶. （2）奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）奇=奇；偶×（÷）偶=偶. 典型例题 例1.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数．故选：ABD. 随堂演练 1.已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sinx，则图象为如图的函数可能是（　　） A．y＝f（x）+g（x） B．y＝f（x）﹣g（x） C．y＝f（x）g（x） D．y＝ 解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为f（x）＝x2+为偶函数，g（x）＝sinx为奇函数，函数y＝f（x）+g（x） ＝x2+sinx为非奇非偶函数，故选项A错误；函数y＝f（x）﹣g（x） ＝x2﹣sinx为非奇非偶函数，故选项B错误； 函数y＝f（x）g（x）＝（x2+）sinx，则y'＝2xsinx+（x2+）cosx＞0对x∈(0,)恒成立，则函数y＝f（x）g（x）在(0,)上单调递增，故选项C错误．故选：D. 2.已知定义在上的三个函数,其中为偶函数,是奇函数,且在上单调递增,在,上单调递增,在上单调递减,则（　　） A.是奇函数,且在上单调递增 B.是偶函数,且在上单调递减 C.是奇函数,且在上单调递减 D. 是偶函数,且在上单调递增 解：令, ,因为为偶函数,是奇函数, 所以, 即是奇函数,, 即是偶函数, 因为是奇函数,在上单调递增, 在上单调递减, 所以当时, 单调递增, 单调递减,且, 任取,设,则,, 所以，所以,所以, 所以在上单调递增,在上的单调性无法判断, 因为不知道在上的符号,故选: D. 3.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.是奇函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是偶函数 解：因为满足 ,所以是偶函数； 因为满足, 同时,所以既不是奇函数也不是偶函数； 又满足是奇函数； 满足是偶函数.故选：D. 4.已知有相同的定义域,是偶函数,是奇函数,且,则 ( ) A.为奇函数 B.为偶函数 C.是偶函数 D.是奇函数 解：有相同的定义域,是偶函数,是奇函数,且, 所以,因为, 故 A 错. , 故B错. ,故C错. ，故D对. 故选: D. 5.设函数的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则( ) A.是偶函数 B.是偶函数 C.是奇函数 D.是奇函数 解：对A,,故是奇函数,故A错误; 对B,,故是偶函数,故B正确; 对C,,故是偶函数, 故C错误; 对D,,故是偶函数,故D错误.故选:B 6.设函数和分别是上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数 解：由题设知:， 于是有. . . .故选：A. 2.5.3 偶函数、奇函数之解不等式 知识点梳理 题型：已知偶函数、奇函数及其相关不等式，结合偶函数、奇函数的概念和性质求解相关的范围. 典型例题 例1.已知函数f（x）＝x|x|，则关于x的不等式f（2x）＞f（1﹣x）的解集为（　　） A． B． C． D． 解：因为函数f（x）＝x|x|为奇函数且x≥0时，f（x）＝x2单调递增， 根据奇函数的对称性可知，f（x）在R上单调递增， 则关于x的不等式f（2x）＞f（1﹣x）可转化为2x＞1﹣x， 解得，x．故选：A． 例2.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且,则使 的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解：由题意,当时,,则 ; 又因为函数是偶函数,图像关于轴对称,所以当时,,则, 所以的解集为,故选:C. 例3.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：是定义在上的奇函数,且当时, , 当时,, 所以,所以对任意的,有恒成立, 因为在上单调递增, ,即恒成立, ,解得,故选：A. 随堂演练 1.若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有( ) A. B. C. D. 解：分别是上的奇函数、偶函数,. 由, 得,, 即 . 解方程组得. 易知 在 上单调递增, 所以, 又 所以,故选：D. 2.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( ) A. B. C. D. 解：是R的偶函数，. , . ， 又在单调递减， ，故选：C. 3.已知函数为偶函数,且当时,,若,则( ) A. B. C. D. 解：因为函数为偶函数,故其图象关于轴对称, 则的图象关于直线对称, 当时,,因为在上单调递增且， 而在上单调递减，故在上单调递减， 则在上单调递增，故由可得，即，则，故，故，故选：A. 4.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 解：由为奇函数可知,,而,则. 当时,; 当时,. 又在上为增函数. 奇函数在上为增函数.所以或,故选：D. 5.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：是奇函数,故;又是减函数, ,即，则有,解得,故选：D. 6.已知是定义域为的偶函数，当时,,那么不等式的解集是 . 解：设，则.当时，, . 是定义在R上的偶函数，, 由，解得： 或 . 观察图像可知由 ，得 . 由 ，得 ， . 7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为 . 解：当时,不等式转化为,得, 函数是奇函数,图像关于原点对称, 因此当时不等式的解集为, 综上不等式的解为. 8.设函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是 . 解：是上的奇函数, ,设, 则, 当时, , 当时,,故， 若,由得,,此时. 若,由得,, 即,此时,解得.综上： 或 . 9.设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是 . 解：由题知为偶函数,. ,即. 由时的图像可知,若,即, 即到原点的距离大于2小于等于5的数, 故解得:. 故答案为: . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 偶函数与奇函数 2.5.1 偶函数与奇函数的概念与性质 知识点梳理 1.函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=-f(x)， 那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果f(-x)-f(x)=0或，则函数f(x)为偶函数； （2）如果f(-x)+f(x)=0或，则函数f(x)为奇函数． 2.函数奇偶性的性质 （1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. （2）奇偶函数的图象特征： 函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称； 函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称. （3）若奇函数f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；偶函数f(x)必满足. （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. 典型例题 例1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． 例2.设函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 例3.若为偶函数,则 . 随堂演练 1.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________. 2.已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________________． 4.若定义在上的函数满足:对任意有则下列说法一定正确的是( ) A.为奇函数 B.为偶函数 C.为奇函数 D.为偶函数 5.函数的图像( ) A.关于原点对称 B.关于直线对称 C.关于轴对称 D.关于直线称 6.若为偶函数,则( ) A. B. C. D. 7.设函数(为常数),则“”是“为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若函数为偶函数,则 . 9.若函数为奇函数,则 . 10.设函数(为常数).若为奇函数,则 ;若是上的增函数, 则的取值范围是 . 11.已知函数是偶函数,则 . 12.设函数在内有定义,下列函数:①;②;③;④中必为奇函数的有 . (填选所有正确答案的序号) 2.5.2 偶函数、奇函数组合函数 知识点梳理 运算函数的奇偶性规律：对于运算函数有如下结论： （1）奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶. （2）奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）奇=奇；偶×（÷）偶=偶. 典型例题 例1.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 随堂演练 1.已知函数f（x）＝x2+，g（x）＝sinx，则图象为如图的函数可能是（　　） A．y＝f（x）+g（x） B．y＝f（x）﹣g（x） C．y＝f（x）g（x） D．y＝ 2.已知定义在上的三个函数,其中为偶函数,是奇函数,且在上单调递增,在,上单调递增,在上单调递减,则（　　） A.是奇函数,且在上单调递增 B.是偶函数,且在上单调递减 C.是奇函数,且在上单调递减 D. 是偶函数,且在上单调递增 3.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.是奇函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是偶函数 4.已知有相同的定义域,是偶函数,是奇函数,且,则 ( ) A.为奇函数 B.为偶函数 C.是偶函数 D.是奇函数 5.设函数的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则( ) A.是偶函数 B.是偶函数 C.是奇函数 D.是奇函数 6.设函数和分别是上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数 2.5.3 偶函数、奇函数之解不等式 知识点梳理 题型：已知偶函数、奇函数及其相关不等式，结合偶函数、奇函数的概念和性质求解相关的范围. 典型例题 例1.已知函数f（x）＝x|x|，则关于x的不等式f（2x）＞f（1﹣x）的解集为（　　） A． B． C． D． 例2.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且,则使 的的取值范围是（　　） A. B. C. D. 例3.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 随堂演练 1.若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有( ) A. B. C. D. 2.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( ) A. B. C. D. 3.已知函数为偶函数,且当时,,若,则( ) A. B. C. D. 4.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 5.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知是定义域为的偶函数，当时,,那么不等式的解集是 . 7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为 . 8.设函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是 . 9.设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $