2.5 指对幂运算讲义-2026届高考数学一轮复习

2.5指对幂运算 知识梳理 一、n次方根，n次根式的有关概念 1. a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2. a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3. 根式：式子叫做n次根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 1.负数没有偶次方根. 2.0的任何次方根都是0，记作＝0. 3. 三个易混公式 ① ()n＝ ② ＝a (n为大于1的奇数). ③ ＝|a|＝(n为大于1的偶数). 三、分数指数幂及运算 1. 分数指数幂的意义 分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂 a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 正数的负分数指数幂 a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义. 2.指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂和无理数指数幂，即： ①同底数幂相乘：aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)； 同底数幂相除：＝ar－s(a>0，r，s∈R). ②幂的乘方：(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； 积的乘方：(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). ③0次幂：a0=1 （a≠0） 负指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 【考点一 指数幂的运算】典例剖析 【归纳总结】指数幂的运算 常用技巧 ①有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. ②负指数幂化为正指数幂的倒数. ③变形技巧：底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数；根式形式化成分数指数幂的形式.要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 1．（1）计算：； 【答案】（1） 【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值即可； 【详解】（1） . (2)． 【答案】(2) 【分析】（2）利用指数运算性质即可得出. 【详解】（2）原式 ． 2．计算： (1)； 【答案】(2) 【分析】（2）根据指数幂的运算性质即可求解， 【详解】（2）原式 (2). 【答案】(2)210 【分析】(2)利用根式与分数指数幂的互化和指数幂的运算性质即得. 【详解】(2) . 3．化简计算． (1)； 【答案】(1) 【详解】（1）原式； (2)． 【答案】(2)1 【分析】（2）将根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】（2）原式 ． 知识梳理 四、对数的概念 1. 定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 特殊对数 名称 记法 说明 常用对数 lg N 以10为底的对数。log10N记为lg N 自然对数 ln N 以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数。logeN记为ln N 3. 对数的性质 零和负数没有对数，即N＞0 1的对数等于0，即loga1＝0 底的对数等于1，即logaa＝1 4. 对数与指数的互化关系 当a＞0，且a≠1时．如图所示： 五、对数的运算 1.运算性质（运算法则） （1）加减运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①加法：对数只能加减，真数只能乘除 ②减法： ③次数外提： → (2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系 指数 对数 式子 ab＝N logaN＝b 运算 性质 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN ＝am－n ＝logaM－logaN (am)n＝amn logaMn＝nlogaM 2. 两个恒等式 （指对抵消） ① 指、对底数相同，得余下部分 ② 3. 换底公式 (a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)． 【常用结论】 ①倒数原理 → 变形： (a，b＞0，且a，b≠1) 底数、真数互换，乘积为1 推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c＞0，且a，b，c≠1，d＞0)． ②约分技巧 ③具体数字归一处理： 【考点二 对数的运算】典例剖析 【归纳总结】对数的运算 1. 加减法则：对数只能加减，真数只能乘除 2. 次数外提 3. 两个恒等式：指对抵消 4. 两个固定值：真数=1，对数值为0；真数=底数，对数值=1 5. 换底公式及常用结论 （运算法则） 4．（24重庆暨华中学高一上期中）计算： (1)； 【答案】(1)2； 【分析】利用对数的运算法则结合对数的性质，计算求解. 【详解】（1）原式 . (2). 【答案】(2) 【分析】（2）结合对数的运算性质即可求解. 【详解】（2） . （次数外提+两个恒等式） 5．计算： (1). 【答案】(1)13 【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） . (2)； 【答案】(2) 【分析】（2）利用对数的运算性质可解即可. 【详解】（2） 原式 ； （换底公式及结论） 6．（24湖北武汉高一上期末）计算求值： (1) . 【答案】(1)6 【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式. (2)； 【答案】(2)3 【分析】（2）利用对数法则计算出答案； 【详解】（2）原式 ； （3）计算：. 【答案】（3）3 【分析】（3）根据对数的运算性质化简求值即可. 【详解】（3） . 【考点三 指对幂有关的条件求值】 【归纳总结】指对幂有关的条件求值 1. 两种思路：①利用指对幂运算进行变形②整体思想 2. 利用对数性质进行求值 两个原则：①原则1：尽量保证底数相同，底数不一样则需要换底 ②原则2：大数字尽量换成小数字（最好是质数） 3. 利用指对互化or换底公式进行求值 题干中出现指数则优先考虑指对互换，然后采用换底公式处理 【题型一 指幂的条件求值】 （运算性质） 7．（25广西柳州高二下月考）若，则的值为（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】根据指数运算律计算求解. 【详解】因为，则. 故选：A. （整体思想） 8．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据实数指数幂的运算性质，逐项计算，即可求解. 【详解】，A正确； ，B正确； ，因为，，所以，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 【变式】（25广东揭阳高三下月考）若，则 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算律结合立方和公式计算即可. 【详解】若，则． 故答案为：. 【题型二 对数的条件求值】 （对数的运算性质及指对互化） 9．（25湖北高一下联考）解决问题： (1)已知，，求的值; (2)若正实数同时满足下列三个方程，，，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算性质即可得解； （2）先根据对数的运算性质求出，再根据对数的运算性质即可得解. 【详解】（1），， ； （2）正实数x，y，z同时满足下列三个方程，，， ， . 【变式】（1）已知（，且），求的值； （2）已知，若，求的值． 【答案】（1）12；（2） 【详解】解：（1）由得，因此． （2）设，则，所以，整理得．又，所以． （换底公式） 10． （25江苏扬州高一下月考） （1）已知，求的值； 【答案】（1）； 【分析】（1） 【详解】（1）由已知，，所以. （2）已知，求的值. 【答案】（2）1 【分析】（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案. 【详解】（2）因为，所以，解得， 由，解得， 所以 . （3）已知，试用表示. 【答案】 【分析】指数式化为对数式，换底公式得到，由换底公式进行化简，代入求值. 【详解】由，得，由得， . 第 2 页 共 11 页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5指对幂运算 知识梳理 一、n次方根，n次根式的有关概念 1. a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2. a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3. 根式：式子叫做n次根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 1.负数没有偶次方根. 2.0的任何次方根都是0，记作＝0. 3. 三个易混公式 ① ()n＝ ② ＝a (n为大于1的奇数). ③ ＝|a|＝(n为大于1的偶数). 三、分数指数幂及运算 1. 分数指数幂的意义 分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂 a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 正数的负分数指数幂 a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义. 2.指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂和无理数指数幂，即： ①同底数幂相乘：aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)； 同底数幂相除：＝ar－s(a>0，r，s∈R). ②幂的乘方：(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； 积的乘方：(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). ③0次幂：a0=1 （a≠0） 负指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 【考点一 指数幂的运算】典例剖析 【归纳总结】指数幂的运算 常用技巧 ①有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. ②负指数幂化为正指数幂的倒数. ③变形技巧：底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数；根式形式化成分数指数幂的形式.要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 1． 计算：（1）； (2)． 2．计算：(1)； (2). 3．化简计算． (1)； (2)． 知识梳理 四、对数的概念 1. 定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 特殊对数 名称 记法 说明 常用对数 lg N 以10为底的对数。log10N记为lg N 自然对数 ln N 以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数。logeN记为ln N 3. 对数的性质 零和负数没有对数，即N＞0 1的对数等于0，即loga1＝0 底的对数等于1，即logaa＝1 4. 对数与指数的互化关系 当a＞0，且a≠1时．如图所示： 五、对数的运算 1.运算性质（运算法则） （1）加减运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①加法：对数只能加减，真数只能乘除 ②减法： ③次数外提： → (2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系 指数 对数 式子 ab＝N logaN＝b 运算 性质 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN ＝am－n ＝logaM－logaN (am)n＝amn logaMn＝nlogaM 2. 两个恒等式 （指对抵消） ① 指、对底数相同，得余下部分 ② 3. 换底公式 (a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)． 【常用结论】 ①倒数原理 → 变形： (a，b＞0，且a，b≠1) 底数、真数互换，乘积为1 推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c＞0，且a，b，c≠1，d＞0)． ②约分技巧 ③具体数字归一处理： 【考点二 对数的运算】典例剖析 【归纳总结】对数的运算 1. 加减法则：对数只能加减，真数只能乘除 2. 次数外提 3. 两个恒等式：指对抵消 4. 两个固定值：真数=1，对数值为0；真数=底数，对数值=1 5. 换底公式及常用结论 （运算法则） 4．（24重庆暨华中学高一上期中）计算： (1)； (2). （次数外提+两个恒等式） 5．计算： (1). (2)； （换底公式及结论） 6．（24湖北武汉高一上期末）计算化简： (1) . (2)； （3）计算：. 【考点三 指对幂有关的条件求值】 【归纳总结】指对幂有关的条件求值 1. 两种思路：①利用指对幂运算进行变形②整体思想 2. 利用对数性质进行求值 两个原则：①原则1：尽量保证底数相同，底数不一样则需要换底 ②原则2：大数字尽量换成小数字（最好是质数） 3. 利用指对互化or换底公式进行求值 题干中出现指数则优先考虑指对互换，然后采用换底公式处理 【题型一 指幂的条件求值】 （运算性质） 7．（25广西柳州高二下月考）若，则的值为（   ） A． B． C． （整体思想） 8．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25广东揭阳高三下月考）若，则 ． 【题型二 对数的条件求值】 （对数的运算性质及指对互化） 9． （25湖北高一下联考）解决问题： (1)已知，，求的值; (2)若正实数同时满足下列三个方程，，，求的值. 【变式】（1）已知（，且），求的值； （2）已知，若，求的值． （换底公式） 10． （25江苏扬州高一下月考） （1）已知，求的值； （2）已知，求的值. （3）已知，试用表示. 第 2 页 共 11 页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$