6.2.4·向量的数量积运算【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学常考题型归纳 【6.2.4·向量的数量积运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.向量数量积的定义（核心考点） 知识点：已知两个非零向量和，它们的夹角为（），则把叫做向量与的数量积（也叫点积），记作，即；规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 易错辨析：①混淆数量积与数乘运算，误将数量积当作向量（实际为实数，无方向）；②忽略夹角的取值范围，误取或；③计算零向量与非零向量数量积时，误算为非零值；④误将数量积公式写为，遗漏 重点记忆：①数量积核心特征：结果是实数（标量），不是向量，仅体现两向量的“投影关联”；②夹角的定义：将两向量的起点移至同一点，它们之间的最小正角（范围）；③符号说明：数量积的正负由决定，与两向量模长无关；④书写规范：数量积用“”表示，不能省略，也不能写成“”（避免与向量叉乘混淆） 常考结论：①当与同向时，，，故；②当与反向时，，，故；③若，则（高频等价式，求模长核心） 2.向量数量积的几何意义 知识点：向量与的数量积，等于的模长与在方向上的投影的乘积，也等于的模长与在方向上的投影的乘积；其中，在方向上的投影为，在方向上的投影为 易错辨析：①误认为“投影是向量”，实际投影是实数（可正、可负、可零）；②混淆投影的方向，误将在方向上的投影写为；③当时，误将投影判断为正值（实际为负值）；④忽略投影与数量积的关联，无法通过投影求解数量积 重点记忆：①投影公式（核心）：在方向上的投影=；②投影的正负规律：时投影为正，时投影为0，时投影为负；③几何意义本质：数量积是“模长×投影”，体现一个向量在另一个向量方向上的“分量贡献” 常考结论：①若（，），则在方向上的投影为0，反之亦然；②投影的取值范围：（在方向上的投影）；③的绝对值不超过两向量模长的乘积（为后续性质铺垫） 3.向量数量积的核心性质 知识点：设、为非零向量，为它们的夹角，数量积满足以下5条核心性质：①自乘性质：（可变形为）；②垂直性质：；③正负性质：（同向或锐角），（反向或钝角）；④模长不等式：（当且仅当与共线时取等号）；⑤夹角公式： 易错辨析：①误用垂直性质，忽略“非零向量”前提，误将直接判定为（零向量与任意向量数量积为0，但不能说零向量与任意向量垂直）；②误将判定为与夹角为锐角（忽略同向时）；③求模长时，忘记对开平方，误将当作；④夹角公式中，误将分子分母颠倒，或遗漏模长乘积 重点记忆：①自乘性质是“求模长”的核心方法，适配所有向量模长求解；②垂直性质是“判断两向量垂直”的唯一充要条件（非零向量），是高频考点；③锐角、钝角的补充判定：夹角为锐角且与不共线；夹角为钝角且与不共线；④模长不等式可用于判断向量共线，也可用于求最值 常考结论：①若（单位向量），则（可直接用数量积表示夹角余弦值）；②由可推导：；③若，则（勾股定理延伸） 4.向量数量积的运算律 知识点：设、、为任意向量，为实数，数量积满足以下3条运算律：①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：；注意：数量积不满足结合律，即 易错辨析：①误用结合律，误将与等同（前者与共线，后者与共线，一般不相等）；②运用分配律时漏乘，如误算为；③数乘结合律中，误将实数只与一个向量结合，如误算为（书写不规范，本质是未明确数乘与数量积的顺序）；④混淆数量积与数乘的运算律，误将数乘的结合律套用在数量积上 重点记忆：①核心易错点：数量积无结合律，这是与数乘、加减运算律的核心区别；②交换律的本质：数量积是实数，交换两向量位置，实数结果不变；③分配律可推广到多个向量，如；④运算顺序：先数乘，后数量积，有括号先算括号内的向量加减 常考结论：①平方展开公式（高频化简考点）：；；②平方差公式：；③若，且，则，即（不能直接得出） 5.向量数量积的常见应用 知识点：向量数量积的核心应用的3个场景，配套对应公式，可直接套用解题：①求向量模长：，；②求两向量夹角：（），再由求；③判断两向量垂直：非零向量、，若，则，反之亦然 易错辨析：①求模长时，忘记对平方和开平方，误将当作；②求夹角时，未先判断两向量是否为非零向量，直接套用夹角公式；③判断垂直时，忽略“非零向量”前提，误将零向量与任意向量判定为垂直；④化简时，漏算中间项 重点记忆：①求模长的核心思路：将模长平方，转化为数量积运算，再开平方（规避直接求模长的繁琐）；②求夹角的步骤：先求、、，再代入夹角公式求，最后根据的值确定；③判断垂直的关键：非零向量前提下，数量积为0即可，无需考虑模长；④多个向量混合运算，优先利用运算律化简，再套用应用公式 常考结论：①若、为非零向量，且，则（由平方展开可推导，高频判断题）；②若是单位向量，则，可快速化简模长公式；③求的最值：当与同向时，最大值为；当反向时，最小值为 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.数量积本质是实数，非向量，区分于数乘、加减运算；2.夹角范围，投影是实数，可正可负可零；3.垂直性质需注意“非零向量”前提，锐角、钝角需排除共线情况；4.数量积无结合律，运算顺序为先数乘后数量积；5.求模长必平方，求夹角必用数量积与模长的比值 核心公式汇总：1.定义公式：（）；2.投影公式：在方向上的投影=；3.自乘与模长：、；4.夹角公式：；5.平方展开：；6.平方差：；7.垂直条件：（， 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面向量数量积概念辨析】 （25-26高一下·全国·课前预习）向量的数量积经典例题1例题 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． 【答案】 （24-25高一上·上海·课前预习）向量与功，动量经典例题2例题 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的 ，（为和的夹角），动量实际上是 . 【答案】 数量积 数乘向量 （24-25高一上·上海·课前预习）如果两个非零向量、的夹角为（），那么我们把 叫做向量与向量的数量积，记作，即.特别地，记作.小试牛刀1 【答案】 （23-24高一下·全国·课前预习）定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角．小试牛刀2 注意：①当θ＝0时，向量与 ； ②当θ＝时，向量与 ，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 【答案】 同向 垂直 反向 【分析】利用平面向量的数量积的定义求解. 【详解】解：定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量与同向； ②当θ＝时，向量与垂直，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与反向． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 故答案为：同向，垂直，反向 （23-24高一下·全国·课前预习）已知两个 向量与，我们把数量叫做向量与的 (或 )，记作，即(为，的夹角)．小试牛刀3 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 注意：（1）“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； （2）数量积的结果为数量，不再是向量； （3）向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零． 【答案】 非零 数量积 内积 0 【题型2：平面向量的定义与计算】 （25-26高三上·海南海口·月考）已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则 ．经典例题1例题 【答案】/0.25 【分析】画出图分析，由平面向量的数量积的定义求解即可. 【详解】    由正三角形性质可知， 为等边三角形的重心， 则 ，故 ，， 所以 ． 故答案为： （25-26高三上·贵州贵阳·月考）如图，在边长为2的菱形中，，，则 经典例题2例题 【答案】 【分析】选取，为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【详解】设，，且，， 因为，可得， 所以. 故答案为： （2025·云南·一模）在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ）小试牛刀1 A．11 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为N为的中点，则，所以． 如图，分别取线段的中点为，因为M为的外接圆圆心， 所以，则 ， ， 因此． 故选：D． （25-26高三上·甘肃临夏·月考）若向量满足与的夹角为，则等于（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的定义直接求解. 【详解】. 故选：D. （2025·吉林松原·模拟预测）在菱形中，分别是边的中点，则（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将用表示，利用平面向量的数量积求出，计算即可得解. 【详解】由题意，得， 在菱形中，， 所以， 所以 ． 故选:D. 【题型3：投影与投影向量】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. （25-26高三上·湖南·月考）已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ）经典例题2例题 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将的两边同时平方得，根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程，解方程即可. 【详解】将的两边同时平方得，展开得， 整理得， 由在上的投影向量为单位向量，可知其模长为1，即， 即，解得． 故选：A （2025高三上·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. （25-26高三上·广东惠州·月考）已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ）小试牛刀2 A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式，计算即可求解. 【详解】由题意，，，且在方向上的投影向量为， 所以，所以，所以， 解得. 故选：A （25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 【题型4：数量积求模长】 （24-25高二下·贵州遵义·月考）已知向量满足，，，则 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】由平方及化简得，再由得出，联立解得即可. 【详解】因为，所以， 即， 又，所以，① 由， 所以，② 由①②得：， 故答案为：. （25-26高三上·江苏南通·月考）已知向量满足，且与的夹角为，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】先根据向量数量积的定义求，再结合向量的运算法则求，可得. 【详解】由题意： ， 所以 ， 所以 . 故答案为： （25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由，得到，再结合，求出，进而得到，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 即，所以； 因为，所以； 代入 ，得到，得到； . 故选：A. （2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B （2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积运算公式结合已知直接计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 因为，向量的夹角为， 所以， 所以，即. 故选：A. 【题型5：数量积求夹角】 （25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知向量 满足： ，则 （    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的数量积表示求出，再由平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】， 则， 即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B （25-26高三上·江西·月考）已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设单位向量与的夹角为，由，根据向量数量积的定义与计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. （25-26高二上·湖南长沙·月考）已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合向量数量积公式求解夹角即可． 【详解】对两边平方，展开得：． 则， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 故选：C． （25-26高三上·天津·月考）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据投影向量的知识可得，即可计算夹角. 【详解】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 故答案为：. （24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的运算律进行求解即可. 【详解】因，，， 由， 而 ， 所以， 故答案为：. 【题型6：数量积的综合计算】 【多选题】（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 【多选题】（25-26高三上·江苏扬州·期中）在正中，边长为3，为边的中点，则下列结论正确的有（    ）经典例题2例题 A． B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的运算法则计算各个选项可判断. 【详解】， 故选项A正确； 在上的投影向量为： ， ， 故选项B错误； 因为为边的中点， 所以， 又因为，所以， 所以 . 故选项C正确； 因为为等边三角形，且为边的中点， 所以，，，， 所以：. 故选项D正确. 故选：ACD    【多选题】（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）已知都是单位向量，若，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据已知得，进而得，，结合零向量的性质判断各项的正误. 【详解】由均为单位向量，，则， 又，则，即，故，， 由零向量与任意向量平行或垂直，则，，，且， 综上，A、C正确，B、D错误. 故选：AC. 【多选题】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）小试牛刀2 A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 【多选题】（24-25高一下·山东潍坊·期末）若，与的夹角为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先根据数量积公式判断A，再根据数量积，代入模，垂直，向量夹角公式，即可判断BCD. 【详解】对于选项A，，所以正确； 对于选项B，，则，所以B正确； 对于选项C，，所以，C正确； 对于选项D，因为， . 所以， 因为两向量夹角范围是，所以，所以D错误. 故选：ABC 课后过关检测 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，得出，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形. 故选：C. 3．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 4．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 【答案】B 【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B    5．（24-25高二下·福建福州·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的投影向量公式，即可求解. 【详解】设与夹角为，求在上的投影向量公式为：， 所以根据题意，即， 将代入可得：，而，所以. 故选：. 二、多选题 6．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 【答案】CD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断. 【详解】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. 7．（24-25高一下·安徽·月考）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量夹角可分析数量积正负判断A；由数量积正负分析夹角注意特殊情况判断B；由向量线性运算化简后判断C；根据向量加法、减法的几何意义判断D. 【详解】对A，的夹角为锐角，则大于零，所以大于零，A对． 对B，当共线且方向相反时，有，所以B错． 对C，，所以与同向，C对． 对D，当时，以为邻边的平行四边形是矩形，所以，D对． 故选：ACD． 8．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】作出示意图，可得四边形ABCD是菱形，且，进而逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】如图，设，.因为， 所以四边形ABCD是菱形，且. 由平面向量的线性运算性质可知，， 则向量，的夹角为120°，向量，的夹角为30°， 向量，的夹角为60°，向量，的夹角为. 故选：BD. 三、填空题 9．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【分析】通过平方的方法，结合空间向量的运算求得正确答案. 【详解】因为为空间两两夹角都是的三个单位向量， 所以 . 故答案为： 10．（25-26高三上·安徽·月考）已知，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】设向量与的夹角为，根据题意，求得，得到，即可求解. 【详解】设向量与的夹角为，因为向量， 可得， 即，解得， 又因为，所以，所以向量与的夹角为. 故答案为：. 11．（25-26高三上·甘肃天水·月考）已知中，，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 12．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知向量在向量方向上的投影向量为，则 【答案】4 【分析】先应用投影向量公式计算得出，再结合平面向量数量积运算律计算模长即可. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 则，即， 又，则有， 故. 故答案为：4. 13．（2025·湖南·一模）设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】由得，利用数量积的定义即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又因为为单位向量，与的夹角为， 所以， 故答案为：4． 14．（24-25高一下·江西上饶·月考）设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 【答案】 【分析】由结合平面向量数量积的运算性质可得出，再结合直角三角形的几何性质可得出的值. 【详解】因为点在线段外，， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以. 故答案为：. 15．（25-26高三上·四川泸州·月考）单位向量，满足，则与的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程，可得答案. 【详解】由是单位向量，则，由，则 ， 设的夹角为，则，即，解得. 由，则. 故答案为：. 16．（25-26高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则 ； . 【答案】 / 【分析】先应用向量的数量积公式计算，再应用数量积的运算律计算求解；结合模长公式及向量夹角余弦公式计算求解. 【详解】在中，，，，所以， 又因为，， 所以， 所以 ； 因为与交于点，所以所成角等于所成角， 所以， ， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 17．（24-25高一下·陕西西安·月考）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先计算推得，再利用共线向量基本定理即可证明； （2）由向量共线基本定理设，求出，验证符合题意即可； （3）利用向量数量积的定义，根据题意，得到且与不共线，解不等式即得参数范围. 【详解】（1）由，可得， 因，则有， 又与有公共点，故A、B、D三点共线. （2）依题意，设，则得，解得， 当时，，， 此时显然有，符合题意； 当时，，， 此时显然有，符合题意. 故时，和 共线. （3）因，，则. 由题意，可得且与不共线， 由，即， 故，解得或； 又由与共线可得，即，解得， 故与不共线，即. 综上，λ的取值范围为. 18．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知平面向量，，且．求： (1)向量在向量上的投影向量； (2)的值； (3)向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由已知及数量积的运算律得，再由投影向量的定义求向量在向量上的投影向量； （2）应用向量数量积的运算律求向量的模长； （3）应用向量数量积的运算律及夹角公式求向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）由，得，即， 向量在向量上的投影向量是； （2）由； （3），          所以. 19．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知平面向量，，，，且． (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）根据平面向量的运算律可得，然后结合二次函数求解即可 . 【详解】（1）由，，可得， 又，所以， 又，所以. （2）因为，， 所以， 所以的最小值为，此时． 20．（24-25高一下·辽宁·月考）已知单位向量满足． (1)求的最大值； (2)若在上投影的数量为，求的值； (3)设向量满足，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)0 (3) 【分析】（1）根据平面向量的数量积运算律求得，然后利用二次函数性质求解最大值； （2）根据数量积投影公式列方程，化简得，即可求解； （3）设，，结合数量积的运算律及模的运算，根据数量积的夹角公式得，化简得，设函数，则在区间上存在零点，结合判别式法，根据零点存在定理判断求解即可. 【详解】（1）因为单位向量满足， 则 ， 当且仅当时等号成立， 故当时，取得最大值为1； （2）在上投影的数量为， 又，则得，所以； （3）设，， 则， ， 因， 故， 整理得， 设函数， 则在区间上存在零点，则， 即，解得，即， 又，， 且当时，，即， 即在区间上存在零点，所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学常考题型归纳 【6.2.4·向量的数量积运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.向量数量积的定义（核心考点） 知识点：已知两个非零向量和，它们的夹角为（），则把叫做向量与的数量积（也叫点积），记作，即；规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 易错辨析：①混淆数量积与数乘运算，误将数量积当作向量（实际为实数，无方向）；②忽略夹角的取值范围，误取或；③计算零向量与非零向量数量积时，误算为非零值；④误将数量积公式写为，遗漏 重点记忆：①数量积核心特征：结果是实数（标量），不是向量，仅体现两向量的“投影关联”；②夹角的定义：将两向量的起点移至同一点，它们之间的最小正角（范围）；③符号说明：数量积的正负由决定，与两向量模长无关；④书写规范：数量积用“”表示，不能省略，也不能写成“”（避免与向量叉乘混淆） 常考结论：①当与同向时，，，故；②当与反向时，，，故；③若，则（高频等价式，求模长核心） 2.向量数量积的几何意义 知识点：向量与的数量积，等于的模长与在方向上的投影的乘积，也等于的模长与在方向上的投影的乘积；其中，在方向上的投影为，在方向上的投影为 易错辨析：①误认为“投影是向量”，实际投影是实数（可正、可负、可零）；②混淆投影的方向，误将在方向上的投影写为；③当时，误将投影判断为正值（实际为负值）；④忽略投影与数量积的关联，无法通过投影求解数量积 重点记忆：①投影公式（核心）：在方向上的投影=；②投影的正负规律：时投影为正，时投影为0，时投影为负；③几何意义本质：数量积是“模长×投影”，体现一个向量在另一个向量方向上的“分量贡献” 常考结论：①若（，），则在方向上的投影为0，反之亦然；②投影的取值范围：（在方向上的投影）；③的绝对值不超过两向量模长的乘积（为后续性质铺垫） 3.向量数量积的核心性质 知识点：设、为非零向量，为它们的夹角，数量积满足以下5条核心性质：①自乘性质：（可变形为）；②垂直性质：；③正负性质：（同向或锐角），（反向或钝角）；④模长不等式：（当且仅当与共线时取等号）；⑤夹角公式： 易错辨析：①误用垂直性质，忽略“非零向量”前提，误将直接判定为（零向量与任意向量数量积为0，但不能说零向量与任意向量垂直）；②误将判定为与夹角为锐角（忽略同向时）；③求模长时，忘记对开平方，误将当作；④夹角公式中，误将分子分母颠倒，或遗漏模长乘积 重点记忆：①自乘性质是“求模长”的核心方法，适配所有向量模长求解；②垂直性质是“判断两向量垂直”的唯一充要条件（非零向量），是高频考点；③锐角、钝角的补充判定：夹角为锐角且与不共线；夹角为钝角且与不共线；④模长不等式可用于判断向量共线，也可用于求最值 常考结论：①若（单位向量），则（可直接用数量积表示夹角余弦值）；②由可推导：；③若，则（勾股定理延伸） 4.向量数量积的运算律 知识点：设、、为任意向量，为实数，数量积满足以下3条运算律：①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：；注意：数量积不满足结合律，即 易错辨析：①误用结合律，误将与等同（前者与共线，后者与共线，一般不相等）；②运用分配律时漏乘，如误算为；③数乘结合律中，误将实数只与一个向量结合，如误算为（书写不规范，本质是未明确数乘与数量积的顺序）；④混淆数量积与数乘的运算律，误将数乘的结合律套用在数量积上 重点记忆：①核心易错点：数量积无结合律，这是与数乘、加减运算律的核心区别；②交换律的本质：数量积是实数，交换两向量位置，实数结果不变；③分配律可推广到多个向量，如；④运算顺序：先数乘，后数量积，有括号先算括号内的向量加减 常考结论：①平方展开公式（高频化简考点）：；；②平方差公式：；③若，且，则，即（不能直接得出） 5.向量数量积的常见应用 知识点：向量数量积的核心应用的3个场景，配套对应公式，可直接套用解题：①求向量模长：，；②求两向量夹角：（），再由求；③判断两向量垂直：非零向量、，若，则，反之亦然 易错辨析：①求模长时，忘记对平方和开平方，误将当作；②求夹角时，未先判断两向量是否为非零向量，直接套用夹角公式；③判断垂直时，忽略“非零向量”前提，误将零向量与任意向量判定为垂直；④化简时，漏算中间项 重点记忆：①求模长的核心思路：将模长平方，转化为数量积运算，再开平方（规避直接求模长的繁琐）；②求夹角的步骤：先求、、，再代入夹角公式求，最后根据的值确定；③判断垂直的关键：非零向量前提下，数量积为0即可，无需考虑模长；④多个向量混合运算，优先利用运算律化简，再套用应用公式 常考结论：①若、为非零向量，且，则（由平方展开可推导，高频判断题）；②若是单位向量，则，可快速化简模长公式；③求的最值：当与同向时，最大值为；当反向时，最小值为 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.数量积本质是实数，非向量，区分于数乘、加减运算；2.夹角范围，投影是实数，可正可负可零；3.垂直性质需注意“非零向量”前提，锐角、钝角需排除共线情况；4.数量积无结合律，运算顺序为先数乘后数量积；5.求模长必平方，求夹角必用数量积与模长的比值 核心公式汇总：1.定义公式：（）；2.投影公式：在方向上的投影=；3.自乘与模长：、；4.夹角公式：；5.平方展开：；6.平方差：；7.垂直条件：（， 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面向量数量积概念辨析】 （25-26高一下·全国·课前预习）向量的数量积经典例题1例题 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． （24-25高一上·上海·课前预习）向量与功，动量经典例题2例题 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的 ，（为和的夹角），动量实际上是 . （24-25高一上·上海·课前预习）如果两个非零向量、的夹角为（），那么我们把 叫做向量与向量的数量积，记作，即.特别地，记作.小试牛刀1 （23-24高一下·全国·课前预习）定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角．小试牛刀2 注意：①当θ＝0时，向量与 ； ②当θ＝时，向量与 ，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． （23-24高一下·全国·课前预习）已知两个 向量与，我们把数量叫做向量与的 (或 )，记作，即(为，的夹角)．小试牛刀3 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 注意：（1）“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； （2）数量积的结果为数量，不再是向量； （3）向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零． 【题型2：平面向量的定义与计算】 （25-26高三上·海南海口·月考）已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则 ．经典例题1例题 （25-26高三上·贵州贵阳·月考）如图，在边长为2的菱形中，，，则 经典例题2例题 （2025·云南·一模）在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ）小试牛刀1 A．11 B．14 C． D． （25-26高三上·甘肃临夏·月考）若向量满足与的夹角为，则等于（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·吉林松原·模拟预测）在菱形中，分别是边的中点，则（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：投影与投影向量】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·湖南·月考）已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ）经典例题2例题 A． B． C．3 D．2 （2025高三上·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·广东惠州·月考）已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ）小试牛刀2 A． B．2 C． D． （25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：数量积求模长】 （24-25高二下·贵州遵义·月考）已知向量满足，，，则 ．经典例题1例题 （25-26高三上·江苏南通·月考）已知向量满足，且与的夹角为，则 .经典例题2例题 （25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． （2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：数量积求夹角】 （25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知向量 满足： ，则 （    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江西·月考）已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南长沙·月考）已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·天津·月考）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ．小试牛刀2 （24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 .小试牛刀3 【题型6：数量积的综合计算】 【多选题】（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ）经典例题1例题 A． B．与的夹角为 C． D． 【多选题】（25-26高三上·江苏扬州·期中）在正中，边长为3，为边的中点，则下列结论正确的有（    ）经典例题2例题 A． B．在上的投影向量为 C． D． 【多选题】（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）已知都是单位向量，若，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）小试牛刀2 A． B． C． D．与的夹角为 【多选题】（24-25高一下·山东潍坊·期末）若，与的夹角为，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 3．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 5．（24-25高二下·福建福州·期末）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 7．（24-25高一下·安徽·月考）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 8．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 9．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 10．（25-26高三上·安徽·月考）已知，则向量与的夹角为 . 11．（25-26高三上·甘肃天水·月考）已知中，，，，则在方向上的投影为 ． 12．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知向量在向量方向上的投影向量为，则 13．（2025·湖南·一模）设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为 ． 14．（24-25高一下·江西上饶·月考）设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 15．（25-26高三上·四川泸州·月考）单位向量，满足，则与的夹角为 ． 16．（25-26高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则 ； . 四、解答题 17．（24-25高一下·陕西西安·月考）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 18．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知平面向量，，且．求： (1)向量在向量上的投影向量； (2)的值； (3)向量与夹角的余弦值． 19．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知平面向量，，，，且． (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 20．（24-25高一下·辽宁·月考）已知单位向量满足． (1)求的最大值； (2)若在上投影的数量为，求的值； (3)设向量满足，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $