第一章《三角形的证明》--等腰（直角）三角形中的分类讨论思想- 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章《三角形的证明》-一等腰（直角）三角形中的分类讨论思想 一、单选题 1.等腰三角形一个角为30°，则顶角的度数可能为() A.30 B.120° C.30°或150 D.30°或120 2.已知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足a-2+(b-3)2=0,则此等腰三角形的周 长为() A.7或8 B.6或10 C.6或7 D.7或10 3.△ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD交AB于点D,中线CD分△ABC两部分的周长差为2， 若AB=10,则BC的长为() A.5 B.8或10 C.12 D.8或12 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC,点E、F分别是边AB、AC上的动点，连接EF ,将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后△CDP与△BDE均为等腰 三角形，则∠A的度数是() 折叠 E A.60° B.45° C.60°或45° D.30°或45 5.如图，在长方形ABCD中，AB=3,AD=5,动点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，速 度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，t的值为() D P A.3或5或7B.3或4或5 C.3或5 D.4或7 二、填空题 6.如图，已知P是射线ON上一动点，∠0=40°，当∠A的度数为 时，△AOP为直角 三角形. P N 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D在边BC上（点D与B,C不重合），作 LADE=30°，DE与边AB相交于点E.若△ADE是等腰三角形，则LCAD度数为 D 8.已知AD,CE分别是等腰三角形ABC的高线与角平分线，且AD,CE相交于F.若∠B=70°，则 LCFD的度数为一· 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=I0,动点D从点A出发，沿线段AB以每 秒1个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F,连接AF,CD.设点 D运动时间为t秒.当△ABF是等腰三角形时，则t=秒. 10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,在直线BC上找一点P,使得△ABP为 以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为 三、解答题 11.在△ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD将△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求BC的 边长. 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以 2cms的速度移动，设运动的时间为s. A A B→P B C B 备用图1 备用图2 (1)BC边的长为 ②)当t为空时，61B即是什么三角形，请给出江明： (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. 13.如图，AD⊥BC,垂足为D,且AD=4,BD=9.点E从D点沿射线DC向右以2个单位/秒 的速度匀速运动，同时点F从B点沿线段BD向点D以1个单位/秒的速度匀速运动，当点F到 达终点D时，点E也立即停止运动，连接AE、AF,设点F运动的时间为t秒. D EC (1)当t为何值时，AD是△AEF的中线？ (2)当t=1时，判断△AEF的形状，并说明理由； (3)是否存在t的值，使△AEF是以AF为腰的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在， 请说明理由， 14.如图，已知在△ABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,动点P从点C出发，沿着△ABC 的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为2cm/s,设运动时间为t秒. C》p CP B 备用图 备用图 (1)求AB边上的高； (2)t为何值时，△ACP为等腰三角形？ (3)另有一点Q,从点C开始，按顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm,若P、Q两点同时 出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把△ABC的周 长分成相等的两部分？ 参考答案 一、单选题 1.D ,等腰三角形有两个角相等， ∴.若30°为顶角，则项角为30°； 若30°为底角，则另一底角也为30°，顶角为：180°-30°-30°=120°； .∴.J顶角为30°或120°， 故选：D. 2.A 解：.√a-2+(b-3)=0,且√a-2≥0，(b-3)≥0， .a-2=0且b-3=0, ∴.a=2,b=3, 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， 2+2>3,2+3>2,3+2>2, ∴能组成三角形，周长为2+2+3=7； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， 3+3>2,3+2>3,2+3>3, 能组成三角形，周长为3+3+2=8； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 3.D 解：：AB=AC=10,CD为AB边上的中线， ∴.AD=DB=5, 设BC=x, 则△ADC的周长为：AD+AC+DC=5+10+DC=15+DC, △BDC的周长为：BD+BC+DC=5+x+DC, 两部分的周长差为(15+DC)-(5+x+DC)=10-x=2, 10-x=2, 即10-x=2或10-x=-2, 解得x=8或x=12. .BC的长为8或12. 故选：D. 4.C 解：，△CDF中，LACB=90°，且△CDF是等腰三角形， ∴.CF=CD, ∴.LCFD=∠CDF=45°， 连接DA, 设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD,AE=DE, ∴.∠FAD=∠FDA,∠DAE=∠ADE, ,∠CFD=∠FAD+∠FDA,∠DEB=∠DAE+∠ADE, .∠FAD=∠FDA=∠CFD=2.59,∠DEB=2r°， 分类如下： ①如图1，当DE=DB时，LB=LDEB=2x°， E 图1 由LCDE=∠DEB+LB,得45+22.5+x=4x, 解得：x=22.5. 此时LB=∠DEB=45°， ∠A=90°-LB=45°； ②如图2，当BD=BE时， 则∠BDE=LDEB=2x°， 故∠B=(180-4x)°， 由LCDE=∠DEB+LB得：45+22.5+x=2x+180-4x, 解得x=37.5, D 图2 此时LB=(180-4x°=30°， ∠A=90°-∠B=60°； ③DE=BE时， 则∠BDE=∠B, 故∠B= 180-2x0=(90-x)°， 2 由∠CDE=∠DEB+∠B得45+22.5+x=2x+90-x 此方程无解， .DE=BE不成立； 综上所述，∠A的度数是45°或60°. 故选：C. 5.D 解：当点P的运动时间为t秒时，分两种情况讨论： ①当点P在BC上时，DP=AD=5, B P AB=CD=3, ·PC=VDp2-CD2=V52-32=4; :AB+BP=3+(5-4)=1, :t=4时，DP=AD=5, ②当点P在BC上时，AP=AD=5, 同理可得：BP=4, :AB+BP=3+4=t, ·t=7时，AP=AD=5, 综上可知：当t=4或7时，△APD是以AD为腰的等腰三角形. 二、填空题 6.90°或50° 解：依题意，△AOP为直角三角形时， 当∠A=90,△AOP为直角三角形时，∠A=90°； 当∠AP0=90°时，∠A=90°-∠0=90°-40°=50°， 故答案为：90°或50°. 7.45°或90 解：，AB=AC, ∴.∠B=∠C=30°， 则∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°， ①如图，DA=DE,即△ADE是等腰三角形， E D ,∠ADE=30°， ·∠D4E=∠DE1-=2180-∠4DE-2XI80-30)=75， ∴.∠CAD=∠BAC-∠DAE=120°-75°=45°； ②如图，EA=ED,即△ADE是等腰三角形， 4 ∴.∠EAD=∠EDA=30°， ∴.∠CAD=∠BAC-∠DAE=120°-30°=90°； ③D不与B、C重合，LADE=∠C=30°， ∴以AE=AD的等腰三角形不存在； 综上所述，∠CAD的度数为45°或90°， 故答案为：45°或90°. 8.55°或62.5°或70 解：由题意知，等腰△ABC分AB=AC;AB=BC;AC=BC;三种情况求解； 如图1，当AB=AC时， E F D 图1 .∠ACB=∠B=70°，∠BAC=180°-LACB-∠B=40°， ,AD、CE分别是等腰△ABC的高线与角平分线， 1 ∴.∠ADC=90°，∠DCE=5∠ACB=35°， ∴.∠CFD=180°-∠ADC-∠DCE=55°； 如图2，当AB=BC时， B D E 图2 ∠BAC=∠BCA=180°，∠B=55, 同理，∠ADC=90°，∠DCE=∠BCA=27.5°， ∠CFD=180°-ADC-∠DCE=62.5°； 如图3，当AC=BC时， D F E 图3 ∴.∠CAB=∠B=70°，∠ACB=180°-∠CAB-∠B=40 同理，∠ADC=90°，∠DCE=∠ACB=20°， .∴.∠CFD=180°-∠ADC-∠DCE=70°； 综上所述，∠CFD的度数为55°或62.5°或70°； 故答案为：55°或62.5°或70°. 9.5或号或4 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=10, 由勾股定理得：BC=√AB2-AC2=V102-82=6, 当△ABF是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当AF=BF时，如图， 6 :DF⊥AB交BC所在的直线于点F, ·D=BD=)AB=5 此时点D运动时间为t=5÷1=5(秒)： ②AF=AB=10时，如图， D :LACB=90°， AC⊥BF, .FC=BC=6, :BF =FC+BC=12, 由三角形的面积公式得：Sm24B:FD=2BFAC,