第一章《三角形的证明》---“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形 专项训练2025－2026学年北师大版数学八年级下册

第一章《三角形的证明》-一“手拉手”模型一一共顶点的等腰三角形 一、单选题 1.如下图, ABC和aDEC均为等腰直角三角形,点B,D,E在同一直线上,连接AD,BD,若 AC=V0,EC=√2,求线段AD的长是() A.1+1 B.1+√10 C.4 D.5+i0 2.如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90 ,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为 45 的直角三角板ADE如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC, 下列判断正确的有() ① ABE≌ DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④SAEc=2SAEB A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,C为线段AE上一动点.(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边 ABC和等边 ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,则有以下五个结论: ①AD=BE;②PQ∥AE;③AB=BQ;④DE=DP;⑤LAOB=60 .其中正确的有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.如图,分别以 ABC的边AB,AC为边,在 ABC的外侧作等边 ABD和等边 ACE,连接 BE,CD相交于点O,CD与AB相交于点M,BE与AC相交于点N,连接MW,AO有下列结论: ①BE=CD;②MN∥BC:③OA平分∠D0E;④LB0C=120 其中,正确结论的个数是() E A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 5.如图,AC=BC=4,DC=EC=2,LACB=LECD=90 ,且ED平分LBDC,则AE=一, B D E 6.如图,在 ABC和 ADE中,AB=AC,AD=AE,∠ABC=∠ADE=72 ,∠ECD=45 ,则 LBEC的度数为 B 7.如图,在 ABC中,AC=2,AB=4,分别以AC,BC为边向外作正 ACD和正 BCE,连接 AE,在 ABC的边BC变化过程中,当AE取最长时,则BC的长为 8.如图, ABC和 ADE均为等腰直角三角形,且点C,D,E在同一条直线上,连接BD,BE, 则以下四个结论: ①BD=CE;②LACE+∠DBC=60 ;③BD⊥CE;④LBAE+LDAC=180 .其中正确的个数是 三、解答题 9.如图, ABC为任意三角形,以边AB,AC为边分别向外作等腰三角形ABD和等腰三角形 ACE,AB=AD,AC=AE,且LDAB=LCAE,连接CD,BE并且相交于点P. (1)求证:CD=BE; (2)若∠DAB=LCAE=65 ,求∠DPB的度数. 10.如图, ABC和 DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=LDCE=90 ,CA=CB,CD=CE,连 接AE,BD. (1)证明: ACE≌ BCD; (2)若CA=CB=6,AD=2V2,且∠CAD=45 ,求CE的长. 11.如图, ABC是等边三角形,AB=10,AD是边BC上的高,点E在边AD上,连接BE,在 其下方作BF,使BE=BF,LBEF=6O ,连接DF,CF,EF. (1)当 BDE是等腰三角形时,求出∠ABF的度数; (2)求证: ABE≌aCBF; (3)当 CDF是等腰三角形时,求出∠BDF的度数. I2.如图①,CA=CB,CD=CE,LACB=LDCE=a,AD,BE交于点M,AD,BC交于点O,连 接CM. B 图① 图② (1)求证:BE=AD; (2)用含a的式子表示LAMB的度数; (3)当a=60 时,分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图②所示,判断aCPQ的形状, 并加以证明. 13.(1)如图1, ABD, AEC都是等边三角形,连接BE,CD相交于点O,求证: DAC≌ BAE; (2)如图2, ABD, AEC都是等边三角形,点C在BD边上,过E作EF垂直AB于F,求证: AF BC+BF (3)如图3, ABD是等边三角形,在 ABC中,AB=AC,∠BAC<60 ,连接CD,AE平分 ∠DAC交CB延长线于点E,交CD于点F,则∠AEC的度数为 (直接写出答案) D F B 图1 图2 图3 14.如图,在 ABC和 AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,连接BE,CF. E 图1 图2 图3 【发现问题】(1)如图1,若∠BAC=30 ,延长BE,交CF于点D,则BE与CF的数量关系是 ,LBDC的度数为 【类比探究】(2)如图2,若LBAC=120 ,延长BE,FC,相交于点D,请猜想BE与CF的数 量关系及∠BDC的度数,并说明理由, 【拓展延伸】(3)如图3,若LBAC=90 ,BE,CF相交于点D,连接BF,CE.若CF=8,求 四边形FBCE的面积. 15.如图1,点C在线段AB上,(点C不与A、B重合),分别以AC、BC为边在AB同侧作等 边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点P. E E D P D C C B B 图1 图2 图3 (1)观察猜想 AE与BD的数量关系,请直接写出结论 (2)数学思考 如图2,当点C在线段AB外时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立, 请你写出正确结论再给予证明: (3)拓展应用 如图3,点E为四边形ABCD内一点,且满足LAED=LBEC=9O ,AE=DE,BE=CE,对角线 AC、BD交于点P,AC=I0 ①求证AC⊥BD; ②求四边形ABCD的面积. 参考答案 一、单选题 1.C 证明:如图,过C作CF⊥AD交于F, D .∠CFD=∠CFA=90 : ABC和aDEC均为等腰直角三角形, .AC=BC=V10,DC=CE=V2,∠ACB=∠DCE=90 . :ZACB+ZBCD ZDCE+ZBCD 即∠ACD=LBCE. 在 ACD和 BCE中, AC=BC ∠ACD=∠BCE, DC=CE ACD≌BCE(SAS), ∠ADC=∠BEC. :DC=CE=√2,∠DCE=90 , DE=VDC2+CE=2+V2=2,∠CDE=BEC=45 . ∴.∠ADC=LBEC=45 . :∠CFD=90 , .∠DCF=90 -∠CDF=45 . LDCF=LCDF=45 . 2x( .DF=CF= V2CD2 =1 2 2 :∠CFA=90 , .4F-4C-CF-)-1-3. :AD=AF+FD=3+1=4. 故选:C 2.D 解::AC=2AB,点D是AC的中点, :AD =CD AB=DC, :AD CD=AB, : ADE是等腰直角三角形, AE=DE,LEAD=∠ADE=45 , ∠BAE=LBAC+∠EAD=90 +45 =135 , ∠EDC=180 -∠ADE=180 -45 =135 , AB=DC 在 ABE和 DCE中, ∠BAE=∠EDC, AE=ED ABE≌ DCE(SAS), 故①正确; :BE=EC(全等三角形的对应边相等), 故②正确: :∠AEB=∠DEC(全等三角形的对应角相等), .∠BEC=LBED+LDEC=∠BED+LAEB=LAED=90 , BE⊥CE, 故③正确; ABE≌ DCE, SABE S.DCE S.4EC S.DCE+S.4ED AD =CD .S.ADE S.CDE SAAEC=2S AEB, 故④正确