湖北武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学

2026届高三年级上学期期末质量检测 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为虚数单位，则（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 0 2. 若两个球的表面积之比为：，则它们的体积之比为（ ） A. 1：9 B. 1：3 C. 1：27 D. 1：729 3. 离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知动点在正方体的侧面内（包括边界）运动，记向量，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 用模型去拟合与的关系，令，得到关于的回归直线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 7. 将点绕着原点逆时针旋转到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，函数的图象经过三点，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递增 10. 如果“若则”和“若则”同为真命题或同为假命题，就称与具有“同步关系”．已知函数的定义域为为上的单调递增函数，则与下列选项中的具有“同步关系”的有（ ） A. ：对任意，且，都有 B. 为上的单调递增函数 C. 为上的单调递增函数 D. 为上的单调递增函数 11. 若与是相互独立的随机变量，均服从二项分布，且，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 令，则 D. 若，满足，则有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和满足，则___________． 13. 过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的取值范围是___________． 14. 若，使得集合中包含且仅包含两个整数和，则正实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，． （1）若，求； （2）若为边上的点，且，求的最小值． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，分别是的中点． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若，求的取值范围． 18. 已知为坐标原点，直线与椭圆交于两点（点在点的右侧），是椭圆在第二象限上的一动点（不同于）． （1）若，直线和直线的斜率分别记为，求的值； （2）若，是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由； （3）若为线段上的一点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 19. 甲、乙两人用一副卡牌玩“抢宝藏”游戏，卡牌包含若干对图案相同的普通牌和一张不能成对的宝藏牌，在分配完卡牌，双方丢弃手中所有已经成对的普通牌后，恰好甲手中有张没有成对的普通牌，乙手中有张没有成对的普通牌和1张宝藏牌，现按以下规则游戏： ①甲乙轮流抽对方一张牌，甲先抽（甲乙抽对方牌均计入抽牌次数）； ②若抽取的牌是宝藏牌则将其保留在手中，否则将手中与之成对的一张牌一并丢弃； ③直到有人手中没有牌时游戏结束，手中只剩宝藏牌的玩家获胜； （1）若，经过三次抽牌后，求宝藏牌在甲手中的概率； （2）设游戏开始时甲手中有张牌，游戏结束时乙获胜的概率为，由全概率公式得，即，类似地，求，； （3）记为这次游戏结束需要抽牌的次数，期望为，求证： 2026届高三年级上学期期末质量检测 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）3 （2） 【16题答案】 【答案】（1） 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 在中，，即，解得，所以， 所以 以为原点，分别以为轴方向建立空间直角坐标系， 则， ，所以， 因为，所以； （2） 【17题答案】 【答案】（1） 时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）存在，直线方程为 （3）过定点，证明如下： 由题意得直线，联立，整理得， 由点在椭圆上，则有，将之代入到， 整理得，即， 由题意得在右侧，故取正号，则有点， 因为点在线段上，则设，其中， 则有点， 因为，则有， 则有， 由上知，即有，， 代入上式后得有关的二次方程， 解得，因为，故取， 设直线的方程为，其中， 代入后得，结合，整理得， 即，令，解得，故直线过定点. 【19题答案】 【答案】（1）； （2），； （3） 按照甲第一次抽卡牌的情况分两类， 第一类，若甲第一次抽到宝藏牌，此时甲有张普通牌和1张宝藏牌，乙有张普通牌， 再轮到乙抽，由对称性，此时游戏结束抽牌的平均次数还要次，一共次， 第二类，若甲第一次抽到普通牌，此时甲手中丢掉成对卡牌后剩张普通牌， 乙有张普通牌和1张宝藏牌，再轮到乙抽，一定抽到的是普通牌， 丢掉成对卡牌后还有张普通牌和1张宝藏牌，此时游戏结束抽牌的平均次数还需为，一共次， ， 故， ①若为偶数，设， 首先设，则， 则在上单调递减，则， 则不等式在上恒成立，代入， 有， 故，有； ②若为奇数，设， 当时，时，， 则在时，时恒成立， 则，（当时）， 故， ， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $