第02讲 立方根（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦立方根核心知识点，系统梳理定义（若x³=a则x是a的立方根）、特征（任何实数有唯一立方根且符号与原数一致），通过与平方根对比突出无被开方数非负限制、结果唯一的区别，构建从定义到求立方根、实际应用等的递进式学习支架。 该资料亮点在于分层设计典例与变式题型，结合正方体体积计算等实际问题培养模型意识，通过对比辨析发展抽象能力，规律探索题提升推理意识。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖全面帮助学生查漏补缺。

第02讲 立方根 考点1：立方根 重点： （1）实数范围内，任何实数都有且只有一个立方根 （2）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0 难点★： （1）与平方根的性质混淆易忽略立方根无被开方数非负限制、结果唯一的特点，错用平方根 “正数有两个根、负数无根” 的结论。 （2）符号判断失误计算负数立方根时易漏负号，或错误认为负数无立方根。 （3）化简与运算易错混淆与的化简规则，错将加绝对值；复杂根式与乘方混合运算时顺序出错。 （4）实际应用建模将体积、边长等实际问题转化为立方根模型，抽象转化能力要求较高。 知识点1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型1 求一个数的立方根】 【典例1】8的立方根为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式1】“的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】的立方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【题型2 已知一个数的立方根，求这个数】 【典例2】立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【变式2】已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326 【变式3】已知，则的值是 ． 【题型3 与立方根有关的规律探索】 【典例3】如果，，那么 ． 【变式1】已知，，则 ． 【变式2】已知：，，，则 . 【变式3】已知，，，，则 ． 【题型4 立方根的实际应用】 【典例4】若制作一个体积为的正方体形状的包装箱，则这个包装箱的棱长应为 ． 【变式1】如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【变式2】已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm． 【变式3】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【变式1】已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【变式2】已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式3】已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 1．的值为（   ） A． B．±2 C．2 D． 2．当时，的值为（    ） A． B． C．10 D．5 3．一个数的立方等于它本身，则这个数是（    ） A．0，1 B． C．，0 D．0， 4．《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．如下为小亮的答卷，他的得分应是（    ） 姓名：小亮  得分： 填空 （每题 20 分，共 100 分） ①的平方根是； ②的绝对值是 ； ③； ④； ⑤的相反数是 2． A．100 分 B．80 分 C．60 分 D．40 分 6．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．计算： ． 9．根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ． 10．解方程 (1)； (2)． 11．已知的平方根是， 的立方根是2， (1)求和； (2)求的算术平方根． 12．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 立方根 考点1：立方根 重点： （1）实数范围内，任何实数都有且只有一个立方根 （2）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0 难点★： （1）与平方根的性质混淆易忽略立方根无被开方数非负限制、结果唯一的特点，错用平方根 “正数有两个根、负数无根” 的结论。 （2）符号判断失误计算负数立方根时易漏负号，或错误认为负数无立方根。 （3）化简与运算易错混淆与的化简规则，错将加绝对值；复杂根式与乘方混合运算时顺序出错。 （4）实际应用建模将体积、边长等实际问题转化为立方根模型，抽象转化能力要求较高。 知识点1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型1 求一个数的立方根】 【典例1】8的立方根为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴8的立方根为2， 故选：B． 【变式1】“的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键．根据立方根定义表示出的立方根即可． 【详解】解：“的立方根”用数学符号表示为． 故选：A． 【变式2】的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解决此题的关键．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式3】的立方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查求算术平方根及立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题关键．先计算的值，再求其立方根即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴的立方根是． 故选：D． 【题型2 已知一个数的立方根，求这个数】 【典例2】立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 【变式1】已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 【变式2】已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326 【答案】A 【分析】根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵68.82＝6.882×10， ∴x＝326×103＝326000， 故选：A． 【点睛】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 【变式3】已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】利用立方根的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握若一个数的立方等于a，则这个数称为a的立方根是解题的关键． 【题型3 与立方根有关的规律探索】 【典例3】如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得： 故答案为：0.2872． 【变式1】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解；∵， ∴， 故答案为；． 【变式2】已知：，，，则 . 【答案】 【分析】本题考查立方根的估算．抓住是整数是解题关键． 将原式化为，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 【变式3】已知，，，，则 ． 【答案】1.285 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．据此进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：1.285 【题型4 立方根的实际应用】 【典例4】若制作一个体积为的正方体形状的包装箱，则这个包装箱的棱长应为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是明确正方体体积是棱长的立方，会求立方根． 根据正方体体积是棱长的立方，求的立方根即可． 【详解】∵正方体体积是棱长的立方， ∴体积为的正方体的棱长是． 故答案为：． 【变式1】如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为 则其边长为 故答案为：． 【变式2】已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm． 【答案】4 【分析】此题主要考查了立方根的应用，设截得的每个小正方体的棱长，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是，则 由题意得， 解得． 答：截去的每个小正方体的棱长是． 故答案为：4． 【变式3】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【答案】 【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：正方体贮水池的棱长为： （分米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 【变式1】已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 【变式2】已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 【变式3】已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，掌握以上定义是解题的关键． （）根据立方根和算术平方根的定义可得，，解方程即可求解； （）由（）求出的值，进而根据平方根的定义解答即可； 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 1．的值为（   ） A． B．±2 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握立方根的概念． 求8的立方根，即求哪个数的三次方等于8． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．当时，的值为（    ） A． B． C．10 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据作答即可． 【详解】解：当时，． 故选：D． 3．一个数的立方等于它本身，则这个数是（    ） A．0，1 B． C．，0 D．0， 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴一个数的立方等于它本身，则这个数是0或， 故选：D． 4．《西游记》主要讲述了唐僧师徒们西天取经，历经九九八十一难，最终取得真经的故事．其主要人物孙悟空战斗力强，他的武器金箍棒尤为厉害，若金箍棒的攻击力满足，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根和立方根的实际应用，由得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 5．如下为小亮的答卷，他的得分应是（    ） 姓名：小亮  得分： 填空 （每题 20 分，共 100 分） ①的平方根是； ②的绝对值是 ； ③； ④； ⑤的相反数是 2． A．100 分 B．80 分 C．60 分 D．40 分 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根，相反数，绝对值的定义，掌握相关定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义，立方根的定义，相反数，绝对值的定义分别计算各题，进而可求解 【详解】解：①的平方根是，故错误； ②的绝对值是 ，故正确； ③故正确； ④，故错误． ⑤的相反数是，故错误． （分）， ∴小亮的得分为40分， 故选：D． 6．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根与被开方数的关系，掌握这个是解题的关键． 根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查立方根和算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算立方根和算术平方根，再求差 【详解】解： 故答案为：． 9．根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数，解题关键是掌握开立方的意义． 根据开立方的意义求解． 【详解】解：∵2025开立方得， 开立方得， ∴是2025的相反数， 即， 故答案为：． 10．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查利用平方根与立方根解方程，熟练掌握平方根与立方根是解题的关键． （1）直接根据平方根解方程即可； （2）直接根据立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 11．已知的平方根是， 的立方根是2， (1)求和； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根的计算． （1）由的平方根是可求得，由的立方根是2，再结合的值可求出； （2）先由的值求出，再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解： 的平方根是 的立方根是2 将代入得； （2） 的算术平方根是5 的算术平方根是5． 12．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为 ， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $