第一讲：两条直线相交（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年人教版七年级数学下册

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第一讲：两条直线相交 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：相交线 如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫作这两条直线的交点.这个图形的几何描述为：直线AB，CD相交于点O. 知识点02：邻补角的认识 ∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 知识点03：对顶角的概念与性质 概念：∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 性质：对顶角相等 知识点04：知识结构 考点1：对顶角的定义 【典型例题】 下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 【变式训练1】 下面四个图形中，与是对顶角的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角的定义，解决本题的关键是熟记对顶角的定义． 根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，即可解答． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有第3个图中的是对顶角，其余的图中的角都不是． 故选：A． 考点2：利用对顶角相等求角的度数 【典型例题】 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式训练1】 如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 考点3：邻补角的定义 【典型例题】 下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 【变式训练1】 如图，下列判断正确的是（   ） A．图①中和是一组对顶角 B．图②中和是一组对顶角 C．图③中和是一对邻补角 D．图④中和互为邻补角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的概念．根据对顶角和邻补角概念逐项判断即可．有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．熟练掌握两者定义是解题的关键． 【详解】解：图①和没有公共顶点，故和不是一组对顶角，故A不符合题意； 图②中的其中一边不是的反向延长线，故和不是一组对顶角，故B不符合题意； 图③中和相加不等于，所以和不是邻补角；故C不符合题意； 图④中和两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，是邻补角，故D符合题意； 故选：D． 考点4：利用邻补角求角的度数 【典型例题】 如图，O为直线上的一点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确地计算相关角度是解题关键．先求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵O为直线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴，即， 故答案为：B． 【变式训练1】 如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的运算、邻补角，掌握相关知识是解题的关键．已知，，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：，， ， 故选：D． 一、单选题 1．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D． 2．如图，O是直线上一点，，由，可以推出，这里用到的几何依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查邻补角，等角的余角相等，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到，再根据等角的余角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）． 故选：B． 3．如图，直线，相交于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键． 根据，结合邻补角的定义可求出，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，且， ， 解得：， ， 故选：A． 4．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，邻补角．根据角平分线的定义求出，再由与互补即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，点在直线上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用邻补角的定义求角的度数，根据计算即可得出结果，熟练掌握邻补角的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，且， ∴， 故选：D． 6．如图，直线、相交于O，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角的和等于． 根据邻补角的和等于列式求出的度数，再根据对顶角相等解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．由对顶角的性质得，进而可得出的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 8．如图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角的度数，嘉嘉延长至点C后，测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了邻补角互补，熟练掌握平角为是解题的关键． 根据邻补角互补求解即可． 【详解】解： ． 故选：B． 二、填空题 9．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 10．如图，直线与相交于点O，，则的邻补角的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由对顶角相等得到，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∴的邻补角的度数是． 故答案为：． 11．如图，为平角，且，则的度数是 ．    【答案】/140度 【分析】本题考查了角的计算．根据列式计算即可得出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角度的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 由于对顶角相等，得出，结合，进行角度的和差计算，得出的度数即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，点O是直线上一点，，，则 度． 【答案】110 【分析】该题考查了余角和补角的计算，根据，求出，再根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：110． 15．如图，直线、交于点O，平分，若，则= ． 【答案】/108度 【分析】本题考查相交线的性质、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据“对顶角相等”的性质得到，进而得到，根据角平分线的性质得到，利用，进行计算求解即可． 【详解】解：直线、交于点O， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 16．如图，已知，，相交于点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键． 先根据平角定义结合，可求出的度数，然后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，，相交于点，， ． 又与是对顶角， ． 故答案为：． 三、解答题 17．如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查对顶角和邻补角的概念． （1）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角． （2）两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角． 【详解】（1）根据对顶角的概念可得：的对顶角是， （2）根据邻补角的概念可得：的邻补角是，． 18．如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了角度的计算，以及对顶角相等这一性质，正确进行角度的计算是解题的关键． 根据，即可求得的度数，然后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 19．如图，和相交于点，是的平分线，且，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义．利用邻补角的性质求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 20．如图，直线相交于点O，． (1)的对顶角是________；的余角有________． (2)若与的度数之比为，求，的度数． 【答案】(1)；与 (2)， 【分析】本题考查了对顶角、余角、邻补角，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对顶角，余角定义求解，即可解题； （2）根据已知条件得到与的度数，再根据邻补角定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：的对顶角是； ， ， ， ， 则的余角有与， 故答案为：，与； （2）解：，与的度数之比为， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第一讲：两条直线相交 (知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼) 知识梳理 知识点01：相交线 如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫作这两条直线的交点.这个图形 的几何描述为：直线AB,CD相交于点O. 知识点02：邻补角的认识 ∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2 互补)，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 知识点03：对顶角的概念与性质 概念：∠1和∠3有一个公共顶点0，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这 种位置关系的两个角，互为对顶角. 性质：对顶角相等 知识点04：知识结构 尔补角 邻补角互补 相交线 两条直线相交 般情况 对顶角 对顶角相等 典例精讲 考点1：对顶角的定义 【典型例题】 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是() 【变式训练1】 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点2：利用对顶角相等求角的度数 【典型例题】 如图，直线AB,CD相交于点O,若∠1=40°，∠2=30°，则∠DOE的度数是() A.809 B.709 C.60° D.50° 【变式训练1】 如图，直线AB与CD相交于点O,射线OE在LAOD内部，若LAOC=35°，则LB0E的度数为() B A.125° B.135 C.35 D.55° 考点3：邻补角的定义 【典型例题】 下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是() A B. 【变式训练1】 如图，下列判断正确的是() ① ③ ④ A.图①中∠1和∠2是一组对顶角 B.图②中∠1和∠2是一组对顶角 C.图③中∠1和∠2是一对邻补角 D.图④中∠1和∠2互为邻补角 考点4：利用邻补角求角的度数 【典型例题】 如图，O为直线AB上的一点，OD平分∠BOC,若∠A0C=100°，则∠C0D等于() B A.35° B.40° C.45° D.50° 【变式训练1】 如图，直线AB、CD交于点E,∠FEB=90°，如果∠BED=32°，∠CEF的度数为() B D A.29 B.32 C.45 D.58 高频精练 一、单选题 1.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形是() A. 2.如图，O是直线MN上一点，∠CON=90°，由∠1=∠2，可以推出∠3=∠4，这里用到的几何依据是 () A B 12 M 3个4 0 A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 3.如图，直线a,b相交于点0，如果∠3=3L1,那么∠2的度数为() 3 A.45° B.40° C.60° D.30° 4.如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠BOD,，LB0E=70°，则LAOD的度数为() B D E A.50° B.45° C.40 D.359 5.如图，点0在直线AB上，若∠A0C=141°，则∠B0C的大小是() C A O -B A.78 B.51° C.49° D.39° 6.如图，直线AB、CD相交于O,且LAOC=2LB0C,则∠A0D的度数为() B O A.30° B.60° C.90° D.120° 7.如图，直线1,2相交于点0，若∠1=20°，∠3=65°，则∠2的度数是() 03 2 -12 A.45 B.35 C.25° D.30° 8.如图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角∠AOB的度数，嘉嘉延长AO至点C后，测 得∠B0C=52,则∠A0B=() C A.138° B.128° C.38° D.52 二、填空题 9.如图，直线4、、马相交于一点O,对顶角一共有对. 10.如图，直线AB与CD相交于点O,∠A0C=50°，则∠BOD的邻补角的度数是 A D 50O B 11.如图，∠A0B为平角，且∠A0C=名∠B0C,则∠B0C的度数是 C B 12.如图，直线AB,CD相交于点0，LA0C=60°，∠D0E=40°，则LB0E的度数为 B 13.如图，直线AB、CD相交于点0，E0⊥AB,垂足为0，若∠A0D=124°，则LE0C= E B A D 14.如图，点0是直线AB上一点，∠C0D=90°，∠B0D=20°，则LA0C= 度 C B 文20° D 15.如图，直线AB、CD交于点O,OE平分LA0D,若L1=36°，则LC0E= E 16.如图，己知AB,CD,EF相交于点0，∠1+∠2=90°，则∠3的度数是 3 2y0 B 三、解答题 17.如图所示，直线AB,CD,EF相交于点O D E B (1)请写出∠AOE的对顶角； (2)请写出∠A0D的邻补角. 18.如图，已知直线AB,CD,EF相交于点O,∠1=15°，∠B0D=90°，求∠2的度数. B 19.如图，AB和CD相交于点O,OE是∠BOC的平分线，且∠A0E=140°，求∠BOD的度数. D E 20.如图，直线AB,EF相交于点O,∠A0C=90°. C 2 (1)∠1的对顶角是 ；∠2的余角有 (2)若∠1与∠2的度数之比为1：4，求∠C0F,∠E0B的度数.