第二讲：两条直线垂直（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年人教版七年级数学下册

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第二讲：两条直线垂直 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：认识垂线和垂直 一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 知识点02：垂线的性质1 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点03：垂线的性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 知识点04：知识结构 考点1：垂线的定义和理解 【典型例题】 如图，若已知，则下列说法正确的是（　　） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握垂线段的定义是解题的关键．根据与不垂直可对选项进行判断；根据与不垂直可对选项进行判断；根据线段是点A到的垂线段可对选项进行判断；根据可对选项进行判断；综上，即可得出答案． 【详解】解：与不垂直， 点B到的垂线段不是线段， 故选项不正确，不符合题意； 与不垂直， 点C到的垂线段不是线段， 故选项不正确，不符合题意； 线段是点A到的垂线段， 选项不正确，不符合题意； ， 线段是点B到的垂线段， 故选项正确，符合题意； 故选：． 【变式训练1】 如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：，，则与重合， 其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：A． 考点2：画垂线 【典型例题】 下列选项中，过点画直线的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是过一点画已知直线的垂线．根据利用三角板或量角器画垂直的方法进行判断即可． 【详解】解：过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是： 故选：C． 【变式训练1】 下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据题意：她做对了2个，分别是（1）和（3）， 故选：C． 考点3：垂线段最短 【典型例题】 如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是垂线段最短． 故选：A 【变式训练1】 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：． 考点4：点到直线的距离 【典型例题】 下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到的距离就是过向作垂线的垂线段的长度． 【详解】解：A、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； B、表示点到的距离，故此选项正确，符合题意； C、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； D、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】 如图，于点C，于点D，则点到的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题关键．根据点到直线的距离的定义求解即可得． 【详解】解：∵于点， ∴点到的距离是线段的长度， 故选：A． 一、单选题 1．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 2．如图，于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，根据得出，进而求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，垂直的定义，由对顶角相等可得，再由可知，由此即可解出的度数． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， ． 故选：A． 4．如图，已知于点，若，，点是线段上一动点，则线段的长度最短是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解概念，知道垂线段最短．根据垂线段最短得出最短为5 故选B． 5．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 6．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 8．如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 【答案】A 【分析】本题考查垂直的性质与对顶角相等，掌握互余是指两个角的和为是解题的关键．先根据得到直角，再利用对顶角相等的性质，找出与的角度和关系，从而判断二者的关系． 【详解】解：∵于点， ∴，即， ∵与是对顶角， ∴， ∴，即与互余． 故选：A． 二、填空题 9．在体育课上某位同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段 的长． 【答案】 【分析】根据垂线段的定义即可得出答案． 本题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段的性质． 【详解】解：根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即为线段的长． 故答案为：． 10．如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 11．如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，要熟练掌握由垂直得直角这一要点． 根据垂直的定义可得，再由，可得，根据对顶角相等，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． 12．如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 13．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 14．如图，于点O，经过点O，，则 ．    【答案】/50度 【分析】本题主要考查对顶角相等及垂线的意义，熟练掌握对顶角相等及垂线的意义是解题的关键；由题意易得，然后根据对顶角相等可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 15．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可． 本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 16．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 【答案】 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度． 三、解答题 17．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． (2)过点P画的垂线，交于点D． (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据题意画垂线，根据点到直线的距离的定义得到点到直线的距离是线段的长度； （2）根据题意画垂线； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到． 【详解】（1）解：如图所示，点到直线的距离是线段的长度； （2）解：如图所示； （3）解：，理由：垂线段最短． 18．如图，直线，相交于点，平分，，且，垂足为．求和的度数． 【答案】； 【分析】根据角平分线的意义以及对顶角相等求得，根据求得，根据平角的定义即可求得的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴． 又∵， ∴． ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，垂直的定义，平角的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 19．如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 20．如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据垂线的定义得，根据对顶角的定义得，再由计算即可； （2）根据，设，则，，再根据得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设，则，， 据题意，得， ∴， 解得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第二讲：两条直线垂直 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：认识垂线和垂直 一般地，当两条直线a,b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 知识点02：垂线的性质1 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点03：垂线的性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 知识点04：知识结构 考点1：垂线的定义和理解 【典型例题】 如图，若已知，则下列说法正确的是（　　） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【变式训练1】 如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 考点2：画垂线 【典型例题】 下列选项中，过点画直线的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．B．C． D． 【变式训练1】 下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点3：垂线段最短 【典型例题】 如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度．其理由是（    ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【变式训练1】 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 考点4：点到直线的距离 【典型例题】 下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A．B． C． D． 【变式训练1】 如图，于点C，于点D，则点到的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 一、单选题 1．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．如图，于点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知于点，若，，点是线段上一动点，则线段的长度最短是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 5．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 二、填空题 9．在体育课上某位同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段 的长． 10．如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 11．如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 12．如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 13．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 14．如图，于点O，经过点O，，则 ．    15．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 16．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 三、解答题 17．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． (2)过点P画的垂线，交于点D． (3)比较与的大小，并说明理由． 18．如图，直线，相交于点，平分，，且，垂足为．求和的度数． 19．如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 20．如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $