1.4 线段的垂直平分线与角平分线 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

《线段的垂直平分线与角平分线》 一、单选题 1．如图，在∆ABC中，已知，垂直平分，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．14 C．16 D．10 3．如图，在∆ABC中，，，的平分线交于点D，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．点D一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 4．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，∆ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 5．如图，在∆ABC中，，，平分，平分，且交于点，延长至点，使，连接；延长交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 二、填空题 6．如图，在∆ABC中，，分别是边，的垂直平分线，，则∆ADE的周长 ． 7．如图，在∆ABC中，，是的角平分线，点E在边上，连接，且．若∆ADE面积为4，，则面积 ． 8．如图，在中，，是∆ABC的角平分线，分别在边上．，连结． 若，则∆ABC的面积是 ． 9．如图，在∆ABC的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则 ． 10．如图所示，点在的内部，点分别是点关于直线的对称点，线段交，于点，．若的周长是，则线段的长是 ． 三、解答题 11．如图，在∆ABC中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)若∆ADE的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 12．从常见的风筝中可以抽象出一个几何图形．已知是等边三角形，，过点A作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：垂直平分线段； (2)若，，求的长． 13．如图，为∆ABC的角平分线，于点，于点，连接交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若，写出与之间的数量关系，并证明． 14．如图，在∆ABC中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 15.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求∆ABC的周长． 16.如图，是平分线上的一点．过点作，，垂足分别为，连接． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的周长． 17.已知：如图，∆ABC中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18.已知：如图∆ABC中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 19.已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 20.小聪同学在学习了《角平分线的性质》后，对教材中呈现的知识进行了拓展探究． (1)如图1，若点P是平分线上一点，，，则点P到的距离为______． (2)已知 ，平分，平分． ①如图2，若点E到与的距离之和为4，则点E到的距离为______． ②如图3，过点E作直线交射线于点C，交射线于点D，试探究线段的数量关系，并说明理由． ③如图4，过点E的直线交直线于点C，交射线于点D，若，，则______．（用含m、n的式子表示） 参考答案 一、单选题 1．B 解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 2．A 解：作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积． 故选：A． 3．B 解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴，故A正确； ， ∴， ∴点D一定在的垂直平分线上，故C正确； ∵， ∴是等腰三角形， ∴是轴对称图形，故D正确； 无法证明，故B错误， 故选：B． 4．C 解：∵∆ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 5．B 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，与矛盾， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ， 即，故⑤正确； ，， 为的垂直平分线， ， ∴， ， ， 又平分，平分， ， ， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上，①③④⑤正确， 故选：． 二、填空题 6．8 解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴∆ADE的周长为， ∵， ∴∆ADE的周长为8． 故答案为：8 7． 解：如图；过点 作交于点 ∵，是的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵∆ADE面积为4，， ∴面积为2， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 8． 解：如图，过作于， ， ， 是∆ABC的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 9． 解：平分，， ,， 在和中， ， ，， ，，， ∴BC=CE+BE=CA+AE=CA+DE+DA=3+1+1=5， 故答案为： ． 10． 解：∵、关于对称，、关于对称， ∴和分别是线段和线段的垂直平分线， ∴，， 又∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（1）解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为，即， ； （2）解：由题意得，，， ， ， ． 12．（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴点C在的垂直平分线上， 又∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分线段． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（1）证明：为∆ABC的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ∴点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）， 证明：为∆ABC的角平分线，， ， ， 垂直平分, , ，， ， ， ， ． 14．（1）解：∵， ∴， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴． （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19， ∴，即． ∵， ∴． （3）证明：如图：连接， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 15.（1）证明：连接， ，如图所示： ∵是的平分线，，, ∴， ∴, ∴,,,都是直角三角形， ∵是边的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴. （2）解：设， ∵,, ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴, ∴的周长为：． 16.（1）证明：是平分线上的一点，，，垂足分别为， ，， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 是的垂直平分线； （2）解：，， ， ，， ， ， ， ∴∆COP的周长是． 17.（1）证明：连接，如图所示： 平分，，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：由（1）可知 ， ， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ． 18.（1）证明：O是的中点， ， ， ， ， ， ， 所在直线是的垂直平分线； （2）证明：D是的角平分线上一点，，， ， ∵DB=DC， ， ， ， ； （3）证明：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 19.（1）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ． ， ． 在和中： ， ； （2）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ， ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 是的角平分线，， ， 又平分， ， ， 平分， 在和中， ， 同理可证，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 20.（1）解：过点P作，如图所示： ∵点P是平分线上一点，，， ∴， 即点P到的距离为； 故答案为：3． （2）解：①过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： ∵，， ∴， 即线段的长度就是点E到与的距离之和， ∵点E到与的距离之和为4， ∴， ∵平分，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 故答案为：2． ②，理由如下： 过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： ∵，， ∴， 即线段的长度就是点E到与的距离之和， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 则 ∴ 即， ③依题意，当点在直线的点A的右边时，如图所示： 与②同理，过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： 此时，，， ∴ ∴，， 则，， ∴ ∴ 即 故； 当点在直线的点A的左边时，延长交于点，如图所示： ∵， ∴ ∵平分，平分． ∴ ∴ 即 ∴ 即， ∵平分． ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 综上：当点在直线的点A的右边时，；当点在直线的点A的左边时，． 学科网（北京）股份有限公司 $