19.3 二次根式的加法与减法（同步预习讲义） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.3 二次根式的加法与减法（同步预习讲义） 2025-2026学年八年级数学人教2024版下册 【学习目标】 · 概念理解：理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式。 · 运算掌握：能熟练进行二次根式的加减运算，并形成化简→识别→合并的规范步骤。 · 思维发展：体会类比“整式加减”的学习方法，发展归纳与迁移能力。 【知识点一】同类二次根式：从“整式”到“根式”的类比 1. 发现之旅：什么是“同类”？ 回顾整式中“同类项”的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 观察下列二次根式，哪些可以进行合并？ (1) 和；(2) 和；(3) 和。 2. 概念阐述与辨析 · 定义：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 · 判断步骤：一化（化简）→二看（看被开方数是否相同）。 · 理解要点： （1）同类二次根式是“最简”之后的概念。 （2）合并同类二次根式与合并同类项法则相同：系数相加减，二次根式部分不变。 3. 典例精析 例1（概念理解） 判断下列各组二次根式是否为同类二次根式： (1) 和；(2) 和；(3) 和() 4. 举一反三 题1（概念辨析） 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 (，) D. 和 题2（条件推理） 若最简二次根式与是同类二次根式，求 的值。 题3（概念延伸型）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式：______。 【知识点二】二次根式的加减：合并“同类” 1. 法则归纳 · 文字语言：二次根式相加减，先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 · 运算步骤：化简→识别→合并。 · 核心思想：类比整式的加减运算，本质是合并同类项。 2. 典例精析 例2（基础运算） 计算： (1) ； (2) 。 3. 举一反三 题1（基础计算型） 计算：。 题2（步骤训练型） 计算：。 题3（简单综合型） 计算：。 【知识点三】加减混合运算与简单应用 1. 运算顺序 与实数运算顺序相同：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 2. 典例精析 例3（混合运算） 计算：。 3. 举一反三 题1（混合运算型） 计算：。 题2（含括号运算型） 计算：。 题3（几何应用型）一个等腰三角形的两条边长分别为cm 和cm，求这个等腰三角形的周长。 【同步练习】 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形的周长为，其中两边长分别为和，则第三边长为（ ）。 A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 18 C. 32 D. 50 6. 下列各组二次根式化简后，被开方数不相同的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 计算的结果是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 12 8. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 5 D. 10 9. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. （实际应用）工人师傅用长度分别为米和米的两根材料焊接成一个长方形框架。若不考虑损耗，该长方形框架的周长是（ ）米。 A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题4分） 11. 计算： 。 12. 比较大小： 。（填“>”、“<”或“=”） 13. 若 整数部分是 ，小数部分是 。 14. （根号内外因式互移） 若 ，则正整数 。 15. 已知，，则的值为 。 三、解答题（共5题，共50分） 16. （8分）计算与化简： （1）； （2）； （3）； （4）。 17. （10分）（项目式学习·社区微型公园设计） 为推进“百千万工程”中的社区微改造，某小区计划将一块闲置的正方形空地改造为微型公园。空地边长为 米。改造方案如下： 1. 绿化区：在空地中央规划一个正方形绿化草坪。 2. 步道：环绕草坪修建一条宽度均匀的环形步道。 3. 数据：经测量，草坪的面积恰好是空地面积的一半。 问题： （1）求该块闲置空地的总面积。 （2）求中央正方形绿化草坪的边长 。 （3）求环形步道的宽度 （结果保留根号）。 18. （12分）（发现式学习·连续奇数的和的平方根） 观察下列等式，并探究其规律： （1）； （2）； （3）； （4）； 问题： （1）（归纳规律）观察上述等式，我们发现：等式右边的数恰好等于左边被开方数中加数的个数。据此，请直接写出： 第（5）个等式： ； 第（10）个等式： 。 （提示：第 个奇数是） （2）（抽象表达）根据以上规律，第 （为正整数）个等式可以表示为： 。（用含 的代数式表示） （3）（逻辑证明）请尝试证明你在（2）中发现的规律。 （提示：可利用公式） 19. （12分）（新材料学习·“平方根和”与“平方根差”） 阅读材料：在二次根式的运算中，我们经常遇到形如 和 的式子。数学家发现，它们的乘积和平方具有非常简洁的形式： · 乘积公式：； · 平方公式：， 为了方便记忆和书写，我们引入新的符号： · “平方根和”：记作 S · “平方根差”：记作 D（其中 ≥ ≥ 0） 探究与运用： （1）概念理解：根据上述定义，计算： ① SD；② 。 （2）规则探究：利用新材料中的公式，证明以下恒等式：S。 （3）联系对比：请用两种方法计算的值。 ， 20. （12分）（跨学科融合·输电线路的等效阻抗） 背景：在电力工程中，输电线路的阻抗会影响电能损耗和电压稳定性。对于交流输电，线路的感抗（单位：Ω）与电感 （单位：H）和频率 （单位：Hz）的关系为。当多条线路并联时，其总感抗的倒数等于各条线路感抗倒数之和。 问题： 某变电站有两段并联的输电线路，用于分担电流。已知电网频率Hz。 线路1的电感为 H。 线路2的电感为 H。 （1）请分别化简 和 的表达式。 （2）根据公式，分别计算两条线路的感抗和（结果保留最简二次根式）。 （3）计算两条线路并联后的总感抗。 （提示：并联感抗公式：） （4）为了简化设计，工程师想用一条等效线路替代这两条并联线路。若等效线路的电感为 ，且满足其感抗 。请求出的值（结果保留最简二次根式）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3 二次根式的加法与减法（同步预习讲义） 2025-2026学年八年级数学人教2024版下册 【学习目标】 · 概念理解：理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式。 · 运算掌握：能熟练进行二次根式的加减运算，并形成化简→识别→合并的规范步骤。 · 思维发展：体会类比“整式加减”的学习方法，发展归纳与迁移能力。 【知识点一】同类二次根式：从“整式”到“根式”的类比 1. 发现之旅：什么是“同类”？ 回顾整式中“同类项”的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 观察下列二次根式，哪些可以进行合并？ (1) 和；(2) 和；(3) 和。 【答案与分析】：（1）可以直接合并，因为和都含有； （2）先将化简：，化简后与都含有，可以合并； （3）先将和化简：，，化简后都含有，可以合并。 2. 概念阐述与辨析 · 定义：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 · 判断步骤：一化（化简）→二看（看被开方数是否相同）。 · 理解要点： （1）同类二次根式是“最简”之后的概念。 （2）合并同类二次根式与合并同类项法则相同：系数相加减，二次根式部分不变。 3. 典例精析 例1（概念理解） 判断下列各组二次根式是否为同类二次根式： (1) 和；(2) 和；(3) 和() 【考查点】：同类二次根式的判断方法。 【解析】：(1) ，。化简后被开方数均为2，是同类二次根式。 (2) ，。化简后被开方数均为3，是同类二次根式。 (3) 已最简， ()。化简后被开方数均为，是同类二次根式。 4. 举一反三 题1（概念辨析） 下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 (，) D. 和 【考查点】：同类二次根式的判断（化简后看被开方数）。 【解析】：A选项，已最简，，被开方数均为2，是同类二次根式。 B选项，，，被开方数均为3，是同类二次根式。 C选项，已最简， (，)，被开方数分别为与，不是同类二次根式。 D选项，，，被开方数不同，不是同类二次根式。 【答案】：A、B（注：本题为多选题设计，用于强化概念辨析，实际选择题将设计为单选） 题2（条件推理） 若最简二次根式与是同类二次根式，求 的值。 【考查点】：利用同类二次根式定义建立方程。 【解析】：由定义，得被开方数相同：，解得：。 【答案】：。 题3（概念延伸型）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式：______。 【考查点】：对同类二次根式概念的逆向理解与应用。 【解析】：，其最简形式为，被开方数为 3。因此，任何形如（为有理数，且）的最简二次根式均满足要求，例如 ，等。 【答案】：（答案不唯一）。 【知识点二】二次根式的加减：合并“同类” 1. 法则归纳 · 文字语言：二次根式相加减，先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 · 运算步骤：化简→识别→合并。 · 核心思想：类比整式的加减运算，本质是合并同类项。 2. 典例精析 例2（基础运算） 计算： (1) ；(2) 。 【考查点】：二次根式加减运算的基本步骤。 【解析】：(1) 直接合并同类项：原式。 (2) 先化简，再合并： ①化简：，，； ②合并：原式。 【答案】：（1）；（2）。 3. 举一反三 题1（基础计算型） 计算：。 【考查点】：直接合并同类二次根式。 【解析】：原式。 【答案】：。 题2（步骤训练型） 计算：。 【考查点】：二次根式加减的规范步骤：先化简，再合并。 【解析】：，，， ∴原式。 【答案】：。 题3（简单综合型） 计算：。 【考查点】：多个二次根式的化简与合并。 【解析】：，，， ∴原式。 【答案】：。 【知识点三】加减混合运算与简单应用 1. 运算顺序 与实数运算顺序相同：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 2. 典例精析 例3（混合运算） 计算：。 【考查点】：加减混合运算及被开方数为分数的化简。 【解析】：①化简：，； ②合并：原式。 【答案】：。 3. 举一反三 题1（混合运算型） 计算：。 【考查点】：加减混合运算，涉及被开方数为分数的化简。 【解析】：，，， ∴原式。 【答案】：。 题2（含括号运算型） 计算：。 【考查点】：带括号的加减运算顺序。 【解析】：，， ∴原式。 【答案】：。 题3（几何应用型）一个等腰三角形的两条边长分别为cm 和cm，求这个等腰三角形的周长。 【考查点】：二次根式的化简、加法运算在几何中的简单应用，及三角形三边关系。 【解析】：第一步：化简边长。。 第二步：分析三角形三边。 1 若腰长为，则三边为，，满足三角形三边关系。 周长 ()。 2 若腰长为，则三边为, , ，也满足三边关系。 周长 ()。 【答案】：周长为或。 【同步练习】 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【考查点】：二次根式加减法的基本法则（只有同类二次根式才能合并）。 【解析】：A选项，与不是同类二次根式，不能合并； B选项，，不正确； C选项，，正确。 D选项，，不正确。 【答案】：C 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【考查点】：同类二次根式的判断（先化简）。 【解析】：∵，被开方数为3，∴能与合并的必须被开方数为3。 A选项，，被开方数为2，不能合并； B选项，，被开方数为6，不能合并； C选项，，被开方数为0（或视为有理数），不能合并； D. ，被开方数为3，能合并。 【答案】：D 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【考查点】：二次根式的减法运算（先化简）。 【解析】：，∴原式。 【答案】：C 4. 一个三角形的周长为，其中两边长分别为和，则第三边长为（ ）。 A. B. C. D. 【考查点】：二次根式减法在实际情境中的应用。 【解析】：第三边周长已知两边和。 【答案】：A 5. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 18 C. 32 D. 50 【考查点】：二次根式加法与方程思想，涉及“根号内外因式互移”的逆用。 【解析】：，∴原方程化为，所以，两边平方得。 【答案】：B 6. 下列各组二次根式化简后，被开方数不相同的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【考查点】：通过判断化简后被开方数，反向巩固同类二次根式概念。 【解析】：A选项，，，被开方数相同（3）。 B选项，，，被开方数相同（5）。 C选项，，，被开方数相同（2）。 D选项，，，被开方数不相同（2和7）。 【答案】：D 7. 计算的结果是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 12 【考查点】：乘除与加减的混合运算（可利用分配律）。 【解析】：原式。 【答案】：C 8. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 5 D. 10 【考查点】：利用同类二次根式定义建立方程求解。 【解析】：由题意，，解得。 【答案】：B 9. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【考查点】：二次根式与有理数的加法综合运算。 【解析】：∵，，∴。 【答案】：C 10. （实际应用）工人师傅用长度分别为米和米的两根材料焊接成一个长方形框架。若不考虑损耗，该长方形框架的周长是（ ）米。 A. B. C. D. 【考查点】：二次根式加法在实际问题中的应用（求周长）。 【解析】：根据题意，长方形的长和宽可分别为和米，所以 周长米。 【答案】：B 二、填空题（共5题，每题4分） 11. 计算： 。 【考查点】：乘除与加减的混合运 算（可先合并，或先分别相除）。 【解析】：方法一：先化简括号内：，再除以得。 方法二：利用分配律：原式÷。 【答案】： 12. 比较大小： 。（填“>”、“<”或“=”） 【考查点】：二次根式的大小比较（将系数移入根号内比较被开方数）。 【解析】：，。因为 < ，所以<，即 <。 【答案】：< 13. 若 整数部分是 ，小数部分是 。 【考查点】：估算二次根式的值，确定其整数与小数部分。 【解析】：∵，∴。因此，的整数部分为，小数部分为 本身。 【答案】：； 14. （根号内外因式互移） 若 ，则正整数 。 【考查点】：“根号内外因式互移”的逆用（将根号内能开得尽方的因数移到根号外）。 【解析】：，∴ ，得。 【答案】： 15. 已知，，则的值为 。 【考查点】：二次根式的化简求值（利用平方差公式简化计算）。 【解析】：方法一：直接计算。；。相减得 。 方法二：利用平方差公式。。 【答案】： 三、解答题（共5题，共50分） 16. （8分）计算与化简： （1）；（2）；（3）；（4）。 【考查点】：二次根式加减乘除的混合运算，步骤规范（先化简，再识别运算顺序，最后计算）。 【解析】：（1） 原式。 （2） 解法一：原式。 解法二：原式。 （3） 原式。 （4） 解法一：原式。 解法二：原式。 【答案】：（1）；（2）；（3）；（4）。 17. （10分）（项目式学习·社区微型公园设计） 为推进“百千万工程”中的社区微改造，某小区计划将一块闲置的正方形空地改造为微型公园。空地边长为 米。改造方案如下： 1. 绿化区：在空地中央规划一个正方形绿化草坪。 2. 步道：环绕草坪修建一条宽度均匀的环形步道。 3. 数据：经测量，草坪的面积恰好是空地面积的一半。 问题： （1）求该块闲置空地的总面积。 （2）求中央正方形绿化草坪的边长 。 （3）求环形步道的宽度 （结果保留根号）。 【考查点】：二次根式的乘法运算、加减运算、开方运算在实际问题中的综合应用；从面积关系推导线段长度。 【解析】：（1）空地面积：平方米。 （2）草坪面积：由题意，平方米。设草坪边长为 ，则 。注意：，所以米（取正值）。 （3）由空地边长 = 草坪边长 + ，得： ，即 ，所以米。 【答案】：（1）平方米；（2）米；（3）米。 18. （12分）（发现式学习·连续奇数的和的平方根） 观察下列等式，并探究其规律： （1）； （2）； （3）； （4）； 问题： （1）（归纳规律）观察上述等式，我们发现：等式右边的数恰好等于左边被开方数中加数的个数。据此，请直接写出： 第（5）个等式： ； 第（10）个等式： 。 （提示：第 个奇数是） （2）（抽象表达）根据以上规律，第 （为正整数）个等式可以表示为： 。（用含 的代数式表示） （3）（逻辑证明）请尝试证明你在（2）中发现的规律。 （提示：可利用公式） 【考查点】：从算术特例归纳一般规律；运用自然数前个奇数和的公式进行代数证明；体会“从特殊到一般”的数学思想。 【解析与答案】： （1）第（5）个等式左边有6个连续奇数相加（1，3，5，7，9，11），所以结果应为 6。 第（10）个等式左边有10个连续奇数相加，所以结果应为 10。 【答案】：6；10。 （2）根据规律，左边是前 n 个连续奇数的和，右边应等于加数的个数 。 【答案】：。 （3）证明：左边被开方数为前 n 个连续奇数的和，又已知公式：，∴ 左边。∵ n > 0，∴ ，即左边 = 右边，规律得证。 19. （12分）（新材料学习·“平方根和”与“平方根差”） 阅读材料：在二次根式的运算中，我们经常遇到形如 和 的式子。数学家发现，它们的乘积和平方具有非常简洁的形式： · 乘积公式：； · 平方公式：， 为了方便记忆和书写，我们引入新的符号： · “平方根和”：记作 S · “平方根差”：记作 D（其中 ≥ ≥ 0） 探究与运用： （1）概念理解：根据上述定义，计算： ① SD；② 。 （2）规则探究：利用新材料中的公式，证明以下恒等式：S。 （3）联系对比：请用两种方法计算的值。 【答案与解析】： （1）概念理解 ①根据定义，S，D， 所以SD；或用公式直接计算： SD。 ②根据定义和平方公式， ， ，所以 ；或用公式直接计算： 。 （2）规则探究 证明：根据定义，S，D，两式相乘，得： SD， 利用平方差公式， 故SD，得证。 （3）联系对比 方法一（传统展开）： ∵，， ∴，， ∴。 方法二（对称技巧）： 设 ，，则， ∴， ∴。 体会：方法一需要两次复杂的完全平方展开，容易出错。方法二通过设元并利用对称关系，将高次幂的计算转化为低次对称式的代数运算，避免了繁琐的根式展开，体现了整体代换和利用结构的数学思想优势。 20. （12分）（跨学科融合·输电线路的等效阻抗） 背景：在电力工程中，输电线路的阻抗会影响电能损耗和电压稳定性。对于交流输电，线路的感抗（单位：Ω）与电感 （单位：H）和频率 （单位：Hz）的关系为。当多条线路并联时，其总感抗的倒数等于各条线路感抗倒数之和。 问题： 某变电站有两段并联的输电线路，用于分担电流。已知电网频率Hz。 线路1的电感为 H。 线路2的电感为 H。 （1）请分别化简 和 的表达式。 （2）根据公式，分别计算两条线路的感抗和（结果保留最简二次根式）。 （3）计算两条线路并联后的总感抗。 （提示：并联感抗公式：） （4）为了简化设计，工程师想用一条等效线路替代这两条并联线路。若等效线路的电感为 ，且满足其感抗 。请求出的值（结果保留最简二次根式）。 【考查点】：二次根式的化简、乘法、加法（在倒数和的运算中）在物理公式中的综合应用；理解并联电路的特性。 【解析】： （1）化简电感：H（已最简），HH。 （2）计算感抗 ： ∵，，∴，∴。 ∴ （Ω），（Ω）。 （3）计算并联总感抗 ： 由并联公式，得：，故（Ω）。 （4）求等效电感 ： 由，得（H）。 【答案】： （1）H，H； （2）Ω , Ω； （3）Ω； （4）H。 学科网（北京）股份有限公司 $